Белашевский Г.Е Алгебра и геометрия

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

c ≠ 0, c2 +c2 ≠ 0 и diag(1,2,2), базис: {(1,1,1),(1,1,0),(1,0, −3)}.

λ = 2, с (1,1, −1, 0) + с

(1,1, 0,1), где с2

+ с2 ≠ 0 .

c1 (1,0,1,0) +c2 (0,0,0,1),

λ3 = λ4 = 0,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

19.	ar1 = (−1,1, 4) ,										ar2		= (0,1, 2) ,		ar3 = (0,0, −1) ,
19.	r								r					r
	b1 =		(1,1, 2) ,						b2			= (3,3,1) ,		b3	= (4, −1,1).
20.	Найти			преобразование, обратное линейному												преобразованию:
	x		=	2y		−3y			2		− y
		1		1					2				3
	x2 = y1 −2y2 +3y3
	x		= y − y				2	−		5y .
		3		1			2					3		базисеer1 ,er2 ,er3 , er4
21.	Линейное					преобразование в								базисеer1 ,er2 ,er3 , er4		имеет	матрицу
	1		2			0		1
		3	0		−1			2
		3	0		−1			2				.
		2	5			3		1				.


	1		2			1		3
	Найти					матрицу							этого		преобразования	в	базисе
	er1 ,er1 +er2 ,er1 +er2 +er3 , er1 +er2 +er3 +er4 .
22.	Линейное преобразование в базисеer1 ,er2 ,er3 имеет матрицу
	15			−11			5
		20		−15			8
		20		−15			8		.
		8		−7			6
		8		−7			6
	Найти матрицу этого преобразования в базисе
	qr1 = 2er1 +3er2 +er3 , qr2 = 3er1 + 4er2 +er3 , qr3 = er1 + 2er2 + 2er3.
23.	Линейное преобразование в базисе
	ar1 = (8, −6,7), ar2											= (−16,7, −13), ar3 = (9, −3,7) имеет матрицу
	1			−18			15
		−1		−22			20
		−1		−22			20				.
		1		−25			22
		1		−25			22
	Найти матрицу этого преобразования в базисе
	br1 = (1, −2,1), br2										= (3, −1, 2), br3 = (2,1, 2) .

Определить, какие из указанных векторов являются собственными векторами линейных операторов, заданных указанными матрицами:


	A =	1 0					r	=		1					,		r	=		0					r		0
24.	A =	−2 1		,			x1	=			2				,	x2		=			,				x3					.
		−2 1									2									3								−1
	A =	1 −1			,		r		=		−1					,		r			2								r					1
25.	A =				,		x1		=				3			,		x2	=			−4			,			x3		=				2	.
		−6 2											3									−4												2
		0	0	2								1									1										2
26.	A =	2	0	0		,		r		=				1		,		r	=			0		,			r		=			2			.
26.	A =	2	0	0		,		x		=				1		,		x	=			0		,			x		=			2			.
								1										2									3
		0	2	0										3								5										2
		0	2	0										3								5										2
		0	1 0									−1											1										−4
27.	A =	6	3	2		,		r		=					2		,	r		=			0			,			r		=				0	.
27.	A =	6	3	2		,		x		=					2		,	x	2	=			0			,			x		=				0	.
								1											2										3
		3	0	1											0																				1
		3	0	1											0								−3												1

Найти собственные значения и собственные векторы линейных операторов, заданных в некотором базисе указанными матрицами. Если матрица оператора приводится к диагональному виду путем перехода к новому базису, то найти эту диагональную матрицу и соответствующий базис:

	2		−1			2
28.		5	−3			3
28.		5	−3			3	.
		−1	0
		−1	0		−2
	0		1		0
29.		−4	4		0
29.		−4	4		0	.
		−2	1		2
		−2	1		2
	1		−3			3
30.		−2	−6
30.		−2	−6		13 .
		−1	−4			8
		−1	−4			8
	7		−12			6
31.			−19			10
31.	10		−19			10		.
			−24			13
	12		−24			13
	−1		3		−1
32.		−3	5
32.		−3	5		−1 .
		−3	3
		−3	3		1
	3		−1		0		0
		1	1		0		0
33.		1	1		0		0		.
33.		3	0		5	−3			.
		3	0		5	−3
	4		−1		3		−1
	1		0	0		0
		0	0	0		0
34.		0	0	0		0		.
34.		1	0	0		0		.


