Белашевский Г.Е Алгебра и геометрия

cosθ =

ρ1′

ρ2′

,

ρ′

ρ′

1

2

σ = ∫∫ EG − F 2 dudv .

U

9.7. Вторая фундаментальная форма

Пусть S – поверхность, (U ,r)

– локальная параметризация S,

n =

∂1r ×∂2r

– поле единичных векторов, задающее ориентацию

∂ r

×∂

2

r

1

соответствующей переменной.

Квадратичная

форма

II = d 2r n

называется

второй

II = L(τ1)2 + 2Mτ1τ2 + N (τ2 )2 .

Здесь

L = ∂uur n, M = ∂uvr n, N = ∂vvr n

-

L = (ruu ,ru ,rv ) / , M = (r uv ,ru ,rv ) / , N = (rvv ,ru ,r v ) /

,

где =

EG − F 2 .

9.8. Кривизна кривых на поверхности

Пусть S – поверхность, (U ,r) – локальная параметризация S и

ρ : I → S, I R s – кривая на S, s – натуральный параметр,

′

– касательный вектор к кривой, n – единичный вектор,

τ = ρ (s)

называется репером поверхности S.

(Для репера Френе кривой

ρ : I → S,

введем теперь обозначение (τ,k,b) ,

b = k ×τ ).

Разложение

ρ

′′

поверхности (τ,n,b)

имеет вид

(s) по реперу

′′

где

α,κn .κg R .

Так

как

ρ (s) =ατ +κnn +κgb ,

ρ′ ρ′ =1,

то ρ′′ ρ′ = 0 ,

следовательно, и α = 0.

Тогда

′′

′′

n называется нормальной

ρ (s) =κnn +κgb . Скаляр κn = ρ

вектор нормали, а скаляр

κg = ρ′′ b

называется геодезической

кривизной кривой ρ .

Можно доказать, что для t – кривой ρ(t)

κ

=

′

′

n

II (ρ (t), ρ

(t)) ,

′

′

I (ρ (t), ρ

(t))

116

κ

= (ρ′′(t), ρ′(t),n) .

g

ρ

′

3

(t)

Теорема Менье. Пусть

R =

1

– радиус кривизны t – кривой

κ

ρ(t) , в точке a S ,

R

=

1

– радиус кривизны нормального

κ

n

n

κn = ρ′′ n

зависит

от направления,

определяемого единичным

касательным вектором к кривой ρ : I → S . Найдем те направления,

для которых

κn

принимает

экстремальные значения. Для этого

запишем задачу об условном экстремуме.

′

′

τ

=1, то

Так как τ = u ∂ur

+ v ∂vr и

′ 2

′

′

′

2

=1 и

I (τ,τ) ≡ E(u )

+ 2Fu v

+G(v )

′ 2

′ ′

′

2

=κn .

II (τ,τ) ≡ L(u )

+ 2Mu v

+ N (v )

Запишем функцию Лагранжа

′ ′

′

′

′

′

составим систему

Λ(u ,v ,λ) = II (u ,v ) + λ(I (u ,v ) −1) и

∂u′Λ = 0,

∂v′

= 0, . Умножим первое уравнение на u′, второе –

уравнений

∂λ

= 0.

117

H = 1

EN − 2FM +GL

,

K =

LN − M 2 .

2 EG − F 2

EG − F 2

изгибании.

H = κ1 +κ2 , где

По теореме Виета

K =κ κ

2

,

κ

, κ

2

–

1

2

1

экстремальные (главные) значения нормальной кривизны.

Точка a S

называется: эллиптической,

если K =κ1κ2 > 0 ;

гиперболической,

если

K =κ1κ2 < 0 ;

параболической,

если

K =κ1κ2 = 0 ;

омбилической,

если

κ1 =κ2 ≠ 0 ; точкой

уплощения, если κ1 =κ2 = 0 .

Обозначим

через

τ1,τ2

касательные

векторы к

кривым с

главными кривизнами κ1, κ2 .

Для единичного касательного вектора

или

,

dv2

−dudv

du2

det

L

M

N = 0 .

E

F

G

(L −κn E)du + (M −κn F)dv = 0,

уравнения

−κn F)du + (N −κnG)dv = 0

(M

упрощаются и принимают вид

(L −κ1E)du = 0,

(N −κ2G)dv = 0,

откуда κ1 = L

E

, κ2

= N

G

.

