Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Белашевский Г.Е Алгебра и геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

x	= A−1x	f	=	−1 2			−1	1	=	3		2	1	=	7	.
h		f			2	−3					2	1
					2	−3		2			2	1	2		4

Пример 5. Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта и нормирование векторов, ортонормировать систему векторов

a1 = (1,1,0,0),

a2 = (1,0,1,0),

a3 = (1,0,0,1) .

Решение.

b1 = a1,

b2 =α1b1 + a2

α1

Положим

найдем

из условия

(b1, b2 ) =α1 (b1,b1 ) +(b1, a2 ) = 0 .

Тогда получим

α = − (b1, a2 ) = − (a1, a2 ) = −

= − 1 .

(b1,b1)

(a1

, a1 )

1+1

Поэтому b2

=α1b1 + a2 = −

+ a2 =

, −

,1,0 .

Далее положим b3 = β1b1 + β2b2 + a3

и найдем

β1, β2

из условий

(b1,b3 ) = β1(b1,b1) +(b1, a3 ) = 0, (b2 ,b3 ) = β2 (b2 ,b2 ) +(b2 , a3 ) = 0.

Тогда получим

			β = −							(b1, a3 )	= − 1			,				β	2	= −		(b2 , a3 )			= −1 .
			β = −								= − 1			,				β		= −					= −1 .
			1							(b1,b1)			2									(b2 ,b2 )					3
Поэтому										(b1,b1)			2									(b2 ,b2 )					3
Поэтому	1				1							1				1							1		1				1
b3 = −	1	b1			1			b2		+a3 = −		1	a1 −			1	a2			+ a3			1		1				1
			−																			=		, −			, −			,1 .
	2		−		3							3				3						=		, −	3		, −		3	,1 .
	2				3							3				3						3			3				3
Нормируем векторы b1, b2 , b3 . Найдем их длины
				b		=				1+1 =		2,			b			= 1			+ 1 +1 =					6		,
																										6

				1												2				4	4						2
																				4	4						2
							b		= 1 + 1 + 1					+1 = 2 3 .
							b		= 1 + 1 + 1					+1 = 2 3 .
								3		9	9		9							3
										9	9		9							3

Получаем ортонормированную систему векторов

	q	=		b1	=	1			b				=	1					,		1			,0,0 ,
	q	=			=				b				=						,					,0,0 ,
	1			b1		2					1			2								2
				b1		2								2								2
	q			b2	=			2		b			=		1					, −			1			,	2		,0 ,
	q			b2	=					b			=							, −						,			,0 ,
		2		b2		6						2					6					6					6
				b2		6											6					6					6
	q		=	b3	=		3				b =			1								, −			1			, −		1	,	3	.
	q		=	b3	=						b =											, −						, −			,		.
	3			b3		2 3							1
				b3		2 3								2 3 2 3 2 3 2 3
Задачи к теме «Линейные пространства»
	Найти линейную комбинацию векторов:
1.	3a1 − 2ar2 +8ar3 , если ar1 (1, 2,1, 2) , ar2 (−1, −3, 4,5) , ar3 (−5,0, 2,3)
	.
2.	2a1 +3ar2 −8ar3 + 4ar4 , если ar1 (1, 2,1, 2) , ar2 (−1, −3, 4,5) ,
	a3 (−5,0,2,3) , a4 = (5, −1,4,0).
3.	a1 + 5a2	+ 4a3 ,						если								ar1 (1,2,1,2),														ar2 (−1, −3, 4,5),
	ar3 (−5,0, 2,3).
	Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно
зависимыми:				xr											xr
4.	x (2,4,6,1),			xr	(2,6,0,1),										xr			(1,2,3,0).
5.	1				2 r									3							r
5.	x (3,4,3,4,1),				x (2,3,2,3,1),																x (1,2,3,4,1).
6.	1			r	2								r							3							r
6.	x (3,0,6,),			x (1,1,4),									x (0, −1,5,),														x (−2,7,11) .
7.	1		2		r								3				r										4			r
7.	x1 (0,4,0, −1),				x2	(1,3,0,2),											x3			(6,2,2,1),										x4 (3,1,1,7).
8.	x1(6,2, −1,3),				xr2 (1,3,2, −1),														xr3 (8,11,2,0).
9.	x (1,0,3,8,11),				xr (2, −4,3,1,0),																			xr (4,0, 2,5, −3),								xr (4, −8,6, 2,0).
	1					2									r					r		3										4
	Показать, что векторы e1 , e2 , e3																						образуют базис трехмерного
пространства, и разложить вектор x по этому базису:
10. e1 (4,3,7) ,			er2 (−2,1, −1) ,											er3 (1, −1,3) ,														xr(16,23,33) .
11. e1(3, −1,2) ,				er2 (1,2,3) ,									er3 (−1,4, −2) ,															xr(10,10,5) .
16


