Квп. Вывод канонического уравнения гиперболы. Асимптоты гиперболы.

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и не равная 0.

Выберем опять оси координат и начало координат посередине отрезка F₁F₂. Расстояние F₁F₂ равно 2с. А разность расстояний обозначим через 2а.

Из определения имеем: . 2а<2c, а<c

Имеем:

возведем в квадрат.

еще раз в квадрат. После простых преобразований получим:

Поделив обе части на получим:

. Уравнение гиперболы

Как и в случае эллипса необходимо проверить что несмотря на двукратное возведение в квадрат мы не получим лишних точек. И следовательно уравнение (1) – уравнение гиперболы.

Предварительно отметим некоторые свойства линии определяемой уравнением (1). Из уравнения (1) следует что .

Линия (1) симметрична относительно осей координат и относительно начала координат. Видно что . Значит в полосе точек кривой нет. Следовательно кривая состоит из двух отдельных ветвей, одна из которых расположена в полуплоскости (права я ветвь), а вторая – в полуплоскости - (левая ветвь).

Пусть М(х₀,у₀) – произвольная точка линии, определяемая уравнением (1). . Если мы докажем что , то тем самым мы докажем что уравнение (1) является уравнением гиперболы.

далее в эту формулу подставляем у_0, раскрываем скобки, приводим подобные и учитывая что выделим под каждым корнем полные квадраты. В результате получим: . Пусть (для точек правой ветви), тогда .

При (для точек левой ветви) тогда .

Таким образом . Получаем что . Значит уравнение (1) – это уравнение гиперболы. Лишних точек не получилось.

Число а называется вещественной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью. Точки пересечения гиперболы с ее осью симметрии называются вершинами гиперболы. Точки F₁ и F₂ фокусы гиперболы.

Отметим еще одну особенность формулы гиперболы. Рассмотрим вместе с гиперболой пару прямых . В первой четверти при одной и той же абсциссе ординаты точек гиперболы меньше соответствующих ординат соответствующих точек прямой, т.к. . , т.к. . Т.е. точки гиперболы при неограниченном увеличении абсцисс как угодно близко подходят к соответствующим точкам прямой . В силу симметрии точки гиперболы в других четвертях неограниченно приближаются к точкам прямых, когда .

Прямые - асимптоты гиперболы. Асимптоты гиперболы направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами 2а и 2b, расположенного симметрично относительно осей симметрии гиперболы.

Если а=b то уравнение гиперболы принимает вид . Такая гипербола называется равнобочной.

№44---------------------------------------------------------------------------