Пусть S – поверхность, (U ,r)

– локальная параметризация S,

u1,u2 – локальные координаты, (∂ r,∂

2

r,n) – натуральный репер

1

∂1r ×∂2r

поверхности (называемый также репером Дарбу) n =

,

∂ r ×∂

2

r

1

gij = ∂ir ∂j r, hij = −∂ir ∂j n = −∂j r ∂in = ∂ij r n

–

Коэффициенты

Γm,ij

= ∂ijr ∂mr

называются

символами

Кристоффеля первого рода, а Γk

– символами Кристоффеля второго

ij

рода. Умножим равенство ∂

ij

r = Γk ∂

k

r +b n скалярно на вектор

ij

ij

∂mr ,

тогда

∂

ij

r ∂

m

r = Γk ∂

k

r ∂

m

r +b n ∂

m

r Γ

m,ij

= g

mk

Γk .

ij

ij

ij

Продифференцируем равенство

∂ir ∂j r = gij по

переменной

uk

, тогда ∂ik r ∂j r + ∂ir ∂jk r = ∂k gij , или с учетом принятых

Пусть

ρ : I → S,

I R

параметризованная

кривая

на

поверхности

S. Её

геодезическая

кривизна находится

по формуле

κ

g

= (ρ′′(t), ρ′(t),n)

(см. п.2.8). Кривая на поверхности

S

′

3

ρ (t)

Найдем выражение геодезической кривизны через коэффициенты

первой

и

второй

квадратичных

форм.

Для

этого

вычислим

′′

′

с

помощью

деривационных

формул

ρ

(t), ρ

(t)

∂

ij

r = Γk

∂

k

r + h n . Пусть (U ,r)

–

локальная параметризация S,

ij

ij

u1,u2

– локальные координаты и ρ(t) = r(u1(t), u2 (t)) .

Тогда

ρ′ = ∂ir uti ,

ρ′′ = ∂ij r uti utj

+ ∂k r uttk , где

индекс

t

обозначает дифференцирование по t.

Заменяя ∂

ij

r по формулам ∂

ij

r = Γk

∂

k

r + h n , получим

ij

ij

ρ′′ = (Γijk uti utj

+uttk )∂k r + hij uti utj n . Подставляя полученные

′′

′

(ρ

′′

′

выражения для ρ

ρ

=

(t), ρ

(t),n)

и

(t),

(t) в κg

′

3

учитывая, что

n =

∂1r ×∂2r

ρ (t)

, находим

∂ r ×∂

2

r

1

g

g

22

− g2

1

i

j

1

2

2 i

j

2

1

11

12

κg =

(Γij ut

ut

+utt

)ut

−(Γij ut ut

+utt

)ut

(

g

ij

ui u j

)3

t

t

.

ρ : I → S ,

ρ

′′

≠ 0 на поверхности S является

Теорема. Кривая

(t)

геодезической

тогда и

только

тогда, когда

ρ

′′

(т.е.

(t) Tρ(t )S

κg = 0 (ρ

′′

′

ρ

′′

n ρ

′′

(t), ρ (t),n) = 0

(t) ко ллин еарен

(t) Tρ(t )S

Так как для геодезической ρ

′′

′′

(t) Tρ(t )S , то ρ

(t) ∂nr = 0 или

((Γk

ui u j +uk )∂

k

r + h ui u jn) ∂

n

r = 0 .

Следовательно,

ij

t t

tt

ij

t t

2.

u,v, w V (u + v) + w = u +(v + w).

3.

Θ V, v V v + Θ = v.

4.

v V w V v + w = Θ.

α, β R,

v, w V

Элементы множества V называются векторами. Система векторов

{ei} V

i =

1,n

называется

базисом, если она линейно

независима, а

x V, {x, ei} – линейно зависима. В этом

случае dim V = n.

Пусть e ′ = Pi

′ e ,

. Тогда

i

i

i

Пусть v = vie и v = vi′e

′ . Тогда vi = Pi

i

′ vi′

и vi′ = Pi′

i

vi

, где

i

i

)

i′

i −1

i

i′

i

i

j′

j′

P i = P i′

(P i′P j

=δj ,

P i′P i

=δi′

и

δij =

1,

i = j;

– символ Кронекера.

i ≠ j.

0,

H V называется

Подмножество

подпространством,

если

h1,h2 H h1 + h2 H ; ѓ R,Йh H ѓ hЙ H .

Пусть

H,

W

–

подпространства

в

V. Множество

H +W ={h + w; h H , w W}

называется

суммой

подпространств. Оно также является подпространством в V.

Множество

H W называется прямой суммой, если пересечение H

и W состоит только из нулевого вектора, т.е. H ∩W ={0} .

1. v1,v2 :

f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ) .

2. λ R, v V : f (λv) = λ f (v).

Пусть {ei} – базис в V, i =

{ýj } – базис в W, j =

,

1,n

;

1,m

j

ýj

j

матрица отображения в базисах

тогда f (ei ) = fi

=> fi

–

обозначается символом L(V ,W ) . Это

множество

само

является

линейным пространством. Отображение

f :V →W

называется

изоморфизмом, если: f L(V ,W ), Im f =W и

f

–

взаимно

Отображение

f :V → R

называется линейной

формой или

ковектором, если

f L(V , R). Множество всех линейных форм,

определенных на V , является линейным пространством. Оно

называется сопряженным пространством и обозначается V * . Пусть

{ei} –

базис в

V , набор линейных форм {ei} ,

определенных

условием

ei (ej ) =δij ,

является

базисом

сопряженного

Если f V * , то

x V

f (x) = f (xie

) = xi f (e ) = f

xi = f

ei

(x),

i

i

i

i

где f

i

= f (e ) R . Следовательно, если f V * , то f = f

ei ,

i

j

Если

f L(V , R), dimV = n ,

то

ker f –

подпространство в V и dim(ker f ) = n −1.