12.	er1 (−1,2,1) ,		er2 (6,1,2) ,			er3 (3, −1,1) ,			xr(8,2,4) .
13.	er1(−2,1,3) ,		er2 (1, −3,2) ,			er3 (3,1,2) ,			xr(9,3,16) .
14.	er (−7,4,1) ,		er (1, −1,5) ,			er	(2,3,10) , xr(21,0,33) .
	1		2	r	r	r3	в некотором базисе. Показать, что
	Даны векторы a , b , c , d
	r	r	r				и найти координаты вектора			d в
векторы a , b , c образуют базис,
этом базисе:						cr(7, −3,5) ,			dr(6,10,17) .
15.	ar(1,2,3) ,		b(−1,3,2) ,
16.	ar(4,7,8) ,		b(9,1,3) ,		cr(2, −4,1) , dr(1, −13, −13) .
17.	ar(8,2,3) ,		b(4,6,10) ,			cr(3, −2,1) ,			dr(7,4,11) .
18.	ar(10,3,1) ,		b(1,4,2) ,		cr(3,9,2) ,			dr(19,30,7) .
19.	ar(2,4,1) ,		b(1,3,6) ,		cr(5,3,1) ,			dr(24,20,6) .
20.	ar(1,7,3) ,		b(3,4,2) ,		cr(4,8,5) ,			dr	(7,32,14) .
21.	ar(1, −2,3) ,		b(4,7,2) ,			cr(6,4,2) ,			dr(14,18,6) .
22.	ar(1,4,3) ,		b(6,8,5) ,		cr(3,1,4) ,			dr(21,18,33) .
23.	ar(2,7,3) ,		b(3,1,8) ,		cr(2, −7,4) ,				dr(16,14,27) .
24.	ar(7,2,1) ,		b(4,3,5) ,		cr(3,4, −2) , dr(2, −5, −13) .
	Показать,		что	векторы			er1 , er2 , er3 , er4 образуют			базис

четырехмерного пространства, и разложить вектор x по этому базису:
25.	er1 (2,1, 2,1) ,	er2 (5, 2, 2, 4) ,	er3 (11,5,3,3) ,	er4 (3,1,1,1) ,
	xr(2,1, −3, −3) .		er3 (3,5,7,1) ,	er4 (1,3,5,7) ,
26.	er1 (7,1,3,5) ,	er2 (5,7,1,3) ,	er3 (3,5,7,1) ,	er4 (1,3,5,7) ,
	xr(12,0,4,16) .
27.	er1 (1,1, 2,1) ,	er2 (−1,1, 7, −3) , er3 (−3, −2, 0,1) ,			er4 (2, 0,5, 0) ,
	xr(−4,1, −4,4) .
28.	Даны разложения векторов fr		в базисе e и координаты вектора x
	в базисе er . Найти координаты вектора xr в базисе f				:
					17

= 2er

+er

xe = (1, −1) .

= er

+er

Даны разложения векторов f

в базисе e

и координаты

вектора x в базисе

f . Найти координаты вектора x в базисе hr

= er

+er

= −er

29.

= (1,1) .

= er

+er

= e

−e

= e

30.

= (−1,0) .

= er

= e

−e

31.

= (2,1) .

= e

−e

= e

r 2

32. Векторы базисов

e ,

′

и вектор

даны координатами

некотором базисе

er0 .

Найти матрицы перехода от базиса

er0

базисам e ,

r′

и от базиса e

′

к базису e , а также координаты

вектора

базисах

r′

e1 = (3,2,3) ,

er2

= (−4, −3, −5) ,

er3 = (5,1, −1) ,

er1′ = (2,2, −1) ,

er2′ = (2, −1,2) ,

er3′ = (−1,2,2) ,

xr = (1,2,1).

Ортонормировать систему векторов:

33.

a1 = (1,2,2, −1),

a2 = (1,1, −5,3),

a3 = (3,2,8, −7) .

34.

a1 = (1, −2,2),

a2 = (−1,0, −1),

a3 = (5, −3, −7) .

35.

a1 = (1,1, −1, −2),

= (5,8, −2, −3),

a3 = (3,9,3,8) .

36.

a1 = (1,1,1,1),

= (3,3, −1, −1),

a3 = (2,0,6,8) .

Ответы к задачам по теме «Линейные пространства»

1. (−35,12,11,20). 2. (59,−9,14,−5). 3. (− 24,−13,29,39).

