Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Белашевский Г.Е Алгебра и геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Г.Е. БЕЛАШЕВСКИЙ, Н.А. КАЛУГИН

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

2007

САМАРА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА»

АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Самара, 2007

Инновационная образовательная программа "Развитие центра компетенции и подготовка специалистов мирового уровня в области аэрокосмических и геоинформационных технологий”

Модуль I «ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ» Авторы: Чостковская О.П., Старинова О.Л

Модуль II «ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ» Автор Калугин Н.А.

Модуль III «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА» Автор: Белашевский Г.Е.

Рецензенты:

д-р. тех. наук., проф. В.С. Асланов (модуль III) д. физ. – мат. н., проф. В.М. Чернов (модуль II)

канд. физ. – мат. наук, доц. Е.Я. Горелова (модуль III) канд. тех. наук, доц., А.А. Авраменко (модуль I, модуль II)

Б 43

УДК 517.2 УДК 514.14 (075) УДК 514.7 (075)

ББК

ISBN

©Белашевский Г.Е. Калугин Н.А. Чостковская О.П., Старинова О.Л

©Самарский государственный аэрокосмический университет, 2007.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С. П. КОРОЛЕВА»

АЛГЕБРА и ГЕОМЕТРИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Самара Издательство СГАУ

2007

УДК 512 (075)+514 (075) ББК 22.14+22 (151)

А 456

				О
			И
			Ц
		Н	А
	Е	Н
Ы	Е
Ы
Н
Т
Е
Т
И
Р
		О
			И
			Р	П

Н
Ы
Е
П
Р
О
	Е
	К
Ы	Т
Ы

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. В. С. А с л а н о в (модуль III) д-р физ. – мат. наук, проф. В. М. Ч е р н о в (модуль II)

канд. физ. – мат. наук, доц. Е. Я. Г о р е л о в а (модуль III) канд. техн. наук, доц. А. А. А в р а м е н к о (модуль I, модуль II)

Авторы:

Белашевский Г.Е., Калугин Н.А., Чостковская О.П., Старинова О.Л.

А 456 Алгебра и геометрия: учеб. пособие/ [Г.Е. Белашевский и др.]-Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007.-160 с.:ил.

ISBN 978-5-7883-0482-3

В учебном пособии содержатся методические материалы по реализации нелинейной схемы обучения.

Модуль I «Линейные пространства и операторы» предназначен для студентов специальности, содержащей курс «Линейная алгебра». Относится к группе дисциплин по выбору (факультатив), трудоемкость

–1 зачетная единица ECTS. Авторы: Чостковская О.П., Старинова О.Л.

Модуль II «Основы проективной геометрии» содержит основные теоретические сведения о проективной геометрии и упражнения. Относится к группе дисциплин по выбору (факультатив), трудоемкость

– 1 зачетная единица ECTS. Автор Калугин Н.А. Модуль III «Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа» предназначен для студентов – механиков. Относится к группе дисциплин, изучаемых обязательно и строго последовательно, трудоемкость – 3.5 зачетных единиц ECTS. Автор Белашевский Г.Е.

Учебное пособие подготовлено на кафедре высшей математики.

УДК 512 (075)+514 (075) ББК 22.14+22 (151)

ISBN 978-5-7883-0482-3 © Белашевский Г.Е., Калугин Н.А., Чостковская О.П., Старинова О.Л., 2007.

©Самарский государственный аэрокосмический университет, 2007.

