Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости( в пространстве), канонические уравнения прямой.

Рассмотрим на плоскости прямую заданную параметрическими уравнениями . а₁ и а₂ – координаты направляющего вектора. прямая не параллельна оси ОУ. -уравнение прямой решенное относительно ординаты. Его можно получить решая уравнение относительно у.

Определение : отношение координат направляющего вектора называется угловым коэффициентом прямой.

Таким образом справедливо утверждение: Если прямая не параллельна оси ОУ() то ее уравнение может быть записано в виде (4), где k – угловой коэффициент, а b – ордината пересечения прямой с осью ОУ.

Если ПДСК то из рисунка видно что Угол считается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от оси абсцисс к оси ординат.

Теорема: Если прямая параллельна оси ОУ(), то её уравнение имеет вид x=x₀, где x₀ – точка пересечения прямой с осью Ох.

Доказательство: Из (6) имеем (ч.т.д.)

Исключим теперь параметр t из параметрических уравнений в пространстве. - координаты направляющего вектора прямой. Предположим сначала что все координаты направляющего вектора отличны от нуля, тогда т.е.

Замечание: Прямая в пространстве всегда может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей. Значит она и должна задаваться системой из двух уравнений.

Пусть одна из координат равна 0. Пусть для определенности , тогда уравнения (5) будут иметь вид .

Пусть и тогда . В этом случае прямая параллельна одной из координатных осей. В данном случае Oz.

Как правило пишут уравнение произвольной прямой в виде (2), уславливаясь считать что если равен 0 знаменатель, то числитель равен 0. Уравнения (2) называются каноническими уравнениями прямой. - направляющий вектор прямой.

№35---------------------------------------------------------------------------

Векторные уравнения плоскости и прямой. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно заданному вектору(в п.Д.С.К.).

Точка М будет принадлежать плоскости тогда и только тогда когда или . Уравнение (3) имеет место и для ОДСК. Уравнение (3) называется векторным уравнением плоскости.

Если и направляющие вектора плоскости, тогда в качестве нормального вектора плоскости можно взять , тогда (3) перепишем в виде . Уравнение (3’) в координатyой форме только для ДПСК имеет вид А(х-х₀)+ В(у-у₀)+ С(z-z₀)=0 (3’’).

Уравнение (3’’) является уравнением плоскости проходящей через точку М₀ (х₀ у₀ z₀) заданному вектору (А,В,С)

Векторные уравнения прямой линии в пространстве. Точка М принадлежит прямой тогда и только тогда когда , т.е.

Посмотрим теперь как связаны между собой два общих уравнения определяющих одну и ту же прямую линию или плоскость в ДПСК. Пусть для определенности даны два уравнения плоскости П: (4). Векторы - являются нормальными векторами в одной и той же плоскости. Значит

. Умножим обе части (4) второго уравнения на t и вычтем из первого. Получим . Следовательно коэффициенты общих уравнений определяющих одну и туже прямую или плоскость пропорциональны.

Признаки параллельности плоскости и прямой на плоскости. Плоскости и прямые на плоскости задаваемые своими общими уравнениями параллельны тогда и только тогда когда соответствующие коэффициенты при переменных пропорциональны. Если пропорциональны все коэффициенты то плоскости и прямые совпадают.

№36---------------------------------------------------------------------------