		0	0	0		1
	1		1		1		1
			1	−1
35.	1		1	−1			−1			.
35.			−1		1					.

	1						−1
	1		−1	−1			1

Проверить, является ли оператор A линейным в R3 , если является, то найти его матрицу. Определить собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей A:

36.Ax = (x2 + x3 , 2x1 + x3 , 3x1 − x2 + x3 ) .

37.Ax = (x2 + x1 , 2x1 −3x3 , −3x2 + x3 ) .

38. Ax = (x2 + x1 , x1 − x3 , x2 − x3 ) .

39.Ax = (2x2 + 4x1 , 3x1 − x3 , x2 +3x3 ) .

40.Ax = (x2 − x3 , 3x2 − x3 , 3x1 + x3 ) .

41.Ax = (x1 , x2 + 2x3 , x1 +2x2 +3x3 ) .

42.Ax = (x2 + x1 , x2 + x3 , − x1 + x3 ) .

43.Ax = (x1 + 2x2 +3x3 , x1 , x2 + 2x3 ) .

44.Ax = (2x1 −3x2 , −2x1 + x3 , x2 −2x1 ) .

45.Ax = (2x2 , x2 + x3 , x1 + x2 ) .

Ответы к задачам по теме «Линейные операторы»

1. Да. 2. Нет. 3. Нет. 4. Да. 5. Нет. 6. Да. 7.										y(−3,3) . 8.					y(3,0) .
	r											−2			3
9. y(−3,19) . 10. y(−4,7,7) . 11. y(1,3,4) . 12.													1		−2	.
													1		−2
		−3 14		5 6				−85 −59 18
13.		−3		. 14.			. 15.		121		84	−25		.
		−3	8	−6		−8			121		84	−25
									−13		−9	3
									−13		−9	3
		−2 11 7				34 19 −4						9			−2	5
16.		−4	14	8	. 17.		15 7		−1		. 18.		4		−2	4
16.		−4	14	8	. 17.		15 7		−1		. 18.		2		−1	1	.
													2		−1	1
		5 −15 −8					16 8		−2			13				5
		5 −15 −8					16 8		−2			13			−1	5
															−1	4
												4				4

	−6		11 −4			y1 =13x1 −14x2 −11x3
19.		4	1	1	. 20.	y	2	= 8x −9x			−7x .
							2	1		2	3
		−3	3	−1		y		= x − x	2	− x
						3		1	2		3


	−2			0	1	0			1		0	0
		1		−4	−8	−7
21.								. 22.		0	2	0	. 23.
		1		4	6	4
										0	0	3
		1		3	4	7

24.	xr2		,	xr3 . 25. x1,		xr3 . 26. xr3 . 27.					xr2 .
28.	λ1		= λ2 = λ3 = −1,				с(1,1, −1),				с ≠ 0; .

29.λ1 = λ2 = λ3 = 2, c1 (1,2,0) +c2 (0,0,1),

30.λ1 = λ2 = λ3 =1, с(3,1,1), гдес ≠ 0 .

31. λ1 = λ2 =1, c1 (1,2,0) +c2 (1,0, −1), λ3 c ≠ 0, c12 +c22 ≠ 0 и diag(1,1, −1), базис: {(2,1,0),(1,0, −1),(3,5,6)}.

1		2	2
	3	−1	−2	.
	2	−3	1
	2	−3	1

где c12 +c22 ≠ 0 .

= −1, c(3,5,6), где

32. λ1 =1, c(3,5,6), λ2 = λ3 = 2, c1 (1,1,0) +c2 (1,0, −3), где

c1 (0,1,0,0) +c2 (0,0,1,0) , где c12 +c22 ≠ 0 и diag(1,1,0,0), базис: {(1,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0)} .

35.

λ1 = λ2 = λ3 = 2,c1 (1,1,0,0) +c2 (1,0,1,0) +c3 (1,0,0,1), λ4 = −2,

c(1, −1, −1, −1) , где c2				+c2		+c2 ≠ 0, c ≠ 0				и diag(2,2,2, −2),
			1		2	3
базис: {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(1, −1, −1, −1)}.
0 1			1			1		1	0			1	1	0
	2	0					2	0				1	0
36. A =	2	0	1 . 37.		A =		2	0	−3 . 38.		A =	1	0	−1 .
	3	−1					0	−3 1				0	1
	3	−1	1				0	−3 1				0	1	−1
														39

