Лаб физика
.pdf
11
Для определения ускорения свободного падения g в данной работе используется оборотный маятник. Оборотный маятник представляет собой стержень, на котором закреплены четыре массивных цилиндра, через два из которых проходят трехгранные призмы O1 и O2 , являющиеся осями вращения (Рис. 1). Периоды колебаний оборотного маятника вокруг осей O1 и O2 соответственно равны
T1 |
= 2π |
|
I |
0 |
|
+ a2m |
|
= 2π |
a2 |
|
+ I |
|
|
m |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
; |
(2) |
|||||||||
|
|
|
mga1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ga1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
T2 |
= 2π |
|
|
I |
0 |
+ a2m |
|
= 2π |
|
a |
2 |
+ I |
|
m |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
, |
(3) |
||||||||
|
|
|
|
mga2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ga2 |
|
|
|
|
|
||||||
что следует из формулы (1) и теоремы Штейнера.
Обозначим через Т период колебаний математического маятника длиной l, равной расстоянию между осями O1 и O2 , т.е. l = a1 +a2 . Период его колебаний
T = 2π |
|
l |
|
(4) |
|
g |
|||||
|
|
|
|
нетрудно выразить через Т1 и Т2 и определить из формулы (4) без измерения I0. Действительно, из равенств (2) – (4) легко получить
|
|
|
|
T 2 |
= |
a2 |
+ I m |
; |
|
|
|
|
T 2 |
= |
a2 |
+ I m |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
T 2 |
1 |
a l |
|
|
|
|
|
|
|
T |
2 |
|
2 |
a l |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим первое равенство на a1, а второе - на а2 , после чего вычтем одно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
из другого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
−T |
2a |
2 |
= |
a2 |
+ a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, что l = a1 + a2 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
2 |
= |
|
a T 2 |
− a T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
2 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 − a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Однако и эту формулу можно упростить, учитывая, что периоды |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
оборотного маятника Т1 |
и Т2 |
близки друг к другу. В числителе формулы (5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
вычтем и прибавим член a2T12 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
T 2 = |
a T 2 |
−a T 2 |
+ a T 2 −a T 2 |
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||
1 1 |
2 1 |
2 1 |
2 2 |
=T 2 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
(T |
−T )(T |
|
+T ) |
≈T 2 |
+ |
|
|
2 |
(T |
−T ) 2T |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
a1 −a2 |
|
|
|
1 |
|
|
a1 − a2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
a1 |
− a2 |
1 |
2 |
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12
Последнее приближение верно, т.к. T2 ≈T1 . При этом T1 −T2 << T1,2 , что
позволяет, считая второй член малым, разложить выражение для Т в ряд Тейлора:
T =T1 |
1+ |
|
a2 |
|
(T1 −T2 ) |
2 |
|
T1 + |
a2 |
|
(T1 −T2 ) . |
(6) |
|
a −a |
2 |
T |
a −a |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
Таким образом, мы получили простую формулу для вычисления периода. При симметричном расположении массы маятников относительно центра масс знаменатель дроби в (6) будет малой величиной и поправочный член может сильно возрасти. Во избежание этого массы располагают несимметрично,
соблюдая соотношение a1 ≠ a2 . Подумайте, как при этом условии можно тем
не менее сделать примерно равными периоды колебаний T1 |
и T2 . |
|||
Определив T по формуле (6), можно найти ускорение свободного падения |
||||
из выражения (4) |
|
|
|
|
g = |
4π2l |
. |
(7) |
|
T |
2 |
|||
|
|
|
|
|
В выражение (7) входит также l – расстояние между призмами, которое в процессе выполнения работы должно оставаться неизменным.
Порядок выполнения работы
1.Измеряют штангенциркулем расстояние l между призмами (с точностью до 0,1 мм). Это значение заносят в таблицу.
2.Опытным путем при помощи прибора для нахождения центра масс маятника определяют положение центра тяжести (точка O на рис. 3) оборотного маятника, уравновесив его на горизонтальной оси прибора.
3.Определив положение центра тяжести, измеряют расстояния a1, a2 от центра тяжести до острых граней призм. Данные заносят в соответствующие графы таблицы.
4.Измеряют время 50 полных колебаний (t1 = 50Т1). Эти измерения проводят всего 4 раза. Данные заносятся в таблицу. При измерениях необходимо следить за тем, чтобы максимальный угол отклонения не превышал 5-6°, так как в противном случае формула (7) несправедлива.