10.

x = 6er1 +3er2 −2er3 . 11.

x = 4er1

+ er2 +3er3 . 12. x = er1 +er2 +er3 .

13.

x = 2er1 + er2 + 4er3 . 14.

x = −2er1 + er2 +3er3 . 15. d(2,3,1) .

16.	dr(−2,1,0) . 17. d (0,1,1) . 18. dr(1,0,3) . 19. d (2, 0, 4) . 20.
r	r
dr(4,1, 0) . 21. d (0, 2,1) . 22. d (3,0,6) . 23. d (5,0,3) . 24.
d (2, −3,0) .
25.	xr = −2er1 −er2 +er3 . 26. xr = 2er1 − 2er3 + er4 . 27. x = 3er1 +er3 −2er4 .
28.	xrf (2, −3) . 29. xh (1, −1) . 30. xrh (1,1) . 31. xh (4,2) .

33. ( 1010, 10 5 , 10 5 , − 1010) .

34.(13, −23, 23), (−23, −23, −13), (23, −13, −23) .

35.(1,1, −1, −2), (2,5,1,3) .

36.

(12,12,12,12), (12,12, −12, −12), (−12,12 , −12,12) .

2.Линейные операторы

2.1.Линейное преобразование и его матрица

Пусть даны линейные пространства Vn и Vm . И задано

преобразование f :Vn →Vm , т.е. закон, по которому каждому вектору
xr	V соответствует единственный вектор			y = f (xr) V . Вектор
r	n	r	r	m	y
y	называют образом вектора x , вектор		x - прообразом вектора
при преобразовании f .
	Если пространства	Vn и Vm	совпадают, то говорят,		что

преобразование действует в пространстве Vn . В дальнейшем мы будем рассматривать именно этот случай, уточнений о размерности пространства не делаем.

f (xr	Преобразование называется линейным				оператором,	если
	+ yr) = f (xr) + f ( yr) и		f (αxr) =α f (xr)		для любых векторов
xr,	yr из пространства V и для любого числового коэффициента α .
	Пусть	в линейном	пространстве	V	зафиксирован	базис
er1 ,er2 ,..., ern		и задан линейный оператор		f :V →V . Под действием
						19

оператора

базисные

векторы

переходят

векторы

f (e1), f (er2 ),..., f (ern ) ,

которые,

будучи векторами

линейного

пространства V , допускают разложение по базису:

f (er1 ) = a11er1 + a21er2

+...+ an1ern

f (e2 ) = a12e1

+ a22e2

+...+ an2en

KKKKKKKKKKK

f (er

) = a

+ a

+...+ a

1n 1

Коэффициенты этих разложений, выписанные по столбцам,

называются матрицей линейного оператора

f .

Теорема. Пусть

в линейном

пространстве V

зафиксирован

базис e1 ,er2 ,...r, ern . Тогда связь между координатами вектора xr и его

образа y = f (x) в матричной форме имеет вид

y = Ax ,

где

A = (a ) - матрица

линейного

x = 2

y =

...

оператора

в базисе e1 ,er2 ,..., ern .

В разных базисах один и тот же оператор имеет разные матрицы.

Пусть в линейном пространстве V

действует

линейный

оператор

и пусть он имеет матрицу A в базисе

e1 ,er2 ,..., ern и

матрицу

в другом базисе этого пространства er' ,er' ,..., er'

. Тогда

эти матрицы связаны соотношением

B =T −1 AT ,

e1 ,er2 ,..., ern

где

— матрица

перехода

от

базиса

базису

er' ,er' ,..., er' .

2.2.Действия с линейными операторами

Пусть даны f и g - два линейных оператора в пространстве

V .

Операторы считаются равными, если f (x) = g(x) для любого

x из V . Равные линейные операторы в одном и том же базисе имеют одинаковые матрицы.

Суммой линейных операторов f			и g называют		линейный
оператор	f + g ,	действующий		по	правилу
( f + g)(x) = f (x) + g(x)		для любого x	из V .	Матрицей суммы

линейных операторов в фиксированном базисе является сумма матриц слагаемых операторов в том же базисе.

Произведением	линейного	оператора		f	на	число α
называют линейный	оператор	α f ,	действующий			по правилу
(α f )(x) =α ( f (x))	для любого		x из	V .	При	умножении

оператора на число его матрица умножается на то же число.

Произведением линейных операторов f и g называют результат последовательного выполнения этих операторов и обозначают fg . Произведение линейных операторов f и g - тоже линейный оператор, действующий по правилу ( fg)(x) = f (g(x))

для любого x из V . Матрицей произведения линейных операторов в фиксированном базисе является произведение матрицы оператора, действующего вторым, на матрицу оператора, действующего первым в том же базисе.