		4	2	0				0	1	−1			1 0 0
		3	0					0	3			A =		0 1 2
39. A =		3	0	−1 . 40.			A =	0	3	−1 . 41.		A =		0 1 2	.
		0	1	3				3	0	1				1 2 3
		0	1	3				3	0	1				1 2 3
		1 1 0						1	2	3			2 −3 0
		0	1		1			1	0	0			− 2 0		1
42.	A =	0	1		1	. 43.	A =	1	0	0	. 44. A =		− 2 0		1	.
		−1 0 1						0	1	2			− 2 1 0
		−1 0 1						0	1	2			− 2 1 0
		0	2	0
		0	1	1
45.	A =	0	1	1	.
		1	1	0
		1	1	0

3.Квадратичные формы

3.1.Основные понятия и определения

Квадратичной формой от n переменных x1, x2 ,..., xn

называется симметрический однородный многочлен второй степени от этих переменных:

n n

ϕ(x1; x2 ;...; xn ) = ∑∑aij xi xj ,

i=1 j=1

где aij = aji - коэффициенты квадратичной формы.

Квадратичную форму можно записать в матричном виде:

ϕ(x1; x2 ;...; xn ) = xt Ax ,

где A - матрица, составленная из коэффициентов квадратичной

формы, а x = x...2 .

Квадратичная	форма	g(x ; x ;...; x ) = λ y2			+λ y2	+...+λy2	,
		1 2	n	1 1	2 2	n

содержащая только квадраты переменных, называется каноническим

видом квадратичной формы. Матрица B , соответствующая канонической форме квадратичной формы, диагональна. Если в каноническом виде квадратичной формы все коэффициенты равны 1 или -1, то такая квадратичная форма называется нормальным видом квадратичной формы.

3.2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Так как матрица A симметрическая вещественная, задача приведения квадратичной формы к каноническому виду сводится к задаче приведения к диагональному виду матрицы симметрического линейного преобразования с помощью ортогональной матрицы (ортогонального преобразования).

Корни характеристического многочлена матрицы A называют характеристическими числами квадратичной формы, а направления собственных векторов, соответствующих характеристическим числам,

главными направлениями квадратичной формы.

Правило нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму n переменных к каноническому виду:

•записать матрицу A квадратичной формы;

• составить характеристическое уравнение A −λE = 0 ;

•найти собственные значения λ1, λ2 ,..., λn ;

•записать однородную систему уравнений (A −λE)x = 0 и найти собственные векторы матрицы A ;

•образовать новый ортогональный базис из собственных векторов и составить ортогональную матрицу перехода T ;

•записать канонический вид квадратичной формы.

Мы рассмотрели случай, когда переход совершается от ортонормированного базиса к ортонормированному базису. В общем

случае правило изменения матрицы A квадратичной формы будет C = Qt AQ , где C - диагональная матрица полученного канонического вида, Q - матрица преобразования коэффициентов.

Так же для приведения квадратичной формы к каноническому виду применяется метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов по каждой переменной.

Пример 1. Привести к каноническому виду квадратичную форму:

ϕ(x , x ) = 2x2 −4x x +5x2 .

Решение.

•

Запишем

квадратичную

форму

симметрическом

виде

ϕ(x , x ) = 2x2

−2x x −2x x +5x2 ;

•

−2

запишем матрицу A квадратичной формы A =

;

−2

•

составим

характеристическое

уравнение

матрицы

2 −λ −2

= 0,

λ2 −7λ +6 = 0 ;

−2

5 −λ

•

находим собственные значения матрицы A λ1 =1,

λ2 = 6 ;

•

запишем

систему

уравнений,

определяющую

искомые

собственные векторы:

(2 −λ)x1 −2x2 = 0

;

λ)x2 = 0

−2x1 +(5 −

•

подставляя

сюда

λ = λ1 =1

λ = λ2 = 6 ,

найдем

собственные векторы U1 (2,1), U2 (−1,2) . Заметим, что они ортогональны;

•нормируя ортогональные векторы U1 и U2 , находим векторы, образующие новый ортонормированный базис квадратичной

формы: e = (	2	,	1	),	e = (−	1	,	2		) .
формы: e = (		,		),	e = (−		,			) .
1	5		5		2	5		5
	5		5			5		5
											2	−	1
Ортогональная матрица перехода T имеет вид														;
Ортогональная матрица перехода T имеет вид											5		5	;
									T =		1		2
											1		2

											5		5
											5		5

		2	1

		5	5
Обратная матрица имеет вид T −1 =		5	5	, тогда
	−	1	2

		5	5
		5	5

1		0		A в найденном
B =T −1 AT =	0	6	- диагональный вид матрицы

ортонормированном базисе.