	Содержание
I. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ.......................................		6
1.	ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА................................................................	6
1.1. Основные понятия и определения..........................................................		6
1.2. Базис и размерность линейного пространства......................................		7
1.3.	Евклидово пространство .........................................................................	9
	Задачи к теме «Линейные пространства» .............................................	16
	Ответы к задачам по теме «Линейные пространства».........................	18
2.	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.....................................................................	19
2.1. Линейное преобразование и его матрица............................................		19
2.2. Действия с линейными операторами ...................................................		20
2.3.	Характеристический многочлен...........................................................	21
2.4. Собственные векторы линейного оператора.......................................		22
2.5.	Ортогональные и симметрические матрицы и преобразования........	23
	Задачи к теме «Линейные операторы»..................................................	33
	Ответы к задачам по теме «Линейные операторы» .............................	38
3.	КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ....................................................................	40
3.1. Основные понятия и определения........................................................		40
3.2.	Приведение квадратичной формы к каноническому виду.....................
	Задачи к теме «Квадратичные формы» .................................................	45
	Ответы к задачам по теме «Квадратичные формы».............................	48
	Индивидуальное задание на тему «Квадратичные формы»...............	49
II ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ................................................		52
4.	ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ...............................................................	53
4.1.	Связка. Проективная плоскость............................................................	53
Упражнения.......................................................................................................		55
5.	ПРОЕКТИВНЫЕ КООРДИНАТЫ ..........................................................	56
5.1. Проективная система координат в связке............................................		56
5.2. Проективная система координат на плоскости...................................		57
5.3. Переход к новой системе проективных координат.............................		59
5.4.	Однородные координаты.......................................................................	60
5.5. Связь проективных и трилинейных координат...................................		62
Упражнения.......................................................................................................		68
6.	ЛИНИИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА.........................................	70
		3

	6.1.		Уравнение прямой линии на проективной плоскости	........................ 70
	6.2.		Координаты прямой на проективной плоскости.................................	72
	6.3.		Понятие инцидентности. Принцип двойственности...........................	75
	6.4.		Кривая второго порядка........................................................................	77
	Упражнения.......................................................................................................			78
	7.	ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ..................................................		80
	7.1.		Проективное преобразование и его свойства......................................	80
	7.2.		Инвариантные точки и инвариантные прямые....................................	87
	7.3.		Проективное и перспективное отображения.......................................	89
	7.4.		Классификация кривых второго порядка.............................................	90
	Упражнения.......................................................................................................			93
	III	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОСНОВЫ		96
	ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА ..............................................................................			96
	8.	ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ............................................................................		97
	8.1.		Определения...........................................................................................	97
	8.2.		Параметризованная кривая...................................................................	97
	8.3.		Натуральная параметризация................................................................	98
	8.4.		Кривая.....................................................................................................	99
	8.5.		Кривизна...............................................................................................	100
	8.6.		Репер Френе..........................................................................................	101
	8.7.		Формулы Френе. Кручение.................................................................	102
41	8.8.		Кривая с заданными кривизной и кручением....................................	104
	8.9.		Эволюта и эвольвента..........................................................................	105
	8.10.		Локальное строение кривой................................................................	106
	9.	ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ..........................................................		108
	9.1.		Определения.........................................................................................	108
	9.2.		Поверхность .........................................................................................	109
	9.3.		Кривые на поверхности.......................................................................	111
	9.4.		Касательное пространство ..................................................................	112
	9.5.		Ориентация поверхности ....................................................................	113
	9.6.		Первая фундаментальная форма поверхности..................................	114
	9.7.		Вторая фундаментальная форма.........................................................	115
	9.8.		Кривизна кривых на поверхности......................................................	116
	9.9.		Гауссова и средняя кривизны поверхности.......................................	117
	9.10.		Линии кривизны...................................................................................	119
	9.11.		Деривационные формулы....................................................................	120
	9.12.		Геодезические линии на поверхности................................................	122
	10.	ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА.........................................................................		124
	4