2.3.Характеристический многочлен

Характеристической матрицей квадратной матрицы A

порядка n называют матрицу A −λE с переменной λ , принимающей

любые числовые значения.
Определитель			A −λE	матрицы		A −λE	является

многочленом	n-й	степени от		λ . Этот многочлен называют
характеристическим			многочленом матрицы			A , а его корни
λ1, λ2 ,..., λn	-		характеристическими			корнями	или
характеристическими			числами	матрицы	A .	Транспонированная
матрица At	имеет одинаковые с			матрицей	A характеристические
многочлены и характеристические числа.

2.4.Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой	вектор x линейного		пространства V			называется
собственным вектором линейного оператора					f , если	существует
такое вещественное число λ , что выполняется равенство
f (x) = λxr .						(2.1)
Число λ	называется	собственным		значением		линейного
оператора f .
Равенство (1) можно записать в матричной форме:
Ax = λx,						(2.2)
где A - матрица линейного		оператора	f ,	x	- вектор-столбец из
координат вектора x .
Перепишем равенство (2.2) в виде
(A −λE)x = 0 .						(2.3)

Это матричная запись системы линейных однородных

уравнений относительно столбца				x координат собственного вектора,
принадлежащего собственному значению λ . Ее подробная запись:
(a11 −λ)x1 + a12 x2 +...+ a1n xn							= 0
a21x1		+(a22 −λ)x2 +...+ a2n xn					= 0
KKKKKKKKKKK							(2.4)

a	x	+ a	x +...+(a		−λ)x		= 0 .
	n1 1	n2	2	nn		n
То есть, если		известно		собственное		значение λ , то все

собственные векторы, принадлежащие этому собственному значению, находятся как ненулевые решения системы (2.4). С другой стороны,

однородная	система	с квадратной	матрицей (A −λE) имеет
ненулевые	решения	лишь тогда,	когда определитель	A −λE

матрицы этой системы равен нулю.

Поэтому для отыскания собственных значений оператора с

матрицей	A нужно найти все характеристические числа матрицы A
из условия		A −λE	= 0 .

А для отыскания собственных векторов нужно найти все ненулевые решения системы (2.4) при каждом собственном

значенииλ .

2.5. Ортогональные и симметрические матрицы и преобразования

Матрица A называется ортогональной, если At A = AAt = E ,

где E - единичная матрица (т.е. транспонированная матрица совпадает с обратной).

Для ортогональной матрицы A ее определитель A = ±1.

Линейный оператор в евклидовом пространстве является ортогональным, если его матрица в некотором ортонормированном базисе является ортогональной.

Матрица A называется симметрической, если A = At . Линейный оператор f в евклидовом пространстве является

симметрическим или самосопряженным, если для произвольных векторов xr1 и x2 скалярное произведение (x1, f (xr2 )) равно

скалярному произведению (xr2 , f (xr1)) . Симметрический оператор в

любом ортонормированном базисе евклидова пространства имеет симметрическую матрицу. Собственные векторы симметрического оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

В базисе из собственных векторов матрица оператора имеет вид

					λ	0
					1
				Λ =	O	,
					0	λ
						n
где λ1, λ2 ,..., λn			- собственные значения оператора.
Если в исходном базисе er1 ,er2 ,..., ern оператор имеет матрицу
A , а в базисе er' ,er'				,..., er' из собственных векторов - матрицу Λ, то
		1	2	n			,..., er
Λ =T −1 AT ,		где	T	- матрица перехода от базиса e ,er			,..., er	к
базису er'	,er'	,..., er'				1 2	n
базису er'	,er'	,..., er'		, то есть произвольную симметрическую матрицу
1	2		n

можно привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы.

Любой симметрический линейный оператор f (с матрицей A )

в пространстве 3 имеет, по крайней мере, одну тройку попарно перпендикулярных собственных векторов, при определении которых возможны следующие случаи:

•Если собственные значения λ1, λ2 , λ3 симметрической матрицы

A различны, то соответствующие собственные векторы попарно ортогональны.

•Если среди чисел λ1, λ2 , λ3 два одинаковых, то двукратному корню, например, λ2 = λ3 , соответствует бесконечное множество собственных векторов, лежащих в плоскости, перпендикулярной к собственному вектору, соответствующему собственному значению λ1 .

•Если все собственные значения одинаковы, т.е. λ1 = λ2 = λ3 = λ - трехкратный корень, то симметрический линейный оператор есть подобие в пространстве с коэффициентом λ . Следовательно, в этом случае любые три попарно перпендикулярных вектора являются собственными векторами симметрического линейного оператора.

