Квп. Вывод канонического уравнения параболы.

Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая – директрисой параболы.

Для вывода уравнения построим:

Согласно определению:

Так как у²>=0 то парабола лежит в правой полуплоскости. При х возрастающем от 0 до бесконечности . Парабола симметрична относительно Ох. Точка пересечения параболы со своей осью симметрии называется вершиной параболы.

№45 Эксцентриситет эллипса и гиперболы, директрисы эллипса и гиперболы. Теоремы об отношении расстояния любой (.) эллипса (гиперболы) от фокуса и расстоянию её от соответствующей директрисы (без доказательства).

Эксцентриситет гиперболы. Пусть с- половина расстояния между фокусами гиперболы, а – действительная полуось гиперболы.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Учитывая связь между c,a,b получим: . Эксцентриситет гиперболы больше 1.

Замечание: Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как величину раствора угла между его асимптотами, т.к. , где φ – величина угла между асимптотами гиперболы.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Эксцентриситет величина, характеризующая меру сжатия эллипса,

Директрисы

Отношение расстояния r от точки эллипса до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:

Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса соберутся в другом фокусе.

Эксцентриситет для гиперболы

Директрисы

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние от точки М(х,у) гиперболы до этой прямой стремится к 0 при х → ± бесконечность.

Асимптоты гиперболы

Отношение расстояния r от точки гиперболы до фокуса к расстоянию d до ближайшей к этому фокусу директрисы равно эксцентриситету:

Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из одного фокуса гиперболы, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса.

ТЕОРЕМЫ:

Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения: r1 = a – ex, r2 = a + ex.

Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

№46-------- ------------------------------------------------------

Эксцентриситет параболы, общее геометрическое свойство эллипса, гиперболы и параболы.

p-параметр параболы

Эксцентриситет параболы по определению полагают равным единице, то есть ε = k = 1.

Оптическое свойство: лучи света, вышедшие из фокуса параболы, после отражения от параболыпараллельны оси параболы.

№47---------------------------------------------------------------------------

Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о КВП (идея доказательства).

Существует 8 типов КВП:

1.эллипсы

2.гиперболы

3.параболы

Кривые 1,2,3 – канонические сечения. Если пересечь конус плоскостью параллельной оси конуса то получим гиперболу. Если плоскостью параллельной образующей то параболу. Все плоскости не проходят через вершину конуса. Если любой другой плоскостью то эллипс.

4.пара параллельных прямых y²+ a²=0, a0

5.пара пересекающихся прямых y²- k² x²=0

6.одна прямая y²=0

7.одна точка x²+ y²=0

8.пустое множество - пустая кривая (кр. без точек) x²+ y²+1=0 или x²+ 1=0

Теорема(основная теорема о КВП): Уравнение вида

a₁₁ x² + 2 a₁₂ x y + a₂₂ y² + 2 a₁ x + 2 a₂ y + a₀ = 0

может представлять только кривую одного из указанных восьми типов.

Идея доказательства состоит в том чтобы прейти к такой системе координат в которой уравнение КВП примет наиболее простой вид, когда тип кривой, которую оно представляет становится очевидным. Теорема доказывается с помощью поворота системы координат на такой угол при котором член с произведением координат исчезает. И с помощью параллельного переноса системы координат при котором исчезает или член с переменной х или член с переменной у.

Переход к новой системе координат: 1. Параллельный перенос