Семестровые компьютерные задания

52

4. Строим график безразмерной плотности энергии. Формула (10) с данными нашего примера дает

Соответствующий график приведен на рисунке, а координаты особых точек – в таблице.

54

5. Квантовая механика. Частица в потенциальной яме

Краткое теоретическое введение

В квантовой теории одномерное движение частицы во внешнем потенциале описывается волновой функцией (х), являющейся решением уравнения Шредингера:

где m – масса частицы, Е – ее полная энергия, U=U(x) – потенциальная энергия частицы, зависящая от координаты х. Такое состояние называют стационарным; в нем зависимость от времени в волновой функции (x, t) строго периодична

Зная волновую функцию частицы, можно вычислить плотность вероятности её обнаружения w(x) в точке x, которая не зависит от времени

w x dW x * x,t x,t x 2 , dx

где W(x) – вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки х в окрестности dx. Вероятность обнаружения частицы в конечном интервале a<x<b описывается выражением:

b

W x 2 dx.

a

Условие нормировки

x 2 dx 1

выражает тот факт, что вероятность присутствия частицы в какой-либо точке бесконечного интервала (достоверное событие) равна 100 %.

Решением уравнения Шредингера для одномерной прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками является собственная нормированная волновая функция, которая имеет следующий вид:

55

При этом возможные собственные значения энергии:

где n – главное квантовое число (n=1, 2, 3…), l – ширина ямы.

Индивидуальные задания

В прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками шириной l находится частица массы m, состояние которой в момент времени t=0 описывается волновой функцией

где постоянные коэффициенты a, b, c, d, e, f определяются индивидуальным вариантом студента. Это смешанное состояние, являющееся суперпозицией трех чистых (подробнее см. дополнение, п.3).

1.Найти коэффициент нормировки волновой функции С.

2.Определить возможные значения полной энергии частицы, получаемые

при однократном измерении. Провести расчет для длины ямы l=3A и массы частицы m=2 10–27 г.

3.Найти вероятность получения каждого из возможных значений энергии при однократном измерении.

4.Определить среднее значение полной энергии частицы.

5.Рассчитать распределение плотности вероятности обнаружения частицы внутри ямы w(x) и построить ее график.

Варианты индивидуальных семестровых заданий

Коэффициенты в формуле (3) определяются по следующим правилам: 1) a – совпадает с номером группы в потоке

2) b – совпадает с порядковым номером студента в журнале семинарских занятий группы №.

3) коэффициент с определяется по формуле с=a+b.

56

4) коэффициенты d, e, f для студента с порядковым номером № определяются из таблиц:

Пример решения

Пусть волновая функция в момент времени t=0

т.е. a=6, b=2, c=4, d=3, e=7, f=5.

1. Найдем коэффициент нормировки С. Используя условие нормировки (1), приравниваем

При этом интеграл распадается на сумму из шести интегралов, три первые из которых равны

а три остальных оказываются равными нулю:

Окончательно уравнение для определения коэффициента С приводится к виду

C 2 a2 b2 c2 l 1, 2

откуда

2

C l a2 b2 c2 .

Для конкретных значений a=6, b=2, c=4 находим С=1/ 28 l . Таким образом, нормированная волновая функция имеет вид

2. Определим возможные значения полной энергии при однократном измерении. Подставляя возможные значения квантового числа n (т.е. d, e, f) в формулу (2), получаем для нашего случая

3. Определим вероятности появления каждого из этих значений. Мы имеем смешанное состояние, причем вклад в эту “смесь” чистого состояния с квантовым числом d=3 (амплитуда вероятности) пропорциональна a=6; аналогично

– вклады двух остальных чистых состояний (подробности – в дополнении). Записав волновую функцию в виде

58

этом искомые вероятности появления каждого из значений энергии чистых состояний оказываются равны соответственно

В качестве проверки получаем, что c12 c22 c32 1 , т.е. вероятность получения хоть какого-то из этих трех значений – достоверное событие.

4. Определим значение средней энергии в смешанном состоянии. В соответствии с общим алгоритмом определения любой средней величины, это сумма произведений конкретных значений на вероятности их появления

5. Построим график плотности вероятности координат частицы в состоянии

(1) внутри ямы. Искомый график будет складываться из шести:

Соответствие формулам номеров рисунков показано в таблице:

59

В нашем конкретном случае графики функций будут иметь следующий вид

60

Наконец, суммарный график будет выглядеть, как представлено на рис. 7.

рис. 7

61

5.Математические дополнения

1.Комплексные числа и алгебраические операции с ними.

Формально мнимой единицей i называют число, дающее в квадрате “минус единицу”: i2 = -1. Введение мнимой единицы позволяет определить комплексные числа. Алгебраической формой комплексного числа называют выражение вида

z = a + ib ,

где a и b – произвольные действительные числа. a называют реальной, а b - мнимой частью комплексного числа. Соответствующие обозначения имеют вид a = Re (z) , b = Im (z). Частными случаями комплексного числа являются действительное число Im (z) = 0 и чисто мнимое число Re (z) = 0.

Комплексные числа наглядно изображаются векторами в комплексной плоскости, причем проекция этого вектора на ось абсцисс соответствует действительной части комплексного числа, а на ось ординат – мнимой. Комплексные числа равны, только если равны их и действительные, и мнимые части. Векторы, изображающие равные комплексные числа, совпадают. Знак алгебраического неравенства в отношении комплексных чисел, вообще говоря, неприменим, и понятий “больше” - “меньше” для комплексных чисел не существует.

Тригонометрической формой записи комплексного числа называют выражение вида

z = (cos + i sin ) ,

где - модуль или абсолютная величина комплексного числа = | z | , - его аргумент

Переход от алгебраической к тригонометрической форме представления комплексного числа эквивалентен переходу от декартовой к полярной системе координат в векторной алгебре.

Показательной формой представления комплексного числа называют выражение

z = exp (i ) .

Для перехода от тригонометрической к показательной форме удобно использовать известную формулу Эйлера

exp (i ) = cos + i sin .