5.Затем маятник переворачивают и повторяют все измерения для t2 = 50Т2 аналогично п. 4 также 4 раза. Значения t2 заносят в таблицу.
6.По формуле (6) и данным таблицы рассчитывают период Т (для каждой из 4 серии измерений).
7.Для каждой из 4 серии измерений по формуле (7) определяют ускорение свободного падения g. Рассчитывают среднее значение
gср. = (g1 + g2 + g3 + g4 )
4
13
8.Окончательный результат необходимо представить в виде
|
|
|
|
|
|
g = gср. |
± ∆g . |
||||||
Таблица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
l |
a1 |
a2 |
t1 = 50T1 |
T1 |
|
t2 = 50T2 |
T2 |
a1 − a2 |
T1 −T2 |
T |
g |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆T1 = |
∆T2 = |
∆T = |
gср. = |
|
∆g = |
||||||||
Контрольные вопросы
1.От чего зависит величина g на поверхности Земли?
2.В каких единицах измеряется g?
3.Вывести формулу периода оборотного маятника.
4.В чем удобство определения g с помощью оборотного маятника?
5.Как устроен оборотный маятник? Для чего он служит?
6.Что такое приведенная длина физического маятника?
7.Какие колебания называются гармоническими?
14
РАБОТА 3 а, б Изучение крутильных колебаний.
Приборы и принадлежности: экспериментальная установка, набор дисков, секундомер, штангенциркуль.
Введение. Гармоническим крутильным колебанием тела называется периодическое вращательное движение относительно оси, проходящей через центр масс этого тела, когда угол закручивания мал.
Установка для изучения крутильных колебаний представляет собой тело с моментом инерции IO относительно оси O, подвешенное на тонком упругом стержне (проволоке). Если повернуть тело на некоторый угол ϕ, то в проволоке возникают упругие силы, стремящиеся вернуть систему в положение равновесия. Вращающий момент МO при этом пропорционален углу закручивания проволоки ϕ :
MO = − f ϕ ,
где f – модуль кручения проволоки.
Используя основной закон динамики вращательного движения IO d 2ϕ2 = MO ,
dt
после несложных преобразований получаем уравнение гармонических колебаний
d 2ϕ2 |
+ |
f |
ϕ = 0, |
(1) |
||||||||||
IO |
||||||||||||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
общее решение которого имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ϕ =ϕ0 sin(ωt +α) . |
(2) |
|||||||||||||
Здесь ϕ0 – амплитуда колебаний; ω = |
|
|
|
|
|
|
|
– циклическая |
частота; α – |
|||||
|
f / IO |
|
||||||||||||
начальная фаза колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Период крутильных колебаний связан с частотой |
ω известным |
|||||||||||||
соотношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T = |
2π |
= 2π |
|
|
I |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
O |
|
|
, |
(3) |
||||||
ω |
f |
|||||||||||||
которое позволяет определить экспериментально момент инерции IC, измерив период крутильных колебаний Т.
15
Описание установки и метода измерений
Отличие установок 3а и 3б указаны в порядке выполнения работы.
Установка 3а. Крутильные колебания совершает рамка, подвешенная на стальной проволоке, в центре которой помещают один, два или три одинаковых диска. Концы проволоки закреплены в зажимах, установленных на несущей опоре. Экспериментальная установка снабжена электронным блоком, осуществляющим измерение числа n крутильных колебаний и общей длительности τ указанного числа колебаний. Результаты измерений n и τ высвечиваются на индикаторах электронного блока. Измерение числа колебаний и их длительности ведется с использованием фотоэлектронного датчика и электромагнита, также расположенных на несущей опоре. На лицевой панели электронного блока расположены переключатели «сеть», «сброс», «пуск», «стоп», посредством которых осуществляется управление работой универсального секундомера.
Период крутильных колебаний рамки с грузом определяется соотношением
|
|
|
Ti |
= 2π |
|
IO + IiO |
|
, |
(4) |
||
|
|
|
f |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
= |
1 |
|
(IO + IiO ) , |
|
|
|
|||
|
i |
|
|
|
|
|
(4') |
||||
|
4π |
2 |
f |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где I0 – момент инерции рамки относительно оси вращения; IiO – момент инерции дисков.
В данной работе осуществляется экспериментальная проверка соотношения (4'). По результатам проведенных измерений определяют момент инерции рамки I0 и модуль кручения проволоки f.
