4.6.2 Обратная задача.

Довольно часто приходится решать обратную задачу, т. е. по напряжениям на произвольных площадках s_a,t_a,s_b,t_bопределять величину и направление главных напряжений. Проще эта задача решается графически, т. е. с помощью круга Мора (рис. 4.10). Рассмотрим порядок его построения.

Прямоугольную систему координат s,tвыберем так, чтобы ось абсцисс была параллельна большему из нормальных напряжений (пустьs_a>s_b). На осиsотложим в выбранном масштабе отрезки ОК_a, ОК_b, численно равныеs_aиs_b. Из точек К_aи К_bпроведем перпендикуляры К_aD_a, К_bD_b, которые численно равны соответственноt_a и τ_β (К_aD_a=t_a,К_bD_b=τ_β = - t_a). На отрезкеD_aD_b, как на диаметре, построим круг с центром в точке С. Крайнюю правую точку пересечения круга с осьюsобозначим буквой А, крайнюю левую – буквой В. Касательные напряжения в этих точках равны нулю, следовательно, ОА=s₁, ОВ=s₂– главные напряжения (.в соответствии с прямой задачей).

t

s₂

D_a

s_b

s₂

t_a

s_a

0 B K_b C K_a A s

a₀

a₀

s₁

t_b

s₂

D_b

D¢_a

s_b

s₁

s_a

s₁

Рис. 4.10

параллельна большему из нормальных напряжений (пусть s_a>s_b). На осиsотложим в выбранном масштабе отрезки ОК_a, ОК_b, численно равныеs_aиs_b. Из точек К_aи К_bпроведем перпендикуляры К_aD_a, К_bD_b, которые численно равны соответственноt_a и τ_β (К_aD_a=t_a,К_bD_b=τ_β = - t_a). На отрезкеD_aD_b, как на диаметре, построим круг с центром в точке С. Крайнюю правую точку пересечения круга с осьюsобозначим буквой А, крайнюю левую – буквой В. Касательные напряжения в этих точках равны нулю, следовательно, ОА=s₁, ОВ=s₂– главные напряжения (.в соответствии с прямой задачей).

Из рис.6.10 определим радиус круга R и величину отрезка ОС (4.12)

(4.13)

Cучетом выражений (4.12) , (4.13) получим следующие формулы для главных напряжений

ОА= σ_I = ОС + R =+(4.14)

ОВ = σ_II= ОС – R =-(4.15)

Или (4.16)

Для определения направления главного напряжения s₁проведем луч через крайнюю левую точку круга В и точкуD_a¢, которая симметрична точкеD_aотносительно осиs. Направление луча ВD_a¢совпадает с направлениемs₁, направлениеs₂перпендикулярно ему. Уголa₀определится из треугольника ВК_aD_a¢(рис. 6.10):

(4.17)

Угол a₀считается положительным, если его откладывают от осиsпротив часовой стрелки.

4.7 Напряжения на произвольной площадке при объемном напряженном состоянии

Вэлементарном параллелепипеде, по граням которого действуют все три главных напряжения, рассмотрим произвольную площадкуa, нормаль к которой составляет с координатными осями 1,2,3 углыα₁α₂α₃.(рис. 4. 11). На этой площадке будет действовать полное напряжениер_α,составляющее с нормальюnуголα. Определим его проекции на нормаль к площадке -σ_α и на саму площадку –τ_α.

Н

Рис.4.11

ормальное напряжение, исполь-зуя принцип суперпозиции, можно пред-ставить выражением =,

где- напряжение на рассматриваемой площадке, вызванное действием ,а,- соответственно от напряженийи.Для вычисления этих величин воспользуемся формулой для линейного напряжённого состояния:=,=,=.

С учетом этих значений нормальные напряжения на произвольной площадке определятся равенством

(4.18 )

Для вывода формулы касательных напряжений τ_αследует рассмотреть его векторную величину. Так как , то .

Опуская выводы, которые следуют из уравнений равновесия рассматриваемой трёх- гранной пирамиды (рис. 3.11), запишем формулу в окончательном виде для вектора полного напряжения на площадке n_α :

.

С учётом этого выражения

(4.19)

В качестве примера рассмотрим напряжения на площадке, равнонаклонённой ко всем главным площадкам. Такая площадка называется октаэдрической, а напряжения, действующие на этой площадке, называются октаэдрическими.

Так как для такой площадки , а учитывая, что всегда

, то . Следовательно (4.20)

(4.21)

Так же, как и в случае плоского напряженного состояния, при объемном напряженном состоянии сумма нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть величина постоянная.