10.1.	Линейные пространства......................................................................	124
10.2.	Сопряженное пространство ................................................................	126
10.3. Тензорное произведение линейных пространств..............................		127
10.4. Тензорное произведение и свертка.....................................................		129
10.5. Полилинейные формы и тензоры.......................................................		130
10.6.	Характеристическая поверхность тензора.........................................	133
10.7. Симметрирование и альтернирование тензоров...............................		133
11. МНОГООБРАЗИЯ...................................................................................		137
11.1.	Дифференцируемое многообразие.....................................................	137
11.2.	Касательное пространство ..................................................................	138
11.3. Тензорная алгебра на дифференцируемом многообразии.....................
11.4.	Ковариантное дифференцирование....................................................	141
11.5. Параллельный перенос и геодезические............................................		142
11.6.	Тензор кривизны (тензор Римана-Кристоффеля)..............................	144
11.7.	Внешнее дифференцирование............................................................	145
11.8. Перенос и интегрирование дифференциальных форм. Формула
Стокса..............................................................................................................		147
12. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК....................................................		149

I.ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ

1.Линейные пространства

1.1.Основные понятия и определения

Пусть на элементах множества V заданы операции сложения и умножения на число, обладающие следующими свойствами:

140	1.	v1 +vr2 = vr2 +vr1 .
140	2.	(v1 +vr2 ) +vr3 = vr1 +(vr2 +vr3 ) .
	2.	(v1 +vr2 ) +vr3 = vr1 +(vr2 +vr3 ) .
	3.	В V	существует нулевой элемент 0 такой, что vr +0 = vr
	для всех v из V .
	4.	В	V для	любого элемента	v существует
	противоположный элемент −v такой, что v +(−vr) = 0 .
	Для любых α, β			и любых v1, vr2 V

5.α(v1 +vr2 ) =αvr1 +αvr2 .

6.(α + β)v =αvr+ βvr.

7.(αβ)v =α(βvr) .

8.1 v = vr .

Множество V называется линейным пространством, если оно

замкнуто относительно двух операций: сложения и умножения на число. Т.е. для него выполняется:

1.	для любых двух векторов v ,		vr из пространства V
		r1	2
найдется единственный вектор v1 +v2 принадлежащий V .
2.	для любого вектора v из линейного пространства V и для
любого вещественного числа α найдется единственный вектор αvr					из
V .			пространства v , vr	,..., vr	и
Пусть		даны векторы линейного
			1 2	k
действительные числа α1, α2 ,..., αк . Вектор
		y =α1vr1 +α2vr2 +...+αk vrk		(1)
называется		линейной комбинацией векторов v1, vr2 ,..., vrk ,		а числа

α1, α2 ,..., αк - коэффициентами комбинации.

Система векторов v1, vr2 ,..., vrk называется линейно зависимой,

если найдутся числа α1, α2 ,..., αк , среди которых хотя бы одно

отличается	от	нуля,	для	которых	выполняется	равенство
α1vr1 +α2vr2 +...+αk vrk = 0 .				vr1, vr2 ,..., vrk
Система		векторов			называется	линейно
независимой,	если из равенства α1vr1 +α2vr2 +...+αk vrk = 0 следует,
что α1 =α2 =... =αк = 0 .
Теорема.		Система	векторов vr1, vr2 ,..., vrk линейно			зависима

тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы является линейной комбинацией остальных векторов.

		Чтобы найти линейное выражение вектора y V через векторы
vr	, vr	,..., vr	из V , следует записать векторное равенство (1) и от него
1	2	k

перейти к покомпонентным равенствам. В результате получится система m линейных уравнений относительно α1, α2 ,..., αк . Определив

эти числа из полученной системы и подставив их в равенство (1), найдем линейное выражение вектора yr через векторы v1, vr2 ,..., vrk .

1.2.Базис и размерность линейного пространства

Если в линейном пространстве существует n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов линейно зависимы, то число n называется размерностью этого пространства. Обозначение: dimV = n или Vn .

Пространство размерности n называется n - мерным пространством, а составляющее его вектора n - мерными.

Очевидно, что любая система векторов n - мерного пространства, содержащая векторов больше n, линейно зависима.

Базисом n - мерного пространства V называется упорядоченная совокупность n линейно независимых векторов этого пространства.

