Белашевский Г.Е Алгебра и геометрия

3.

Если

f :V aW

–

линейное

преобразование,

то

f • oSym = Sym o f • ,

где

отображение f • :TpoV aTpoW

задано формулой

f •T (v

1

,...v

p

) =T ( f (v ),... f (v

p

)) .

1

В координатном представлении

1

(SymT )i ,i ,...,i

=

∑Tiσ(1),iσ(2),...,iσ( p) .

1

2

p

p!σ Sp

Пример.

Пусть

T TpoV ,

p = 2.

Так

как

S

1

2

1

2

=

2

,

2

1

, то

p

1

SymT

= 1 (σ1T

+σ2T )

= 1 (T (v1,v2 )+T

(v2 ,v1 )).

2

2

Отображение,

которое

T TpoV

ставит в соответствие

тензор

Alt (T )

=

1

∑ signσ σ (T ),

называется

p!σ S p

альтернированием.

В координатном представлении

(AltT )i ,i

=

1

∑ sign σ Tiσ(1),iσ(2),...,iσ( p) .

,...,i

1

2

p

p!σ S p

Пусть ωp ΛpV ,

hq ΛqV . Отображение

ΛpV × ΛqV → Λp+qV ,

ωp hq : =

( p + q)!

Alt (ω h)

p!q!

называется внешним произведением форм.

Свойства внешнего произведения:

1. ассоциативность (ωp hq ) f r =ωp (hq f r ) ;

2.

дистрибутивность

ωp (hq + f q ) =ωp hq +ωp f q ;

3. косая коммутативность ωp hq = (−1)pq hq ωp .

Из свойства

3,

в частности,

следует

ω1 ω1 = 0 . Пусть

dimV = n .

Можно

доказать,

что

dim ΛpV = Cnp ,

где

Cnp =

n!

, и

базисом

линейного пространства ΛpV

p!(n − p)!

uuuuuuuuuuuuuuuuuur

является

набор

внешних произведений

{ei1 ei2

.... eip}

1≤ i1 < i2 <... < ip ≤ n

базисных

форм

сопряженного

пространства V .

Пусть

f :U a Rm , точка а U Rn .

Функция

f

L

f

:T Rn →T

f (a)

Rm

a

такое, что f (a + h) − f (a) = Lf

h + o(h) , где o(h) → 0

при h → 0 . Обозначение:

′

= dfa = Df (a) . В

Lf = f (a)

136

Пусть М –

топологическое пространство, U – открытое

множество в М,

V – открытое множество в Rn , ϕ :U →V –

областям

определения

двух карт(Uα ,ϕα ) и (Uβ ,ϕ β ) , то

Uαβ ≡Uα ∩Uβ ≠ Ø и координаты

xi (x), xi′(x)

точки х в

картах

(Uα ,ϕα ) ,

(Uβ ,ϕ β )

соответственно

связаны

ϕβα :ϕα (Uαβ ) →ϕβ (Uαβ ),

xi′ =ϕβα (xi ) ,

где ϕ

βα

=ϕ

β

oϕ−1 .

α

дифференцируемое многообразие размерности dim S = 2 .

Пусть

М,

Н

–

два

дифференцируемых

многообразия,

dim M = n dim H = n ,

(Uα ,ϕα ) ,

(Vβ ,ψ β ) – локальные карты

на

М,

Н

соответственно.

Отображение

f : M → H ,

x a y = f (x)

называется дифференцируемым,

если дифференцируемы локальные

записи

fβα : y j

= fβαj (xi )

в

картах (Uα ,ϕα ) ,

(Vβ ,ψ β ) ,

здесь f

βα

(xi ) =ψ

β

o f oϕ−1(xi ) .

α

11.2. Касательное пространство

Пусть М – дифференцируемое многообразие, I – интервал в R,

γ : I → Ì

–

параметризованная

кривая

на

М,

γα : I → Rn

–

локальная

запись

γ ,

γ

α

(t) =ϕ

oγ(t) =γ i (t)e

в

карте

α

i

(Uα ,ϕα ) .