Итак, ортогональное преобразование переменных

x		=	2	y	−	1	y
x		=		y	−		y	2
	1		5	1		5		2
			5			5
			1			2
x		=	1	y	+	2	y
x		=		y	+		y		2
	2		5	1		5			2
			5			5

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду:

ϕ( y1, y2 ) = y12 +6y22 .

Пример 2. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму

f(x1, x2 , x3 ) = 2x1x2 + 2x1x3 −6x2 x3

иуказать невырожденное преобразование переменных, осуществляющее такое преобразование квадратичной формы.

Решение.

В данной квадратичной форме отсутствуют члены с квадратами переменных. Поэтому сначала добьемся, чтобы в квадратичной форме появились такие члены. Для этого совершим невырожденное преобразование переменных

			x1 = y1 + y2 ,					x2 = y1 − y2 ,			x3 = y3 .
Матрица этого преобразования
1		1 0			x			1 1 0		y
	1	−1 0			1				1 −1 0		1	( )
	1	−1 0	,	т.е.	x2	=			1 −1 0	y2		( )
	0	0 1			x				0 0 1	y
					3						3
В результате получим
	f = 2( y1 + y2 )( y1 − y2 ) + 2( y1 + y2 ) y3 −6( y1 − y2 ) y3 =
	= 2y2 −2y2			−4y y +8y			2	y .
		1	2	1	3		2	3

Здесь коэффициент при y12 отличен от нуля. Поэтому можно выделить

полный квадрат по y1 :
f = 2y2 −2y2 −4y y +8y									2	y = 2( y2							−2y y ) −2y2								+8y	2	y =
	1	2		1	3				2		3				1				1	3				2		2	3
= 2( y − y )2 −2y2				−2y2				+8y				2	y .
	1	3	3				2					2		3
Теперь выделим полный квадрат по y2 :
		f = 2( y − y )2								−2y2					−2y			2 +8y			2	y =
					1		3							3				2			2		3
		= 2( y		− y )2 −2( y2										−4y		2	y ) −2y						2 =
			1		3								2			2		3				3
		= 2( y − y )2					−2( y				2	−2y )2					+8y2			−2y2				=
			1		3						2				3				3				3
		= 2( y − y )2					−2( y				2	−2y )2					+6y2 .
			1		3						2				3				3
Введем новые переменные по правилу
		z1 = y1 − y3 ,						z2 = y2 −2y3 ,											z3 = y3.
Матрица этого преобразования
1 0 −1					z						1 0 −1 y
	0 1	−2			1			=											1						( )
	0 1	−2	, т.е.		z2			=			0 1 −2 y2 .														( )
	0 0 1				z	3					0 0 1							y
						3													3
Получим канонический вид квадратичной формы
					f = 2z2						−2z				2 +6z2 .
										1				2				3

Чтобы найти матрицу линейного преобразования, приводящего квадратичную форму к найденному каноническому виду, выразим из

равенства ( ) y1, y2 , y3							и подставим в равенство ( ). Получим
y			1	1	0 −1 x
y	1						1
y	2	=	1	−1 0		x
	2						2
y			0	0	1	x
	3						3

z				1 0 −1 y					1 0 −1 1 1 0 −1 x
	1		=				y	1	=											1
z		2	=	0 1 −2			y	2	=		0 1 −2							1 −1 0	x			=
		2						2												2
z		3		0 0 1			y				0 0 1							0 0 1	x
		3						3												3
	1 2 1 2 −1 x1
=	1 2				−1 2 −2		x		.
								2
			0		0	1	x
								3
Отсюда выразим x1, x2 , x3 :
			x		1 2 1 2 −1 −1 z										1 1 3 z
			1		= 1 2 −1 2 −2 z									1	=		1 −1 −1 z			1
			x		= 1 2 −1 2 −2 z									2	=		1 −1 −1 z			2	,
			2											2						2
			x			0	0			1	z						0 0 1		z
			3											3						3
т.е.								x		= z		+ z			+3z
								x		= z		+ z	2		+3z	3
								1			1		2			3
								x2 = z1 − z2 − z3 .
								x		= z		3
								3				3

Задачи к теме «Квадратичные формы»

Составить матрицу каждой из канонических форм, предварительно записав форму в симметрическом виде:

1.x12 + x22 −3x1x2 .

