Лаб физика

41

РАБОТА 9 Связанные колебания

Приборы и принадлежности: установка с двумя связанными маятника.

Введение. Связанные колебания совершаются в системе с двумя или с большим числом степеней свободы. Число степеней свободы определяется как минимальное число независимых переменных, необходимых для описания движения в системе. В механической системе оно совпадает с минимальным числом точек, которые необходимо закрепить для прекращения движения.

Многие эффекты, сопровождающие колебания в сложных системах, проявляются уже при двух степенях свободы. Поэтому в данной лабораторной работе изучается простейшая система двух связанных осцилляторов.

Систему с двумя степенями свободы можно представить как две отдельные системы с одной степенью свободы, соединенные друг с другом гибкой связью. Связь между осцилляторами приводит к тому, что колебания в одном из них влияют на колебания в другом и наоборот. Важно отметить, что в колебательной системе, обладающей двумя степенями свободы, может происходить перераспределение энергии или биения.

Проведем изучение связанных колебаний на классическом примере двух маятников, соединенных пружиной и совершающих колебания в плоскости рисунка (Рис. 1), При отклонении маятников вправо углы ϕ 1 и ϕ 2 будем

считать положительными, а влево - отрицательными. Оба маятника совершают вращательное движение вокруг осей, проходящих через точки подвеса перпендикулярно плоскости рисунка. На каждый маятник действует сила тяжести и сила упругости пружины.

Если углы отклонения маятников от положения устойчивого равновесия достаточно малы (sinϕ ≈ϕ, cosϕ ≈1 −ϕ2 2 ), то моменты сил, действующие на каждый маятник, соответственно равны:

В уравнениях (1) предполагается, что два математических маятника имеют одинаковую массу m, длину l и расстояние от точки подвеса до прикрепления пружины d; k - коэффициент жесткости пружины. Кроме того, маятники подвешены в точках O 1 и O 2 соответственно. Поэтому моменты сил

определены относительно этих точек.

Уравнения вращательного движения маятников получим в виде:

ml2 d 2ϕ21 = −mglϕ1 −kd 2 (ϕ1 −ϕ2 ) dt

43

видно из (2), с частотой ωn = gl + kd 2 ml 2 . Сравнивая частоты ω1 , ω2 и ωn , можно заключить, что ω 1 ≤ωn ≤ω 2 . Это общее свойство всех колебательных

систем. В общем случае колебания каждого маятника могут происходить на двух частотах ω1 и ω2. С ним и связан эффект биения. Однако при определенных начальных условиях можно возбудить чисто гармонические нормальные колебания на одной из частот: ω1 или ω2. Начальные условия (отклонение углов и скорости маятников в начальный момент времени t =0) определяют коэффициенты A1, A2, B1, B2 в общем решении (4).

Рассмотрим различные частные случаи.

Синфазные колебания. Пусть начальные отклонения маятников равны по величине и одинаковы по знаку (отклонение в одну сторону Рис. 2а)

Видно, что связь не оказывает влияния на колебания (пружина не растягивается), и оба маятника колеблются с основной частотой ω1 синфазно. В любой момент времени углы отклонения одинаковы. Изменение угла отклонения синфазно колеблющихся маятников в зависимости от времени

показано на Рис. 3, где ω 1 = 2πT 1 - основная частота.

44

Рис. 3

Противофазные колебания. На Рис. 2б показаны начальные отклонения маятников для получения противофазных или встречных колебаний. Считая также скорости в момент времени t = 0 равными нулю, зададим начальные условия в виде:

Подставив условия (10) в уравнение (4) при t = 0, определим коэффициенты

Уравнения (4) с учетом (11) позволяют получить формулы для отклонения каждого маятника:

Из (12) следует, что маятники с овершают зеркально-симметричные или встречные колебания одинаковой частоты ω2 (Рис. 4). То обстоятельство, что маятники соединены пружиной, при противофазных колебаниях является существенным. Именно из-за действия пружины частота колебаний равна ω2 и увеличивается по сравнению с частотой синфазных колебаний ω1, при которых пружина не работает.

