3.7 Моменты инерции сложных сечений

При проверке прочности элементов конструкций приходится встречаться с поперечными сечениями довольно сложной формы, для которых нельзя вычислить моменты инерции таким простым путем, каким пользовались для треугольника, прямоугольника или круга. В этом случае сложное сечение разбивают на простые фигуры, для которых известны площади, координаты центров тяжестей и моменты инерции относительно собственных центральных осей. По формулам (3.1) находят координаты центра тяжестиc всего сечения в произвольно выбранных осяхx₀,y₀, параллельных центральным осямвыделенных элементов. Через центр тяжестиc проводят центральные оси сеченияu,v, относительно которых вычисляют осевые и центробежный моменты инерции по формулам (3.15). Моменты инерции относительно главных центральных осей определяются по формулам (3.20), а положение главных центральных осей – по формуле (3.18).

Пример. Для заданного сложного поперечного сечения, состоящего из двутавра №18 и уголка 100х100х12, вычислить значения главных центральных моментов инерции,и положение главных центральных осейu ,v.

Решение

1. Размеры и геометрические характеристики элементов заданного сечения

Из справочных данных выпишем необходимые для расчетов размеры и геометрические характеристики элементов заданного сечения.

произвольные оси u,v, параллельные центральным осям элементов и определим в этих осях координаты центров тяжестейc₁иc₂ :

см,

=9+10-2,91=16,09 см,

см,

=18 - 2,91 = 15,09 см.

Учитывая, что геометрические характеристики сложного сечения находятся как сумма геометрических характеристик элементов, составляющих данное сечение, то координаты центра тяжести сечения вычислим по формулам

см,

см.

3. Вычисление моментов инерции относительно центральных осей X,y

По найденным координатам отметим на чертеже сечения его центр тяжестис, проведём через него центральные оси х,у, параллельные центральным осям элементов, и вычислим относительно их моменты инерции, используя формулы преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей, одни из которых центральные:

;

;

Здесь: a₁,в₁–расстояния между центральной осью сечения х центральными осями элементов сечения х₁и х₂;

a₂,в₂- – расстояния между центральной осью сечения у и центральными осями элементов сечения у₁и у₂.

И

Рис. 2.14

з чертежа 2.14 следует:см,см,

см, см.

Осевые моменты инерции первого элемента (двутавра) относительно собственных центральных осей x₁,y₁:

Осевые моменты инерции второго элемента (уголка) относительно собственных центральных осей х₂,у₂:.

С учетом записанных формул и значений моментов инерции относительно собственных центральных осей получим:

I_х=1290+23,4*(-3)²+209+22,8*(3,09)²=1927,3 см^4,

=82,6+23,4*(-5,7)²+209=22,8*(5,89)²=1804,9 см⁴,

I_ху=0+23,4*(-3)*(-5,7)-122,4+22,8*3,09*5,89=692,7 см⁴.