2.2x2 +3y2 − z2 + 4xy −6xz +10yz .

3.4x12 + x32 −2x42 − x1x2 +8x1x4 −5x2 x4 .

4.x12 −2x22 −2x32 −4x1x2 + 4x1x3 +8x2 x3 .

Записать квадратичную форму по ее матрице:

	2		−2	−1
5.		−2	5	2
					.
		−1	2	2

	18		6	−6
6.		6	21	0
						.
		−6	0	16

	8		4	−1
7.		4	−7	4
						.
		−1	4	8

	2		−2	2
8.		−2	3	0
					.
		2	0	1

Найти квадратичную форму, полученную из данной линейным преобразованием:

		x =2y −y
9.	f (x1	, x2 ) = 3x12 − x22 + 4x1x2 , 1	1	2 .
		x2 = y1 +y2
			x = −y1 + 2y2
	f (x1	, x2 , x3 ) = 2x12 +3x22 − x32 + x1x2 ,
10.	f (x1	, x2 , x3 ) = 2x12 +3x22 − x32 + x1x2 ,	x = 3y1 + y2 + y3 .
			x = −2 y			− y	2
					1		2
				x = y1 + y2 − y3
	f (x1	, x2 , x3 ) = 2x22 +4x32 −2x1x2 + x2 x3			= y1	− y2 + y3 .
11.	f (x1	, x2 , x3 ) = 2x22 +4x32 −2x1x2 + x2 x3		, x	= y1	− y2 + y3 .
				x = y		+ y
					2		3

Привести канонические формы к каноническому виду с целыми коэффициентами и найти выражение новых неизвестных через старые:

12.2x12 +3x22 + 4x32 − 2x1x2 + 4x1x3 −3x2 x3 .

13.3x12 − 2x22 + 2x32 + 4x1x2 −3x1x3 − x2 x3 .

14.12 x12 + 2x22 +3x42 − x1x2 + x2 x3 − x3 x4 .

Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и записать ее канонический вид:

15. f (x1, x2 ) = x12 + x22 + 4x1x2 .

16. f (x1 , x2 ) = 5x12 +12x1 x2 .

17.	ϕ(x , x ) = 7x2			+3x2 +6			5x x .
	1	2	1		2			1	2
18.	ϕ(x , x , x ) = 2x2				+ x2	+3x2		−4 2x x .
	1	2	3	1	2		3		2	3
19.	f (x , x		, x ) = 5x2		+9x2		+9x2		−12x x	2	−6x x .
	1	2	3	1		2		3	1	2	1	3

Найти нормальный вид квадратичной формы и невырожденное линейное преобразование, приводящее к этому виду:

20.x12 +5x22 − 4x32 + 2x1x2 − 4x1x3 .

21.4x12 + x22 + x32 − 4x1x2 + 4x1x3 −3x2 x3 .

22.x1x2 + x1x3 + x2 x3 .

Привести квадратичную форму к каноническому виду; найти ортонормированный базис, в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид; найти матрицу перехода к ортонормированному базису:

23.	f (x , x ) = x2			−2	5x x	2	+ x2 .
	1	2	1		1	2	2

24.f (x1, x2 ) = 3x12 + 4x1x2 .

25.f (x1, x2 ) = 2x12 + 24x1x2 −5x22 .

26.	f (x , x ) = 3x2			−2	3x x		+5x2 .
	1	2	1		1	2	2

27.f (x1, x2 ) = 5x12 +8x1x2 +5x22 .

28.f (x1, x2 ) = 4x12 − 24x1x2 −3x22 .

29. f (x1, x2 ) = 5x12 −4 14x1x2 +6x22 .

30.	f (x , x ) =11x2					+ 24x x	2	+ 4x2 .
	1		2		1	1	2	2
31.	f (x , x ) = 7x2				+ 4 6x x			+5x2 .
	1	2		1		1	2	2
32.	f (x , x		2	) = 27x2		−48x x		+13x2 .
	1		2		1	1	2	2

Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду, определить тип кривой и указать преобразование координат:

33.5x2+5y2+xy-5=0

34.8x2-4y2-5xy-1=0

35.-3x2+2y2-12xy-9=0

36.x2+y2-xy-6=0

37.2x2+3y2+z2-4xy+4xz-12x-6z+4=0

38.x2-2y2+z2+4xy-8xz-4yz+2x-4z-1=0

39.8x2+4y2+5z2-4xz-44x-2z+29=0

Ответы к задачам по теме «Квадратичные формы»

9.f1 ( y1, y2 ) =19y12 −2y22 −10y1 y2 .