Теорема. Для

любого подпространства Í V , dim H = n −1

существует линейная форма f L

(V , R), такая, что ker f

= H .

10.3.

Тензорное произведение линейных

пространств

Пусть

V ,W -

линейные

пространства,

dimV = n,

dimW = m , {ei} , {ýj } – базисы пространств.

Множество

V ×W ={(v, w): v V , w W }

называется

декартовым произведением пространства V на W .

Тензорным произведением V W пространств

V ,W называется

линейное пространство, в котором:

(ei , ýj ) , которое

1. Базис – множество упорядоченных пар

обозначается

(ei , ýj ) ≡ ei ýj

(названия:

базисная

диада,

неопределенное произведение, тензорное произведение).

2.

Любой паре (v, w) V ×W ставится в соответствие тензорное

произведение v w = vi w je ý

.

i

j

3.

x, y V W x = xije ý

j

, y = yije ý

j

вводятся

i

i

операции:

•

(x + y) = (xij + yij ) ei ýj ,

•

λ R, x V W ,

λ x = (λxij ) ei ýj .

127

Замена базиса

в

V W индуцируется

заменой базисов в

пространствах

V и

W . Пусть

e

= Pie

ý

j '

= Q j

ý

j

,

тогда

i '

i ' i

j '

Элементы

тензорного произведения V W пространств

V ,W

называются тензорами.

Если

dimV = n,

dimW = m ,

то

dim(V W ) = nm .

Из

условия

T V W

следует

разложение по базису: T =T ije ý

.

i

j

Пример.

Пусть T W V * T =T j ý

j

ei .

Так

как

i

ei (v) = ei (vk ek ) = vk ei (ek ) = vkδki = vi ,

то

тензор

можно

рассматривать как линейный оператор из V в W , действующий по

закону: T (v) =T j ý

j

ei (v) =T jvi ý

j

.

i

i

С другой

стороны,

если

F :V →W

линейный

оператор,

то

F (v) = F (viei ) = vi F (ei ) = vi Fi

j ýj ,

и

линейный

оператор

можно рассматривать как тензор, принадлежащий

тензорному

произведению W V * .

Тензор

T W V *

называется

тензором

типа

(1,1)

T V W ,

то T =T ije e

j

и тип тензора – (2,0)

(дважды

i

контравариантный),

если

же

T V * V * T =Tijei

e j

→ ò èï (0,2)

(дважды

ковариантный).

Тензор

T V * V *

определяет

линейное

отображение

из

V

в

V٭

по

закону

Пример. Пусть T =T i1•i2

e e j1e , H = H i1

•

•

i2 e e j1 e . Тогда

• j •

i

i

•

j

i

i

T + H = (T•i1

1

1

2

1

1

2

j1•

•i2 + H•i1

j•1

i•2 )ei1e j1ei2

. Здесь ( p) = (i1,•,i2 ) ,

q = (•, j1,•) . Тензор T + H – типа (2,1).

Пусть

T =T

( p)e(q)

и

H = H (r )e(s) ,

тогда

тензор

M =T H

(q) ( p)

(s) (r )

называется

тензорным

произведением Т

на Н и

M = M

( p,r )

e(q,s)

, где M ( p,r) =T ( p)H (r )

, e(q,s)

= e(q)

e(s) .

(q,s)

( p,r)

(q,s)

(q)

(s)

( p,r)

( p)

(r )

v t =(e +2e +e ) e1e +e2e

=ee1e +ee2e +2e e1e +2e e2e +ee1e +ee2e

1

2

3

(

2

2)

1 2

1 2

2 2

2 2

3 2

3 2

. Здесь знак

тензорного произведения опущен для сокращения

записи.

Тип

тензора

v t

–

(2,1), v t V V * V .

Компоненты

тензора

(не

все!):

(v t )1

•

2

=1,

•

1

•

(v t )1•

•2

3• = 0 ,

(v t )•2

1•

•2 = 2 ,

(v t )•3

3•

•3 = 0 .

Заметим,

что

тензорное

произведение

не

коммутативно,

ik

T

(trace).

Компоненты

тензора-свертки

получаются

trjs

приравниванием

двух индексов

i = m, j = m

(один –

повторяющемуся индексу

m =

1,n

.

В результате тензор-свертка

будет иметь тип (p-1,q-1).

Пример. Пусть T =T i1

•

i2 e e j1e , тип тензора – (2,1).

•

j

i

i

1

1

2

Выполним свертку по индексам i1 = j1 = m . Тогда

tri1T =T m

•

i3 e , получили тензор типа (1,0), т.е. вектор.

j

•

m

i

1

3

2)

(v1 ,...v j −1 ,α v j , v j +1 ...v p ) = αT (v1 ,..., v j −1 , v j , v j +1 , ....v p ).

T

В частности, если p=2, форма называется билинейной.

Пример. det : R2 × R2 a R , (x, y) a det (x, y), где

det (x, y) =

x1

y1

= x1 y2 − x2 y1 .

x2

y2