Рис. 4 Таким образом, систему двух связанных осцилляторов характеризуют две

45

нормальные частоты: основная ω1 при синфазных колебаниях и ω2 - при противофазных, причем ω 2>ω1 .

При возбуждении колебаний связанных маятников гармонической внешней силой частоты ω0 , действующей на один из них, оба маятника будут совершать вынужденные колебания с частотой внешней силы. При совпадении

частоты внешней силы ω0 с ω1 или ω2 наблюдается резонанс. Вынужденное колебание устанавливается после истечения некоторого времени, требующегося для затухания свободных колебаний в системе.

Биения. Система с двумя степенями свободы может совершать одновременно два гармонических колебания с частотами ω1 и ω2 . В этом случае энергия может периодически перераспределяться между маятниками. Рассмотрим пример биений в системе связанных маятников. Отклоним от равновесия один маятник, не трогая второй:

Тогда коэффициенты в (4) примут вид:

Подставив (14) в формулу (4), находим выражение для углов отклонения маятников

называется частотой биений, а соответствующий период - периодом биений:

46

ω б << Ω. Изменение ϕ1 и ϕ2 от времени при биениях представлено графически на Рис. 5.

Рис. 5

Как следует из (15), второй маятник совершает колебания с фазой, смещенной на π2 относительно первого. При уменьшении амплитуды одного

из маятников амплитуда второго увеличивается. Однако в любой момент времени общая энергия системы без учета трения сохраняется, она только переходит от одного маятника к другому. Период биений Тб характеризует время перекачки энергии и определяется формулой:

характеризует степень связи между маятниками. Количественной мерой связи является коэффициент

В отсутствие пружины (k = 0) нормальные частоты равны друг другу и γ = 0 . В

частотами, определяющимися формулой (5), можно записать коэффициент связи как

47

Порядок выполнения работы

1. Определение частоты f1 синфазных колебаний.

а) Установить крепящие пружины на верхней части стержней маятников, а грузы - на нижней, на одинаковом расстоянии.

б) Отсоединить пружины от обоймы, соединяющей маятники со стержнем, возбуждающим колебания.

в) Нажать кнопку «сеть».

г) Отклонить маятники в одну сторону на угол ~6° и отпустить их. д) Отсчитав примерно 10 периодов колебаний, нажать кнопку «стоп». е) Списать с показателей время t и количество колебаний n.

ж) Вычислить частоту f 1 = n / t . Отметим, что полученная частота связана с циклической частотой соотношением ω 1 = 2π f 1 , а с периодом T1 =1/ f1 .

2. Определение частоты противофазных колебаний.

Эксперимент проводится аналогично предыдущему, только вначале маятники нужно отклонить в разные стороны на угол 6°. В результате

измерений находим f 2 , ω 2 = 2π t 2 и T 2 =1 f 2 .

3. Изучение биений.

а) Отсоединить маятники от стержня, вызывающего колебания.

б) Один из маятников отклонить на любой угол и отпустить. Наблюдать изменение амплитуды в системе. Измерить период биений Тб и сравнить с величиной Тб, вычисленной по формуле (18).

в) Вычислить коэффициент связи двух маятников (19).

4. Воздействие внешней силы.

а) Закрепить пружины на обойму, сопрягающую маятники со стержнем, возбуждающим колебания.

б) Включить питание двигателя.

в) Наблюдать амплитуду колебания маятников, регулируя обороты двигателя.

г) Явление резонанса наблюдается при достижении амплитуды колебаний величины порядка 20°.

Контрольные вопросы

1.Что такое степени свободы механической системы?

2.Что такое система со связями и как ее описывают?

3.Какие координаты и собственные частоты связанной системы называют нормальными?

4.Чем отличаются синфазные колебания от противофазных?

5.Что характеризует основная частота колебаний системы? Сравнить

еес частотой противофазных колебаний.

6.Что такое биения? Когда они возникают? Что характеризует коэффициент связанности?

7.Объяснить явление резонанса в системе с двумя степенями свободы.