Теорема. Пусть в пространстве V зафиксирован некоторый базис er1 ,er2 ,..., ern . Тогда любой вектор этого пространства

представим в виде линейной комбинации векторов базиса (т.е.
допускает разложение по базису): vr = x1er1 + x2er2 +...+ xnern ,	причем
единственным образом. Коэффициенты разложения вектора	v по
	7

базису e ,er

,..., er

называются координатами вектора vr в базисе

1 r2

,e2

,..., en .

Понятно, что в другом базисе и координаты могут быть

другими.

e1 ,er2 ,..., ern - его

Пусть V - линейное пространство,

и пусть

базис. Рассмотрим еще один базис пространства V : пусть он состоит

из векторов

f1, fr2 ,..., frn . Векторы

fi , будучи векторами линейного

пространства V , раскладываются по базису ei

= a er

+ a

+...+ a er

= a

+...+ a

n .

KKKKKKKKKKK

= a

+ a

+...

+ a

Матрицей AE→F

перехода от базиса

e1 ,er2 ,..., ern

к базису

fr1, fr2 ,..., frn

называется

матрица

коэффициентов

разложений,

выписанная по столбцам:

a11

a12 ...

a1n

...

2n .

→F

... ... ...

...

Теорема.

Пусть

линейное пространство,

пусть

er1 ,er2 ,..., ern

его

базис.

Пусть

f1, fr2 ,...,

frn

- еще

один

базис

пространства

V . Тогда

xF = A−1xE

x V ,

где

xF -

f1,

,...,

xE -

координаты

вектора

базисе

fn ,

координаты

вектора x в базисе e1 ,er2 ,..., ern ,

A - матрица перехода от базиса eri

к базису fi .

Пусть дана система векторов, заданных координатами в одном и том же базисе:

x1(x11, x21,..., xn1) ,

xr2 (x12 , x22 ,..., xn2 ) ,

…………….,

xrs (x1s , x2s ,..., xns ) .

Для них запишем матрицу

	x11	x12	...	x1s
X	x	x	...	x	,
X	= 21	22	...	2s	,
	...	...	...	...
	x	x	...	x
	n1	n2		ns

в k - м столбце которой стоят координаты вектора xk . Матрицу X

назовем матрицей системы векторов xr1, xr2 ,..., xrs в заданном базисе.

Теорема. Для того чтобы s векторов n - мерного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы векторов был равен s, т.е. числу векторов.

1.3.Евклидово пространство

Говорят, что в n - мерном линейном пространстве V определена

операция rскалярного умножения векторов, если любой паре векторов x и y из V поставлено в соответствие действительное

число, которое называется скалярным произведением векторов x и yr и обозначается символом (x, y) , и если для любых x, yr, z из V и любого действительного числа α выполняются следующие аксиомы:

1.(x, y) = ( y, x)

2.(x + y, z) = (x, z) +( y, z)

3.(αx, y) =α(x, y)

4.(x, x) > 0 при x ≠ 0 и (x, x) = 0 при x = 0 .

Действительное n - мерное линейное пространство V , в котором определено скалярное умножение векторов по правилу

(x, y) = ∑xi yi ,

i=1

называют n - мерным евклидовым пространством и обозначают через En .

Длиной x вектора x евклидова пространства En называют величину

x = (x, x) .

Нормировать вектор x — значит, заменить его вектором x0 = xx .

Векторы x и y евклидова пространства называют

ортогональными, если (x, y) = 0 .

Система векторов называется ортогональной, если в ней все векторы попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и в ней все векторы нормированы. Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независимая.

Базис евклидова пространства называют ортогональным, если его векторы попарно ортогональны. Если, кроме того, все векторы этого базиса нормированы, то он называется ортонормированным. В

ортонормированном базисеe1,e2 ,...,en выполняются условия

(ei ,ej	0	при i ≠ j,
(ei ,ej	) =	при i = j, i, j =1,2,..., n .
	1	при i = j, i, j =1,2,..., n .