Рис. 1 а |
Рис. 1 б |
16
Установка 3б. Установка, изображенная на Рис. 1 (а, б), состоит из кронштейна 1, исследуемого тела 2 и упругой проволоки. Проволока закреплена неподвижно в точке A, а на другом конце ее в точке B подвешено исследуемое тело. Если тело повернуть на некоторый угол в плоскости, перпендикулярной плоскости плана, то тело 2 под действием упругой силы будет совершать крутильные колебания.
Тело 2 представляет собой легкую пластинку с двумя массивными грузами m, вмонтированными в эту пластинку на расстояниях l от оси вращения. Определив период колебаний Т1 тела 2, можно по формуле (3) определить момент инерции I1
I1 = |
T 2 |
f |
|
|
1 |
|
. |
(5) |
|
4π |
2 |
|||
|
|
|
|
|
Установив в точках С и D два груза массой m1 и радиусом r, можно аналогично определить суммарный момент инерции I2 = I1 + I0 :
I1 + I0 = T22 f2 ,
4π
где
|
|
|
|
|
2 |
|
I0 = 2m1l |
2 |
+ 2 |
m1r |
|
, |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
а I0 – момент инерции помещаемых грузов m1 относительно оси AB.
Из соотношений (5, 5', 6) легко получается формула экспериментального определения неизвестного момента инерции I1:
I1 = m1(2l +2 r2 ) .
(T2 T1) −1
Порядок выполнения работы. Установка 3а
(5')
(6)
для
(7)
1.Нажав кнопку «сеть» на передней панели прибора, подают питающее напряжение в электронный блок.
2.Измеряют длительность 10 периодов крутильных колебаний ненагруженной рамки. Для этого:
а) нажимают кнопку «сброс» на панели прибора, при этом рамка должна фиксироваться электромагнитом; б) нажимают кнопку «пуск», рамка освобождается и совершает
крутильные колебания, на индикаторах панели высвечиваются результаты измерения числа и общей длительности колебаний; в) по истечении 9 колебаний нажимают кнопку «стоп» записывают показания индикаторов прибора.
3.Штангенциркулем измеряют диаметр равновеликих дисков известной
17
массы. Определяют момент инерции по соотношению:IC = m R2
2 , С – центр
масс диска.
4. На оси рамки последовательно размещают 1, 2, 3 дополнительные груза и измеряют периоды крутильных колебаний, каждый раз повторяя процедуру, описанную в п. 2. Результаты измерений заносят в таблицу 1.
5. По данным таблицы строят график зависимости Y = |
T 2 |
от X = I |
|
(Рис. 2) |
|||||
i |
i |
||||||||
4π 2 |
|||||||||
|
X |
|
I0 |
|
|
|
|||
Y = |
+ |
. |
|
|
|
(8) |
|||
f |
|
|
|
|
|||||
|
|
f |
|
|
|
|
|||
По пересечению экспериментальной прямой с осью абсцисс (координаты y=0; –xi0=I0=0) определяют момент инерции I0 ненагруженной рамки и сравнивают его с теоретическим значением I0т, оценка которого приведена на
установке. Отношение отрезков a b = f (Рис.2) позволяет вычислить модуль кручения проволоки f.
Рис. 2
Таблица 1.
m = |
|
|
|
2R = |
|
|
|
|
|
|
|||
∆m = |
|
|
∆R = |
|
|
|
|
|
|
||||
X = I0 |
|
|
0 |
|
I1 |
= |
mR2 |
|
I2 = 2I1 |
I3 = 3I1 |
∆X = |
||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
10Ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆T = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = |
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆Y = |
|
4π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18
Порядок выполнения работы. Установка 3б
1.Проволоку, на которой подвешено тело, закручивают на небольшой угол
ϕ≈ 20 и отпускают. Секундомером измеряют время t1 30-ти полных
колебаний. Эксперимент повторяют 3 раза.
2.В точках C и D закрепляют добавочные грузы и вновь 3 раза измеряют время t2 30-ти полных колебаний.
3.Штангенциркулем измеряют радиусы дополнительных грузов и расстояние l.
4.Данные измерений заносят в таблицу 2.
5.По формуле (7) рассчитывают момент инерции тела.
6.Полученное экспериментальное значение I1 сравнивают с теоретическим значением IT ≥ 2 ml2
2 .
Таблица 2
m1 = |
|
r = |
|
l = |
|
|
|
|
|
|
|
||
∆m1 = |
|
∆r = |
|
∆l = |
|
|
|
|
|
|
|
||
№ |
t1 |
|
|
|
T1 |
t2 |
|
|
|
T2 |
Iэксп. |
∆I |
IT ≤ Iэксп. |
t1 |
t2 |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Напишите дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
2.Какие колебания называют крутильными?