10.f1( y1, y2 , y3 ) = 22y12 +12y22 +3y32 +11y1 y2 +17 y1 y3 +8y2 y3 .

11.f1 ( y1, y2 , y3 ) = 7 y22 +9y32 −3y1 y2 +5y1 y3 .

12.2y12 +10y22 +190y32 , y1 = x1 − 12 x2 + x3 , y2 = 12 x2 −101 x3 , y3 =101 x3 .


13.	3y2	+30y2		+530y2		,	y = x +				2	x −			1	x	, y =			1	x −			1	x	, y			=	1			x .
13.	3y2	+30y2		+530y2		,	y = x +			3		x −				x	, y =				x −			20	x	, y			=	20			x .
	1		2		3		1	1		3			2		2	3		2		3		2		20	3	3				20			3
14.	2y2	+6y2	−6y2		+2y2	,	y =	1	x −				1	x , y =				1	x +			1	x , y =			1	x +				1	x , y =			3	x .
14.	2y2	+6y2	−6y2		+2y2	,	y =		x −					x , y =					x +				x , y =				x +					x , y =				x .
	1	2		3	4		1	2		1			2 2			2		2 2				6 3		3		6		3		2			4	4	2 4


15.	f (y	, y ) =3y2 −y2				,	x =	1	y +	1			y	, x =	1		y −			1		y .
15.	f (y	, y ) =3y2 −y2				,	x =		y +	2			y	, x =			y −			2		y .
	1		2	1	2		1	2 1		2			2	2	2			1		2		2
16.	f (y	, y ) =9y2 −4y2				,	x =	3	y −	2			y	, x =	2		y +			3		y .
16.	f (y	, y ) =9y2 −4y2				,	x =	13	y −	13			y	, x =	13		y +			13		y .
	1		2	1	2		1	13	1	13			2	2	13			1		13		2
17. ϕ(y,y )=12y2					−2y2	,	x =	3	y +		5	y , x =			5	y −			3		y .
17. ϕ(y,y )=12y2					−2y2	,	x =		y +			y , x =				y −					y .
	1		2	1	2		1	14 1		14			2	2	14		1		14			2

							2	2				2									1					2								2						1
18. ϕ(y1,y2,y3)=2y1								+5y2	−y3				,		x1 =y1 , x2					=					y2 +				y2		, x3 =−						y2 +				y3 .
18. ϕ(y1,y2,y3)=2y1								+5y2	−y3				,		x1 =y1 , x2					=			3		y2 +		3		y2		, x3 =−					3	y2 +			3	y3 .
						2		2								5				3						1						6						2
19.	f (y1, y2, y3) =9y1						+14y2		,			x1 =−						y2 +				y3 , x2 =								y1	+		y2 +						y3 ,
19.	f (y1, y2, y3) =9y1						+14y2		,			x1 =−				70		y2 +		14		y3 , x2 =					5			y1	+	70	y2 +					14	y3 ,
	x =−		2		y +	3		y +	1			y .
	x =−				y +	70		y +	14			y .
	3			5	1	70		2	14			3	1				5							1		1								1
20.	y2	+y2		−y2		,		x = y −					1	y +			5	y , x =						1	y −	1		y , x =						1	y .
20.	y2	+y2		−y2		,		x = y −						y +				y , x =							y −			y , x =							y .
	1	2			3			1	1				2		2	6		3		2			2		2	6				3		3		3 3
21.	y2	+y2		−y2		,		x =		1	y		+y , x					= y		+y , x =−y											+y .
21.	y2	+y2		−y2		,		x =			y		+y , x					= y		+y , x =−y											+y .
	1	2			3			1	2			1			2	2			2		3				3					2		3
22.	y2	−y2 −y2					,	x =y −y −y , x =y +y −y , x =y .
	1	2			3			1				1			2			3	2				1		2					3		3		3

33.							x12							+				y12		=1,	эллипс , x =				1		x +		1	y		, y = −		1				x +				1		y .
											2			+					2	=1,	эллипс , x =						x +			y		, y = −						x +						y .
							10				2						10		2						2 1				2 1					2 1								2			1

