7.2.4 Кручение брусьев некруглого поперечного сечения.

Напряжения и перемещения в вале прямоугольного

поперечного сечения

А

·А

Задачи определения напряжений и деформаций при кручении брусьев некруглого поперечного сечения нельзя решить методами сопротивления материалов. Эти задачи рассматриваются в теории упругости. Причина этого в том, что у таких брусьев гипотеза плоских сечений не применима, так как поперечные сечения заметно искривляются, что и приводит к существенному изменению распределения напряжений.

а)

б)

б)

Рис. 7.12

Отметим некоторые закономерности распределения напряжений в сечениях некруглой формы, а затем приведем готовые решения, полученные методами теории упругости для некоторых форм поперечных сечений. Прежде всего, покажем, что касательные напряжения в поперечных сечениях для точек вблизи контура направлены по касательной к нему. Для этого

Рис.7.12

положим, что в некоторой точке А касательное напряжение τ направлено под углом, тогда его можно разложить по направлениям касательнойи нормалик контуру сечения (7.12, а). По закону парности касательных напряжений на поверхности стержня должно возникнуть напряжение, но эта поверхность свободна от нагрузки, следовательно,,направлено по касательной к контуру.

Аналогично можно показать, что в сечении с внешними углами напряжения равны нулю. Разложим напряжения вблизи угла на две составляющиеи(7.12,б), так как парные им напряженияи равны нулю, то и в ноль обращаютсяи. Значит, вблизи внешнего угла касательные напряжения в поперечном сечении отсутствуют.

На рис. 7.13 показана эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения, полученная методами теории упругости. Как видим, в углах напряжения равны нулю, а наибольшей величины они достигают в точках А по средине больших сторон:

, (7.15)

в

Рис.7.13

точках В касательные напряжения вычисляются по формуле:.

Здесь h – размер большой стороны, b– размер меньшей

стороны прямоугольника.

Коэффициенты α, β и η зависят от отношения сторон h/b.

Угол закручивания находится из выражения . (7.16)

Коэффициент так же является функцией отношения сторон. Приh/b≥10.

Таблица

h/b	1	1,5	1,75	2	2,5	3	4	6	8	10	∞
α	0,208	0,231	0,239	0,246	0,258	0,267	0,282	0,299	0,307	0,313	0,333
β	0,141	0,196	0,214	0,229	0,249	0,263	0,281	0,299	0,307	0,313	0,333
η	1, 00	0,859	0,82	0,795	0,766	0,753	0,745	0,743	0,742	0,742

Для формул (7.15), (7.16) введем геометрические параметры:

,

тогда они примут вид