Пример 1. Пусть на плоскости	R2 фиксирован базис e ,	e . И пусть
	1	2

на плоскости действует отображение ϕ :

ϕ: x1 → x1 + x2 .

x2 x1 − x2

Показать, что отображение ϕ : R2 → R2 является линейным

оператором, и выписать его матрицу в том базисе, в котором даны координаты векторов.

Решение.

Для того чтобы доказать, что отображение ϕ : R2 → R2 является

линейным оператором, достаточно показать, что этот оператор обладает свойствами, указанными в определении линейного оператора. Пусть векторы x и y имеют следующие координаты:

x		y
x = 1	,	y =	1
x2		y2

вбазисе e1, e2 . Выпишем действие оператора ϕ на их сумму

x+ y :

+ y

+ x

+ y

ϕ(x + y) =ϕ

x2 + y2

x1 + y1 − x2 − y2

+ x ) +( y + y

)

+ x

+ y

=ϕ(x) +ϕ( y).

(x1 − x2 ) +( y1 − y2 )

x1 − x2

y1 − y2

Аналогично можно расписать действие ϕ на скалярное произведение:

αx

+αx

ϕ(αx) =ϕ

αx2

αx1 −αx2

α(x

+ x

)

+ x

=αϕ(x).

=α

α(x1 − x2 )

x1 − x2

Эти соотношения в совокупности означают, что согласно определению линейного оператора отображение ϕ , действующее на плоскости,

действительно является линейным оператором.

Теперь выпишем матрицу этого оператора в указанном базисе. Для этого надо знать, во что переходят базисные векторы e1, e2 под

действием оператора ϕ . Заметим,	что в		базисе		e1,	e2 базисные
векторы имеют следующие координаты:		e1	1			0
векторы имеют следующие координаты:		e1	=	,	e2 =	1	.
Поэтому			0			1
Поэтому
1 1+0		1		= e1 +e2 ,
ϕ(e1 ) =ϕ =	−0	=		= e1 +e2 ,
0 1	−0	1

0 0 +1 1

ϕ(e2 ) =ϕ 1 = 0 −1 = −1 = e1 −e2 ,

имы можем записать разложения образов базисных векторов по базису:

ϕ(e1 ) = e1 +e2ϕ(e2 ) = e1 −e2 .

Отсюда	1	1
Отсюда	A =	.
	1	−1

Пример 2. Пусть в двумерном пространстве линейный оператор f в базисе e1, e2 задан матрицей

5		3
A =	−1	4	.

Найти f (x) , если x = 2e1 −3e2 .

Решение.

По теореме о связи координат вектора x и его образа y имеем:

		f (x) = y = Ax .
По этой формуле находим
y	=	5 3	2		1
1	=			=	−14	.
y2		−1 4	−3		−14

Следовательно, y = f (x) = e1 −14e2 .

Пример 3. Найти матрицу линейного оператора ϕ , который переводит тройку линейно независимых векторов

a1 = (0,0,1),			a2	= (0,1,1),			a3 = (1,1,1)
в тройку произвольных векторов
b1 = (1,3, −2),			b2	= (−1,1,1),			b3 = (2,2,1)
в том базисе, в котором даны координаты этих векторов.
Решение.				оператор ϕ переводит векторы					ai в
1 вариант. Итак, по условию,				оператор ϕ переводит векторы					ai в
векторы bi :
ϕ(a ) = b				ϕ(e ) = e			+3e	−2e
	1	1			3	1	2	3
ϕ(a2 ) = b2 , то есть ϕ(e2 +e3 ) = −e1 +e2 +e3									.
ϕ(a3 ) = b3				ϕ(e1 +e2 +e3 ) = 2e1 + 2e2 +e3

Воспользуемся свойствами линейного оператора и запишем систему следующим образом:

ϕ(e3 ) = e1 +3e2 −2e3

ϕ(e2 ) +ϕ(e3 ) = −e1 +e2 +e3

ϕ(e1 ) +ϕ(e2 ) +ϕ(e3 ) = 2e1 + 2e2 +e3 .

Для разрешения этой системы относительно ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 ) мы

воспользуемся одним из вариантов метода Гаусса, который состоит в следующем. Выпишем в виде единой таблицы коэффициенты при ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 ) и при e1, e2 , e3 . После чего при помощи элементарных преобразований строк приведем левую часть к единичному виду. Тогда в правой части окажутся как раз коэффициенты нужных нам разложений:

0		0	1	1	3	−2	←III		1		1	1	2	2	1	−II		1	0	0	3	1	0

	0	1	1	−1 1		1				0	1	1	−1 1		1		−III	0	1	0	−2	−2	3	.