Всякое евклидово пространство обладает ортогональным и ортонормированным базисами.

От любой линейно независимой системы векторов a1, a2 , ..., am евклидова пространства можно перейти к ортогональной

системе векторовb1, b2 , ...,bm . Такой переход совершается с помощью

процесса ортогонализации Грамма-Шмидта. Он состоит в следующем.

Полагают b1 = a1, b2 =α1b1 + a2 и из условия

(b1, b2 ) = (b1,α1b1 + a2 ) =α1 (b1,b1) +(b1, a2 ) = 0

находят коэффициент α1 = − (b1, a2 ) .

(b1,b1)

Затем полагают b3 = β1b1 + β2b2 + a3 и из условий

(b1,b3 ) = β1(b1,b1 ) +(b1, a3 ) = 0, (b2 ,b3 ) = β2 (b2 ,b2 ) +(b2 , a3 ) = 0

находят коэффициенты
β = −	(b1, a3 )		,	β	2	= −	(b2 , a3 )		.

1	(b1	,b1)					(b2	,b2 )

Так продолжают до тех пор, пока не получат ортогональную систему ненулевых векторовb1, b2 , ...,bm . Если эти векторы нормировать, то придем к ортонормированной системе векторов.

		1					0					1
Пример 1. Пусть a	=		−2	,	a	=		−1	,	a	=		−3	. Выяснить,
1					2					3
			1					1					2
			1					1					2

пользуясь определением, является ли данная система векторов линейно зависимой.

Решение.

Допустим, что существует некая линейная комбинация векторов a1, a2 , a3 , обращающаяся в ноль: α1a1 +α2a2 +α3a3 = 0 . Тогда

	1			0			1
α		−2	+α		−1	+α		−3	= 0 .
1				2			3
		1			1			2
		1			1			2

Выполним почленное сложение в правой части и запишем это равенство в виде однородной линейной системы:

			α +α					= 0
			1				3
			−2α1 −α2 −3α3 = 0
					+α2 + 2α3 = 0.
			α1		+α2 + 2α3 = 0.
Решим систему методом Гаусса:
1 0 1			0		1		0 1		0	1 0 1		0
1 0 1			0		1		0 1		0	1 0 1		0
	−2	−1 −3	0			0		−1 −1	0		0 1 1	0
	−2	−1 −3	0			0		−1 −1	0		0 1 1	0	.
	1 1 2		0			0	1 1		0		0 0 0	0
	1 1 2		0			0	1 1		0		0 0 0	0

Найдем общее		решение:		α1 = t,				α2 = −t,		α3 = −t . Выпишем

какое-либо частное решение, например, если α3 = −1, то α1 =α2 =1.

Таким образом мы отыскали нетривиальную линейную комбинацию, обращающую в ноль данную систему векторов:

a1 + a2 −a3 = 0 .

Следовательно, исходный набор векторов a1, a2 , a3 является линейно зависимой системой векторов.

Пример 2. Показать, что система векторов

e (3, 4,3),	e (1, 2, −6),	e (0,1,3) образует базис, и разложить вектор
1	2	3

x(7,13,9) по этому базису.

Решение.

Составим матрицу системы векторов e1, e2 , e3 и найдем ее ранг:

3	1	0	4		2	1	4	2	1
4	2	1		3	1	0	3	1	0
										.
3	−6 3			−9	−12 0		27 0		0

Ранг матрицы равен 3, т.е. количеству векторов в системе. Следовательно, векторы линейно независимы, они образуют базис трехмерного пространства.

Разложим вектор x по этому базису:

x =α1e1 +α2e2 +α3e3 ,

α1 (3,4,3) +α2 (1,2, −6) +α3 (0,1,3) = (7,13,9) .

Перепишем в виде системы уравнений:

3α1 +α2 = 74α1 + 2α2 +α3 =13

3α1 −6α2 +3α3 = 9.