48

РАБОТА 10

Определение радиуса кривизны линзы оптическим и механическим способами.

Приборы и принадлежности: микроскоп с окулярной шкалой, линза, плоскопараллельная пластина, объект - микрометрическая пластинка, штангенциркуль.

Введение. Интерференцией волн называется явление наложения волн, при котором происходит их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабления в других. Интерференция электромагнитных волн оптического диапазона - это интерференцией света. Интерференционная картина наблюдается только при наложении когерентных волн. Две волны когерентны, если разность их фаз не зависит от времени, а частоты равны.

Одним из проявлений интерференции света в тонких пленках являются так называемые кольца Ньютона. Кольца Ньютона - кольцеобразные интерференционные полосы, образующиеся при падении света на воздушный или жидкий зазор, разделяющий две сферические или сферическую и плоскую поверхности. Интерференционная картина, возникающая в такой системе, представляет собой полосы равной толщины, так как кольца Ньютона наблюдаемы при вполне определенной толщине зазора между поверхностями.

Описание установки и метода измерения.

Рассмотрим интерференцию двух лучей 1 и 2, отраженных от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора, образованного плоско-параллельной пластинкой и плосковыпуклой линзой (Рис. 1).

Рис. 1

При большом радиусе кривизны линзы (несколько десятков сантиметров) толщина воздушного зазора между пластинкой и линзой мала; если световые лучи падают вертикально на поверхность линзы, то практически лучи будут вертикальны и к нижней, и к верхней поверхностям, образующим воздушный

49

зазор. Поэтому луч 0, дойдя до точки М, частично отразится (луч 1), а частично проходит в воздушный зазор вертикально. В точке N луч 2 отражается от пластинки, возвращается обратно и интерферирует с лучом 1, отраженным в точке М. Так как в точке N отражение происходит от оптически более плотной среды, фаза отраженной волны меняется на π/2, и оптическая разность хода интерферирующих отраженных лучей 2 и 1 равна (рис. 2);

где hm - толщина воздушного зазора на расстоянии rm от центра линзы (т.е. от точки ее касания пластинки).

Рис. 2

Рис. 3

Условие минимума (т.е. условие образования темного кольца - на одинаковом расстоянии от центра толщина воздушного промежутка одинакова, и - поэтому одинаковое условие минимума выполняется по всей длине окружности радиуса rm) следующее:

где m = 1,2,3... - порядок интерференционного минимума. Из условия (2) получаем

т.е. толщины, на которых наблюдаются темные кольца, порядка длины волны ( h 1 = λ / 2, h 2 = λ, h 3 = 3λ / 2). В видимом диапазоне порядки длин волн составляют ~10-7м, что позволяет при дальнейших расчетах пренебречь величиной h 2 ~ 10 −12 м.

Свяжем hm с rm . Из Рис. 2 видно, что

Формула (6) позволяет, определив радиусы темных колец и зная длину волны λ, рассчитать радиус кривизны линзы R. Если измерить радиусы нескольких темных колец, то радиус линзы можно рассчитать с большей точностью:

Радиус кривизны можно измерить для сравнения и с помощью микрометра или штангенциркуля. Действительно, как видно из рис. 3,

R2 = [R − (H − h)]2 + D2 / 4 ,

где Н - толщина линзы; h - толщина ее плоской части; D - диаметр линзы. Измерив Н, h и D , по формуле

можно рассчитать радиус линзы R и сравнить с данными расчета по формуле

(7).

Порядок выполнения работы

1.Включить лампу накаливания осветителя.

2.На столик микроскопа положить объект - метрическую пластинку с делениями (ОМП).

3.Перемещая микрометрическим винтом тубус микроскопа, навести последний на ясную видимость ОМП.

4.Перемещая ОМП по плоскости столика микроскопа, совместить какое-либо деление ОМП и шкалы микроскопа и отсчитать, скольким делениям шкалы Y соответствует вся шкала ОМП X. Определяют цену деления шкалы микроскопа, как Z =Х/Y мм/дел.

5.На столик поместить стеклянную пластинку, на нее – выпуклой стороной