	1 1		1	2	2	1		←I		0 0		1	1	3	−2			0	0	1	1	3	2

Таким образом, мы выписываем разложения образов базисных векторов:

ϕ(e ) = 3e			+e
	1	1	2
ϕ(e2 ) = −2e1 −2e2 +3e3
ϕ(e3 ) = e1 +3e2 −2e3				.

Отсюда записываем матрицу линейного оператора ϕ :

3		−2	1
A =	1	−2	3 .
	0	3	−2

2 вариант. Пусть A - матрица заданного оператора. Тогда по условию получаем

A (a1, a2 , a3 ) = (b1,b2 ,b3 ) , отсюда A = (b1,b2 ,b3 ) (a1, a2 , a3 )−1 .

Записывая координаты векторов по столбцам, получаем

1	−1	2 0		0	1 −1	3	−2	1
A = 3	1	2	0	1	1	= 1	−2	3 .
−2 1		1	1	1	1	0	3 −2

Пример 4. Пусть оператор ϕ действует в трехмерном пространстве и

переводит при этом векторы ai	в векторы bi :
a1 = (0,0,1)	a2	= (0,1,3)	a3 = (−1,2,1)
b1 = (2,3,2)	b2	= (1,0,1)	b3 = (−2,3,1) .

Найти координаты вектора ϕ(x) , если x = (1,0, −1) .

Решение.

Прежде всего вычислим матрицу оператора ϕ в том базисе, в котором

указаны координаты всех векторов так же, как мы это уже делали выше (см. пример 3), а затем применим теорему о действии линейного оператора в матричной форме (см. пример 2).

Т.к. оператор ϕ переводит векторы ai						в векторы bi , то
ϕ(a ) = b				ϕ(e ) = 2e +3e + 2e
	1		1		3	1	2	3
ϕ(a2 ) = b2 , то есть ϕ(e2 +3e3 ) = e1 +e3
ϕ(a3 ) = b3				ϕ(−e1 + 2e2 +e3 ) = −2e1 +3e2 +e3
	ϕ(e		) = 2e	+3e	+ 2e
		3	1	2	3
и значит, ϕ(e2 ) +3ϕ(e3 ) = e1 +e3
	−ϕ(e ) + 2ϕ(e ) +ϕ(e ) = −2e						+3e	+e .
			1	2	3	1	2	3

Теперь, применяя метод Гаусса, мы можем выразить разложения образов базисных векторов:

0			0	1	2				3	2	← III			−1		2	1	−2	3		1	−II
0			0	1	2				3	2	← III			−1		2	1	−2	3		1	−II
	0		1	3	1				0	1					0	1	3	1	0		1	−III 3
	0		1	3	1				0	1					0	1	3	1	0		1	−III 3
	−1 2 1				−2 3 1							← I			0 0 1			2 3 2
	−1 2 1				−2 3 1							← I			0 0 1			2 3 2

	−1 2 0							−4 0				−1 −II 2				−1 0 0				6 18 9 (−1)
	−1 2 0							−4 0				−1 −II 2				−1 0 0				6 18 9 (−1)
		0 1 0						−5 −9				−5					0 1 0			−5 −9 −5
		0 1 0						−5 −9				−5					0 1 0			−5 −9 −5
		0 0 1						2 3 2									0 0 1			2 3 2
		0 0 1						2 3 2									0 0 1			2 3 2

		1 0 0				−6 −18						−9
		1 0 0				−6 −18						−9
		0 1 0				−5 −9						−5
		0 1 0				−5 −9						−5	.
		0	0	1			2			3		2

Таким образом, мы выписываем разложения образов базисных векторов:

ϕ(e1) = −6e1 −18e2 −9e3

ϕ(e2 ) = −5e1 −9e2 −5e3

ϕ(e3 ) = 2e1 +3e2 + 2e3 .

Отсюда записываем матрицу линейного оператора ϕ :

−6		−5	2
A =	−18 −9		3 .
	−9	−5	2

Дальнейшее решение сводится к матричному умножению:

−6	−5	2 1 −8
ϕ(x) = −18 −9		3 0	= −21 .
−9	−5	2 −1	−11

Пример 5. Найти характеристический многочлен и характеристические числа матрицы:

0		−2	−3
A =	−2 0		−3 .
	2	2	5

Решение.

Характеристический многочлен данной матрицы имеет вид

f (λ) =	−λ	−2	−3	= −λ3 +5λ2 −8λ + 4.
	−λ	−2	−3
	−2	−λ −3
	2	2	5 −λ

Для нахождения характеристических чисел решаем уравнение f (x) = 0,

λ3 −5λ2 +8λ −4 = 0 , (λ3 −λ2 ) −(4λ2 −4λ) +(4λ −4) = 0 , (λ −1)(λ2 −4λ + 4) = 0 .