Решим эту систему по формулам Крамера
=	3			1		0	= 27 ,		1 =	7		1		0	= 54 ,
	3			1		0				7		1		0
	4		2		1					13 2			1
	3			−6		3				9		−6		3
2 =		3		7		0		= 27 ,	3 =		3	1		7		= 81,
		3		7		0					3	1		7
		4		13		1					4	2		13
		3		9		3					3	−6		9
тогда α1 = 2, α2 =1,					α3 = 3 .

Разложение вектора x по базису принимает вид x = 2e1 +e2 +3e3 .

Пример 3.

Дано двухмерное пространство

с базисом

e ,

e .

Пусть f ,

- новый базис в R2

, и пусть

f = 2e +e

= e1 +e2 .

Найти координаты вектора x в базисе f1,

f2 , если в базисе e1,

вектор x имеет координаты (1,-1).

Решение.

x в новом базисе через его

Мы можем выразить координаты вектора

координаты в старом базисе при помощи матрицы перехода:

= A−1x .

Матрица перехода выписывается из разложений базиса

f1,

по

базису e1,

e2 :

2 1

2 1 −1

A =

, следовательно xf

1 1

−1

Найдем матрицу, обратную к A :

2 1

1 0

1 −1

1 0

1 −1

0 1

−1 2

1 1

0 1

1 1

0 1

Окончательно получаем

2 1 −1

1 −1

xf =

1 1 −1 −1 2

−1 −3

Пример 4. Пусть на плоскости R2

фиксирован базис e ,

e , и пусть

имеются еще два базиса:

f = 3e +e

h = e +e

f2 = 2e1 +e2

;

h2 = −e2

Найти координаты

вектора

в базисе

h ,

если

известны

его

координаты в базисе

f : xf = (1,2) .

Решение. Эта задача решается при помощи матрицы перехода. Надо

найти переход от базиса

к базису

h : x = A−1x

, где A - матрица

перехода от базиса

f к базису h .

Для того чтобы выписать матрицу

A , нужно знать, как выражаются

базисные векторы

h1,

через базисные векторы

f1,

f2 .

Исходя

из разложений этих векторов по базису e1,

e2 , мы можем получить

нужное нам выражение. Прежде всего запишем разложения h1,

h2 и

f1,

f2 в матричной форме:

3 1 e

1 1 e

2 1 e2

0 −1 e2

Из этих матричных соотношений получим выражения для e1,

e2 :

3 1 −1

1 1 −1

2 1

0 −1

Приравняем правые части:

3 1 −1

1 1 −1 h

2 1

−1

Домножим это соотношение на

слева. Тем самым выразим

−1

h1,

h2 :

1 1

3 1 −1

1 1 1 −1

−1 2

−3

−1 2 1

0 −1 −2 3

Получили, что разложение векторов h1,

по базису

f1,

= − f

+ 2 f

и матрица перехода нам известна:

таково: 1

h2 = 2 f1 −3 f2

−1

A =

−3

Теперь мы можем вернуться к нахождению координат вектора x в базисе f :

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.2015598.34 Кб90без таблиц.docx
#
07.06.20151.08 Mб19Безверхов, Шевченко учебное пособие.doc
#
22.11.201995.11 Кб4Безналичные расчеты.docx
#
16.03.2015138.75 Кб12БезОСметодичка3.doc
#
07.06.201516.99 Кб18безтарифная система труда.docx
#
16.03.20151.08 Mб27Белашевский Г.Е Алгебра и геометрия.pdf
#
07.06.2015411.16 Кб8Белик - культурология.docx
#
16.03.201510.56 Mб617Беловицкая, А. А. Общее книговедение. 2007.rtf
#
16.03.20154.77 Mб351Белозерцев В.Н. Основы механики.pdf
#
16.03.2015238.01 Кб27Бердяев Н.А. Человек и машина.rtf
#
07.06.20151.05 Mб46Бесов.pdf