Дифференцируя

равенство

γβ (t) =ϕβα oγα (t),

τ

= dϕ

τ

τ

=

dxi′

τ

=

dxi

e

получим

β

βα

α

,

где

β

e ′,

α

dt

и

dt

i

i

dϕβα (x) ≡

Aβα =

i′

dγ

i

∂xi

.

Так

как

набор

чисел

∂x

dt

то τβ ,τα

можно рассматривать

записи касательного

вектора

τ = dγ

в различных картах.

Отметим, что из

свойств

dt

138

преобразований

координат

следуют

равенства

A = A A , A = A−1 .

λα

λβ

βα αβ

βα

Множество всех касательных векторов в

точке x M

называется

касательным пространством Tx M ,

а объединение

вектор в точке x M к j

– той координатной линии обозначается

символом ∂j x . Система

векторов {∂j x}

образует базис

касательного пространства

Tx M , замена базиса

выполняется по

ϕ

:T M → Rn ,τ aτ

α

.

Если f : M → H

α x

x

–

дифференцируемое

отображение и

fβα : y j = fβαj (xi )

– его локальная запись в картах (Uα ,ϕα ) ,

Атлас

(Uα ,ϕα ) на М

называется ориентированным, если

α, β

i′

> 0 . Многообразие М называется

det Aβα = det

∂xi

∂x

Конструкция тензорного произведения может быть применена к

линейным пространствам T M и T M . Например, тензор Т типа

x

x

(1,1)

в точке

x M является элементом тензорного произведения

T M T M и его разложение по базису можно записать в виде

x

x

T (x) =T i

(x) ∂

x dx j

. Считая точку х переменной, приходим к

• j

i

тензорному полю типа (1,1) на многообразии М.

Многообразие М называется римановым, на нем задано гладкое

метрическое

тензорное поле

g(x) = gij (x) dxi dx j , матрица

что превращает Tx M в евклидово пространство. Поля внешних форм

на М вводятся с помощью сопряженных пространств T M . Пусть

x

ωp (õ) Λp (T

M ) ,

тогда

x

ω

p

(õ) =ω

i

i

ip

,

(õ) dx 1

Λdx 2 Λ → Λdx

i i →i

p

1 2

T (x) =Tji1ij2 ......ijp

(x)∂i

x ∂i x...∂i

x dx j1 dx j2 ... dx jq ,

1 2

q

1

2

p

T (x) = kTji1ij2 ......ijp

(x)∂i

x∂i x...∂i

xdx j1 dx j2 ...dx jq dxk ,

1 2

q

1

2

p

где компоненты kTji1ij2 ......ijp

тензорного поля T имеют вид

1

2

q

i1i2 ...ip

= ∂k

i1i2 ...ip

i

ii2 ...ip

ip i i

...i

kTj j ... j

q

Tj j

... j

+Γik1

Tj j ... j

+... +ΓikTj1j2

...

j

1 2

1 2

q

1 2

q

1 2

q

−Γjj

kTjji1i2......jip

−... −Γjj

kTji1ij2 ......ijp .

1

2

q

q

1 2

дифференцирования, сам

же набор { Γk

}

тензором

не

является.

ij

Действительно, для

векторного

поля V =V i∂i x

из

последней

формулы

следует

V i

= ∂ V i + Γi V j .

Используя

k

k

jk

обозначение

Ak′ =

∂xk′

, можно записать:

k

∂xk

V i = Ak′ Ai′

′V i′ = Ak′ Ai′(∂

′V i′ + Γi′′ ′V j′) .

k

k i k

k i k

k j

Ak′ Ai′Γi′′ ′ = Ak′∂

′ Ai′

+ A j′Γi

. Тогда закон преобразования Γk

:

k i k j

k

k

i

j kj

ij

Γi

= A j′ Ak′ Ai′Γi′′ ′ −A j′ Ak′∂

′ Ai′ .

kj

j

k i

k j

j k k

i

объект Ωi

= Γi

−Γi

. Проверка тензорных свойств проводится с

jk

jk

kj

помощью

закона

преобразования Γk . Связность Γk

называется

ij

ij

симметричной, если тензор кручения равен нулю.

