Параметрические уравнения прямой и плоскости.

А)Параметрические уравнения прямой. Прямая линия на плоскости или в пространстве полностью определяется точкой, лежащей на этой прямой( начальная точка) и вектором, параллельным этой прямой(направляющим вектором). Аналогично плоскость полностью определяется точкой принадлежащей плоскости и двумя неколлинеарными векторами в этой плоскости(начальная точка и направляющие вектора в плоскости). Рассмотрим точку М радиус вектор которой . Ясно что точка М будет принадлежать прямой тогда и только тогда когда , где t - некоторое определенное вещественное число. Другими словами для любой точки М принадлежащей прямой существует t, такое что имеет место (4) и наоборот, какое бы число t мы не подставили в (4) вместо t, вектор определяемый (4) будет радиус-вектором некоторой точки на прямой.

В формуле (4) переменная величина t пробегающая все вещественные значения называется параметром. А уравнение (4) векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой выглядит одинаково и для прямой на плоскости и в пространстве. Но при разложении по базису оно сводится в одном случае к двум а в другом к трем скалярным уравнениям. В пространстве: - параметрические уравнения прямой в пространстве.

- параметрические уравнения прямой на плоскости.

Б) Пусть точка М произвольная точка в пространстве. Начало вектора лежит в плоскости следовательно его конец – точка М лежит на плоскости тогда и только тогда когда этот вектор лежит в рассматриваемой плоскости. Поэтому точка М лежит в плоскости тогда и только тогда когда найдутся t₁ и t₂, такие что . Другими словами точка М с радиус вектором принадлежит плоскости тогда и только тогда когда существуют t₁ и t₂, такие что выполняется (7). И наоборот, какие бы числа мы не подставили в (7) вместо t₁ и t₂ вектор определенный уравнением (7) будет радиус-вектором точки лежащей в плоскости. Переменные t₁ и t₂ пробегающие все вещественные значения называются параметрами. А уравнение (7) называется векторно-параметрическим уравнением плоскости. Уравнение (7) эквивалентно трем скалярным уравнениям - параметрические уравнения плоскости.

№33---------------------------------------------------------------------------

Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).

Для этого перехода мы должны знать начальную точку и направляющие вектора. Пусть найдем начальную точку. Пусть . Для прямой начальная точка находится аналогично. Найдем теперь направляющие векторы. Пусть - уравнение прямой на плоскости и - начальная точка(*). . . Уравнение (*) равносильно уравнению (**). Если обозначить буквой М точку с координатами то вектор параллелен прямой тогда и только тогда когда точка М принадлежит прямой, т.е. когда верно равенство (**). Отсюда следует утверждение: Каждый ненулевой вектор с координатами (α₁, α₂) удовлетворяет условию: может быть принят за направляющий вектор прямой которая имеет своим уравнением уравнение в ОДСК. В частности вектор с координатами (-В,А) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Аналогично доказывается утверждение: Любых два неколлинеарных вектора координаты которых удовлетворяют условию могут быть приняты за направляющие векторы в плоскости, имеющую своим уравнением в ОДСК.

Геометрический смысл коэффициентов А,В,С(А,В) в общем уравнении плоскости (прямой на плоскости) в прямоугольной ДСК: Обозначим через - вектор с координатами (А,В). Левая часть уравнения (**) является скалярным произведением векторов и только в ПДСК. Поэтому из уравнения (**) следует что вектор с координатами (А,В) перпендикулярен вектору , если точка М принадлежит прямой. Таким образом вектор (А,В) перпендикулярен прямой, которая задается общим уравнением (*) в ПДСК и называется нормальным вектором прямой.

Аналогично вектор (А,В,С) является ортогональным плоскости которая задается общим уравнением в ПДСК и называется нормальным вектором в плоскости.

№34---------------------------------------------------------------------------