3.Что такое модуль кручения?
4.Выведите формулу, описывающую период крутильных колебаний.
5.Как изменяется кинетическая и потенциальная энергия системы, совершающей крутильные колебания?
6.Вывести формулы, определяющие зависимость кинетической и потенциальной энергии крутильных колебаний от времени.
7.По какой причине может происходить затухание крутильных колебаний с течением времени?
19
РАБОТА 4 Исследование работы колебательного контура
Приборы и принадлежности: колебательный контур с набором сопротивлений, осциллограф.
Введение. Электрический колебательный контур состоит из емкости С, индуктивности L и сопротивления R (Рис. 1).
Если зарядить конденсатор (или возбудить ток в катушке индуктивности), то в таком контуре возникнут затухающие электромагнитные колебания. При этом энергия электрического поля заряженного конденсатора периодически переходит в энергию магнитного поля тока, протекающего через катушку индуктивности; наличие в цепи сопротивления обуславливает тепловые потери
– энергия колебаний все время убывает.
Действительно, закон Ома для мгновенных значений тока
|
|
|
|
iR =U +ε , |
(1) |
|
где U = q |
– напряжение |
на конденсаторе; ε = −L di |
– э.д.с. самоиндукции |
|||
c |
|
|
− dq |
dt |
|
|
катушки индуктивности, |
i = |
(знак «минус» означает, что ток возрастает |
||||
dt |
||||||
|
|
|
|
|
||
при убывании заряда конденсатора).
Рис. 1 |
Рис. 2 |
Выразив в (1) все величины через заряд q, получаем дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе (аналогичные уравнения можно получить для напряжения или тока в цепи):
L |
d 2 q |
+ R |
dq |
+ |
1 |
q = 0 . |
(2) |
||
dt |
2 |
dt |
C |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
Нетрудно убедиться непосредственной подстановкой в уравнение (2), что его решение можно записать в виде:
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
q = q0e−δ t cos(ω1t +ϕ0 ) , |
|
(3) |
||
где коэффициент |
затухания |
δ = R / 2L , |
циклическая |
частота |
затухающих |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь q0 – |
колебаний ω1= |
ω02 −δ 2 , |
а собственная |
частота ω02 |
=1/(LC) . |
||
начальная амплитуда заряда q, а ϕ0 – начальная фаза. Таким образом, решение
(3) уравнения (2) представляется произведением экспоненциальной (затухающей) функции exp(-δ t) на периодическую функцию cos(ω t + ϕ 0), т.е. представляет собой затухающие синусоидальные колебания, как показано на Рис. 2.
Величина δ = R / 2L , характеризующая быстроту затухания колебаний во времени, называется коэффициентом затухания; ω0 = LC1 – циклическая
частота собственных колебаний контура (колебаний без затухания); ω1 –
частота затухающих колебаний (соответствующий ей период T = 2π называют
ω1
условным периодом затухающих колебаний, поскольку сами колебания не вполне периодичны – они затухают).
Отношение амплитуды колебаний U1 в момент времени t к начальной
амплитуде U0 равно |
U1 |
= U0e−δ t |
= e−δ t . Например, если δ =1c−1 , то через 1 |
|
U0 |
U0 |
|
секунду амплитуда колебаний уменьшится в e раз. При δ = 0,1c−1 в е раз
амплитуда уменьшится уже лишь через 10 с.
Для оценки быстроты затухания в зависимости от числа колебаний (а не от времени) пользуются не коэффициентом затухания, а декрементом (или логарифмическим декрементом) затухания. Логарифмическим декрементом ∆ определяется затухание колебаний за один период (одно полное колебание):
|
Un |
|
Une−δt |
δT |
|
|
||
∆ = ln |
|
= ln |
|
|
= lne |
|
=δT . |
(5) |
Un+1 |
U0e |
−δ(t+T ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
По величине логарифмического декремента затухания можно судить о том, через какое число колебаний их размах уменьшится в определенное число раз. Действительно, через N колебаний натуральный логарифм отношения амплитуд
ln |
Un |
= ln eNδT = N∆ . |
(6) |
|
|||
|
Un+N |
|
|
Если ∆ =1, то в е раз амплитуда уменьшится за одно колебание (ln e = N 1); при ∆ = 0,01 в е раз амплитуда уменьшится через 100 колебаний (N = 0ln,01e =100 ),
и т.д. Поэтому можно сказать, что логарифмический декремент есть величина, обратная числу колебаний, после которого амплитуда уменьшается в е раз, т.е.