{ Γk

Симметричная

аффинная

связность

}

называется

ij

согласованной

с

метрикой g

(или

римановой

связностью), если

g = 0 . Из равенства k gij

= 0 можно получить выражения для

римановой связности { Γk

}, единственной связности, согласованной с

ij

метрикой g:

∂gsj

∂gij

Ã

k

=

1

g

ks ∂g

is

+

−

, где

g

g

kj

=δ

j

.

2

∂xi

∂xs

ij

∂x j

ik

i

T =

k

T i1i2 ...ip

(x)∂

i

x...dx jq dxk (v p∂

p

x) =

v

j

j ...

j

1

2

q

1

= kTji1ij2 ......ijp

(x)∂i x...dx jq v pdxk (∂p x) =

1 2

q

1

i1i2 ...ip

(x)∂i

x...dx

jq

v

p k

= kTj

j

... j

q

δp .

1

2

1

И окончательно T = vk

T i1i2 ...ip

(x)∂

i

x...dx jq .

v

k

j

j ... j

1

2

q

1

dxk ∂T i

+T p dxk

Γi

= dT i

+T pΓi

dxk

= 0.

dt ∂xk

dt

pk

dt

pk

dt

Система уравнений

dT i +T pΓi

dxk

= 0 называется системой

dt

pk

dt

произведение (V,W)

= const вдоль кривой γ . Кривая

γ : I → Ì

называется

геодезической,

если

ττ = 0.

Уравнения

d 2 xi

+ Γ

i

dx p

dxk

= 0 называются уравнениями геодезических.

dt2

pk

dt

dt

выполняется равенство

∂2 f

=

∂2 f

. В случае ковариантного

1

2

2

1

∂x ∂x

∂x

∂x

V i ≠

V i .

дифференцирования

в

общем

случае

k

p

p

k

Вычислим вторую ковариантную производную векторного поля V. Для

этого

введем

обозначение

V i

≡T i

,

p

p

T i

= V i =

∂V i

+ Ãi

V s

,

тогда

p

p

∂x p

ps

∂T i

V i =

T i

=

p

+ Ãi

T s − Ãs

T i

=

∂xk

k

p

k

p

ks p

kp s

∂

∂Vi

i

s

i

∂Vs

s

l

s

∂Vi

i

l

=

p +ÃpsV

+

Ãks

p +ÃplV

−Ãkp

s +ÃslV

.

∂x

k

∂x

∂x

∂x

Отсюда

∂Ãips

i

∂2Vi

s

i ∂Vs

i ∂Vs

s ∂Vi

i

s

l

V

=

+

V

+

Ã

+

Ã

−Ã

+Ã Ã V

−

∂xk∂xp

∂xk

k p

ks ∂xp

ks ∂xp

kp ∂xs

ks pl

−Ãs

Ãi V l . Аналогично получим

kp

sl

Vi

=

∂2Vi

+

∂Ãksi

Vs +Ãi ∂Vs +Ãi ∂Vs

−

Ãs ∂Vi

+

Ãi

ÃsVl

−Ãs Ãi

Vl

∂xp∂xk

.

p k

∂xp

ks ∂xp

ps ∂xk

pk ∂xs

ps kl

pk sl

Тогда

i

i

∂Ãips

∂Ãi

i

l

i

l

s

k

V

−

p

V

=

−

ks

+ Ã

kl

Ã

ps

−

Ã

pl

Ã

V

k

p

k

∂x

∂x

p

ks

.

∂Ãips

T

• •

l

=

−

∂Ãi

+

Ã

i

Ã

l

−

Ã

i

Ã

l

Тензор