Корни этого уравнения (характеристические числа):

λ1 =1, λ2 = λ3 = 2 .

Пример 6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора ϕ , заданного в некотором базисе матрицей:

0	−2	−3
A = −2 0		−3 .
2	2	5
Решение.
Характеристическое уравнение	(см.	пример	5) имеет вид
λ3 −5λ2 +8λ −4 = 0 , и так как	его корни -		характеристические

числа, то они являются собственными значениями оператора ϕ .

Собственные векторы, соответствующие									собственным		значениям
λ1 =1,		λ2	= λ3 = 2 ,		найдем		из однородной системы уравнений,
которая в данном случае примет вид
−λx1 −2x2 −3x3 = 0							λx1 + 2x2 +3x3 = 0
−2x1 −λx2 −3x3 = 0							или 2x1 +λx2 +3x3 = 0
2x		+ 2x +		(5 −λ)x = 0			2x + 2x +(5 −λ)x = 0 .
	1		2		3			1	2		3
Подставим сюда λ =1, получим систему уравнений
					x1 + 2x2 +3x3 = 0
					2x1 + x2 +3x3 = 0
					2x		+ 2x +	4x	= 0 .
						1	2	3
Ранг	этой		системы		равен	2; одно		из	ее	решений	имеет вид
x1 =1,		x2	=1,	x3 = −1.		Тогда собственные				векторы	для λ =1
имеют вид U1 =α(1,1, −1) , где α ≠ 0 - любое действительное число.
Пусть теперь λ = 2 , тогда получаем
					2x1 + 2x2 +3x3 = 0
					2x1 + 2x2 +3x3 = 0
					2x		+ 2x +	3x	= 0 ,
						1	2	3

ранг которой равен 1. Два ее линейных независимых решения имеют вид

x1 = −1, x2 =1, x3 = 0

x	= − 3 , x	2	= 0, x	=1.
1	2	2	3
	2

Собственные	векторы			для	λ = 2	имеют	вид
U2 = β(−1,1,0),	U3	=γ (−	3	,0,1) , где	β ≠ 0	и γ ≠ 0	- любые
			2

действительные числа.

Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы симметрического линейного оператора ϕ , заданного в некотором

ортогональном базисе матрицей
7		1	1
	1	7
A =	1	7	−1	,
	1	−1
	1	−1	7

и привести ее к диагональному виду.

Решение.

Как в примере 6, составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения оператора:

	7 −λ	1	1		= λ3 −21λ2 +144λ −320 = 0.
	7 −λ	1	1
	1	7 −λ	−1
	1	−1	7 −λ
Корни этого уравнения λ1 = 5,				λ2 = λ3 = 8 .

Собственные векторы, соответствующие λ1 = 5, λ = 8 , найдем из однородной системы уравнений, которая в данном случае примет вид

(7 −λ)x1 + x2 + x3 = 0

x1 +(7 −λ)x2 − x3 = 0
x − x +(7 −					λ)x = 0 .
1		2			3
Подставив сюда λ1 = 5 , получим
2x + x			2	+ x = 0
		1			3
x1		+ 2x2 − x3 = 0
x − x			+ 2x = 0 .
	1	2			3
Ранг этой системы равен 2.	Тогда собственные векторы для λ1 = 5
имеют вид U1 =α(1, −1, −1) ,		где		α ≠ 0 - любое действительное

число.

Аналогично найдем собственные векторы для λ = 8 :

U2 = β(1,0,1) , где β ≠ 0 - любое действительное число.

Так как собственное значение λ = 8 является двукратным корнем характеристического уравнения, ему соответствует бесконечное множество собственных векторов, лежащих в плоскости, перпендикулярной к собственному вектору, соответствующему

собственному значению λ1 = 5 . Поэтому, умножив векторно U1 на

U2 , найдем еще собственные векторы с собственным значением

λ = 8 :

U1 ×U2 =U3 =α β(−1, −2,1) .

Итак, симметрический линейный оператор ϕ с данной

симметрической матрицей A имеет, по крайней мере, одну тройку попарно перпендикулярных собственных векторов, а следовательно

матрицу A можно привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы.