							3										11
							3										11
34.
−				x2					+						y2				=1, гипербола , x =						1			x	−	5		y , y =				5				x		+	1			y .
					1										1
					2	2									2			2												26						26							26
					2	2									2			2							26 1					26	1					26					1		26			1

				3											17
				3											17
35.
		x		2				−					y2					=1, гипербола , x =						2		x +			3	y	, y = −			3					x		+		2		y .
			1											1
					2					3						2								13										13									13
	3				2					3						2								13			1		13 1					13						1			13			1

			6											7
			6											7
36.				x2					y2												1				1						1			1
36.					1		+		1			=1						, эллипс, x =					x1 +				y1 , y = −						x1 +				y1 .
				12			+		4			=1						, эллипс, x =				2	x1 +		2		y1 , y = −					2	x1 +		2		y1 .

Индивидуальное задание на тему «Квадратичные формы»

Привести квадратичную форму к каноническому виду:

a)методом Лагранжа;

b)с помощью перехода к ортонормированному базису.

1.f (x1, x2 ) = 2.9x12 −0.6x1x2 + 2.1x22 .

2.f (x1, x2 ) = 3.8x12 −1.2x1x2 + 2.2x22 .

3.f (x1, x2 ) = 4.7x12 −1.8x1x2 + 2.3x22 .

4.f (x1, x2 ) = 5.6x12 −2.4x1x2 + 2.4x22 .

5.f (x1, x2 ) = 6.5x12 −3x1x2 + 2.5x22 .

6.f (x1, x2 ) = 7.4x12 −3.6x1x2 +2.6x22 .

7.f (x1, x2 ) = 8.3x12 −4.2x1x2 + 2.7x22 .

8.f (x1, x2 ) = 2.2x12 +0.8x1x2 +2.8x22 .

9.f (x1, x2 ) = 2.4x12 +1.6x1x2 +3.6x22 .

10.f (x1, x2 ) = 2.6x12 + 2.4x1x2 + 4.4x22 .

11.f (x1, x2 ) = 2.8x12 +3.2x1x2 +5.2x22 .

12.f (x1, x2 ) = 3x12 +4x1x2 +6x22 .

13.f (x1, x2 ) = 3.2x12 + 4.8x1x2 +6.8x22 .

14.f (x1, x2 ) = 3.4x12 +5.6x1x2 +7.6x22 .

15.f (x1, x2 ) = 2.36x12 +0.96x1x2 + 2.64x22 .

16.f (x1, x2 ) = 2.72x12 +1.92x1x2 +3.28x22 .

17.f (x1, x2 ) = 3.08x12 +2.88x1x2 +3.92x22 .

18.f (x1, x2 ) = 3.44x12 +3.84x1x2 + 4.56x22 .

19.f (x1, x2 ) = 3.8x12 + 4.8x1x2 +5.2x22 .

20.f (x1, x2 ) = 4.16x12 +5.76x1x2 +5.84x22 .

21.f (x1, x2 ) = 4.52x12 +6.72x1x2 +6.48x22 .

22.f (x1, x2 ) =1.2x12 +3.2x1x2 −2.2x22 .

23.f (x1, x2 ) = 3x12 + 4x1x2 −2x22 .

24.f (x1, x2 ) = 4.8x12 +4.8x1x2 −1.8x22 .

25.f (x1, x2 ) = 6.6x12 +5.6x1x2 −1.6x22 .

26.f (x1, x2 ) = 8.4x12 +6.4x1x2 −1.4x22 .

27.f (x1, x2 ) =10.2x12 +7.2x1x2 −1.2x22 .

28.f (x1, x2 ) =12x12 +8x1x2 − x22 .

29.f (x1, x2 ) = −1.95x12 +1.2x1x2 +0.2x22 .

30.f (x1, x2 ) = −1.5x12 + 2x1x2 + x22 .

31.f (x1, x2 ) = −1.05x12 + 2.8x1x2 +1.8x22 .

32.f (x1, x2 ) = −0.6x12 +3.6x1x2 + 2.6x22 .

33.f (x1, x2 ) = −0.15x12 + 4.4x1x2 +3.4x22 .

34.f (x1, x2 ) = 0.3x12 +5.2x1x2 + 4.2x22 .

35.f (x1, x2 ) = 0.75x12 +6x1x2 +5x22 .

IIОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Всовременной математике проективная геометрия, которой посвящён настоящий модуль, несколько потеряла своё ведущее значение. В частности, роль теоретической базы аналитической геометрии перешла к линейной алгебре. С точки зрения получения численных результатов это сыграло полезную роль, но необходимо отметить, что использование алгебраических формул часто затемняет геометрический смысл некоторых задач. Применение же выводов проективной геометрии позволяет получить обобщённый геометрический взгляд на некоторые проблемы.

Однако в последнее время, особенно в связи с задачей построения на экране компьютера реального изображения, опять повысился интерес к проективной геометрии. Это обусловлено тем, что мы живем в мире, в котором соблюдаются законы перспективы, а перспективное отображение есть часть проективной геометрии.

Цель настоящего модуля – дать читателю основные сведения о проективной геометрии. В первом разделе рассказывается о проективной плоскости и перспективном соответствии, во втором – о проективных координатах. Третий раздел посвящен линиям первого и второго порядка на проективной плоскости, и, наконец, в последнем разделе модуля рассматриваются проективные преобразования и отображения.

С целью лучшего усвоения изложение материала иллюстрируется большим количеством примеров. Это, как и представленные упражнения, позволяет использовать пособие для самостоятельной работы студентов.

Модуль в основном ориентирован на учебную программу специальности «механика», однако он пригоден и для самостоятельного изучения студентами других специальностей. Для понимания излагаемого материала достаточно знаний, полученных в курсах линейной алгебры и аналитической геометрии.

4.Проективная плоскость

4.1.Связка. Проективная плоскость

Множество всех прямых и плоскостей трехмерного пространства, проходящих через точку О, называется связкой с центром в точке О или просто связкой О.

Рассмотрим какую-нибудь плоскость П, не проходящую через О (рис.4.1).

Рис.4.1 Перспективное соответствие

Через каждую точку М плоскости П проходит единственная прямая ОМ связки О (в дальнейшем прямые связки условимся называть лучами). Таким образом, каждой точке плоскости можно поставить в соответствие единственный луч связки О. Это соответствие называется перспективным соответствием

(ПС). Кроме того, ПС каждой прямой d плоскости П ставит в соответствие единственную плоскость Оd связки, которую можно рассматривать как множество всех лучей связки, проходящих через точки прямой d.

Легко видеть, что ПС не является взаимно однозначным. Действительно, в связке имеются лучи, параллельные плоскости П, которым не соответствует ни одна точка плоскости П. Мы будем

называть такие лучи особыми. Плоскость связки, параллельную плоскости П, мы также будем называть особой, так как ей не соответствует ни одна прямая плоскости П. Ясно, что особая плоскость представляет собой множество всех особых лучей связки. Заметим также, что каждая неособая плоскость связки содержит единственный особый луч.

Проведем пополнение плоскости П несобственными элементами (несобственнными точками и несобственной прямой) так, чтобы выполнялись следующие аксиомы:

•каждая прямая d плоскости П пополняется единственной несобственной точкой (точкой «пересечения» особого луча плоскости Оd с плоскостью П);

•две прямые d и b плоскости П имеют общую несобственную точку B тогда и только тогда, когда они параллельны (эта точка – точка «пересечения» общего особого луча плоскостей Оd и Оb с плоскостью П);

•две прямые d и a плоскости П имеют общую собственную точку A тогда и только тогда, когда они не параллельны (эта точка соответствует общему лучу плоскостей Оd и Оa);

•совокупность всех несобственных точек плоскости П образует единственную несобственную прямую (линию «пересечения» особой плоскости с плоскостью П).

b A d a

Плоскость П

Несобственная прямая

Рис.4.2 Аксиомы проективной плоскости

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.2015598.34 Кб90без таблиц.docx
#
07.06.20151.08 Mб20Безверхов, Шевченко учебное пособие.doc
#
22.11.201995.11 Кб5Безналичные расчеты.docx
#
16.03.2015138.75 Кб13БезОСметодичка3.doc
#
07.06.201516.99 Кб18безтарифная система труда.docx
#
16.03.20151.08 Mб27Белашевский Г.Е Алгебра и геометрия.pdf
#
07.06.2015411.16 Кб8Белик - культурология.docx
#
16.03.201510.56 Mб618Беловицкая, А. А. Общее книговедение. 2007.rtf
#
16.03.20154.77 Mб352Белозерцев В.Н. Основы механики.pdf
#
16.03.2015238.01 Кб27Бердяев Н.А. Человек и машина.rtf
#
07.06.20151.05 Mб46Бесов.pdf