Нормируя собственные векторы

U1 = (1, −1, −1) , U2 = (1,0,1) и U3 = (−1, −2,1) ,

получаем векторы

e (	1	, −	1	, −	1	),	e (	1		,0,	1	),	e (−		1		, −	2	,	1	) ,
e (		, −		, −		),	e (			,0,		),	e (−				, −		,		) ,
1	3	3		3			2		2		2		3			6	6			6
	3	3		3					2		2					6	6			6
которые составляют ортонормированный базис.
Ортогональная матрица перехода имеет вид
										1	1		−	1

										3	2			6
										3	2			6
										1				2
							T =		−		0		−			.
							T =		−	3	0		−	6		.
										3	1			6
									−	1	1			1

										3	2			6
										3	2			6

Обратная ей матрица

							1		−	1	−	1

								3		3		3
								3		3		3
			T	−1			1					1
					=					0			.
					=			2		0		2	.
								2		2		2
						−		1	−	2		1

								6		6		6
								6		6		6
		5			0	0
Тогда B =T	−1		0		8	0		- диагональная матрица, элементами
Тогда B =T		AT =	0		8	0		- диагональная матрица, элементами
			0		0	8
			0		0	8

главной диагонали которой являются собственные значения.

Задачи к теме «Линейные операторы»

Координаты вектора xr(α1, α2 , α3 ) и вектора f (x) заданы в

одном и том же базисе. Выясните, являются ли данные преобразования линейными:

1.	f (xr) = yr(2α −α				3	, α				, α −α					2	) .
	r	r	1		3				3				1		2
2.	f (x)	= y(α + 2, α						, α				) .
3.	r	r	1				2				3			) .
3.	f (x)	= y(αα		, α α					, α α					) .
	r	r	1 2		2			3				1	3
4.	f (x)	= y(2α1, 0, 0) .
5.	f (xr) = yr(α2 , α2 , α							2 ) .
	r	r	1	2			3
6.	f (x)	= y(α2 −2α3 , α1 +α2 , α1 ) .
	Матрица A линейного преобразования f и вектор x заданы в
некотором базисе. Найти в этом базисе координаты вектора y = f (xr) :
7.	A =	−1	1	r					−1) .
7.	A =	2	,	x(2;					−1) .
		2	1
8.	A =	1	0	r
8.	A =	0	,	x(3;2) .
		0	1

9.	A =	3		0	,		r
9.	A =		2		,		x(−1;7) .
			2	3
		−1		0		2
10.	A =		2	1		1		,	r		r		r	r
10.	A =		2	1		1		,	x = 2e			+4e		−e .
											1		2	3
			3	0
			3	0	−1
		0		0	1
11.	A =		1	1	2		,	r	r		+	r		r
11.	A =		1	1	2		,	x	= −e		+	2e	+e .
									1			2		3
			1	2	1
			1	2	1				r				r		r′ r′	r′
	Даны			два	базиса				r				r	и	r′ r′	r′
	Даны			два	базиса				e , e , ... , e					и	e , e , ... , e . Найдите
									1	2			n	r	1 r2	3
матрицу этого преобразования в базисе e1′, e2′, ... , e3′:

12.	−3
	A =	2

13.	2
	A =	−3

14.	1
	A =	2

e1′ = e2

e2′

= e1

+e2 .

−1

, e1′ = e2 −2e1 , e2′

= 2e1

−4e2 .

−4

, e1′

= 2e2

3e1

, e2′

2e1

2e2 .

−2

15.

A =

er1′ = 3er1 +er2 +2er3 ,

er2′ = 2er1 +er2 +2er3 , er3′ = −er1 +2er2 +5er3

−1

16.

r .

A =

0 1 −1

e1′

= 2e1

+e2

−e3 ,

e2′

= 2e1

−e2

+ 2e3

e3′

= 3e1

+e3

ar в

Найти матрицу преобразования, переводящего

векторы

векторы b :

ar2

ar3 = (0,0, −1) ,

17.

a1 = (1, −1,3) ,

= (0,1, 4) ,

(3,5, 2) ,

= (3,3,0) ,

= (4,1, 2).

= (0,1, 4) ,

= (1,0, −1) ,

18.

a1 = (0, −1,0) ,

(2,1,1) ,

= (3,3, 4) ,

= (1,1, 2).

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.2015598.34 Кб90без таблиц.docx
#
07.06.20151.08 Mб20Безверхов, Шевченко учебное пособие.doc
#
22.11.201995.11 Кб5Безналичные расчеты.docx
#
16.03.2015138.75 Кб13БезОСметодичка3.doc
#
07.06.201516.99 Кб18безтарифная система труда.docx
#
16.03.20151.08 Mб27Белашевский Г.Е Алгебра и геометрия.pdf
#
07.06.2015411.16 Кб8Белик - культурология.docx
#
16.03.201510.56 Mб618Беловицкая, А. А. Общее книговедение. 2007.rtf
#
16.03.20154.77 Mб352Белозерцев В.Н. Основы механики.pdf
#
16.03.2015238.01 Кб27Бердяев Н.А. Человек и машина.rtf
#
07.06.20151.05 Mб46Бесов.pdf