Семестровые компьютерные задания
.pdf
12
Пример решения
Выберем расположение материальных точек, показанное на рисунке.
m 1 |
m 5 |
m 7 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 2 |
m3, |
m4 |
m 6 |
|
a/2
Значения масс приведены в таблице (1):
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
m5 |
m6 |
m7 |
7m |
6m |
5m |
4m |
3m |
2m |
m |
А) Рассмотрим вначале упрощенную систему двух материальных точек m1 и m2 , находящихся на расстоянии а друг от друга.
m1
х
О
а хС
m2
13
1. Беря значения масс m1 и m2 из таблицы (1), легко видеть, что центр масс О лежит на прямой, соединяющей материальные точки, на расстоянии 6а/13 от m1 и соответственно 7а/13 от m2. Если начало системы координат поместить в точку m2 , то координаты центра масс определяются соотношениями xС = 0; yС
= 7а/13.
2. Проводя ось хС через центр масс, находим для нее момент инерции системы по формуле (1). В этой формуле r1=6а/13, а r2=7а/13 :
I |
C |
m r 2 |
m r 2 |
7m |
36a2 |
6m |
49a2 |
|
42 |
ma2 |
|
|
|
||||||||
|
1 1 |
2 2 |
169 |
169 |
13 |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
3.Проводя ось х через точку m1 параллельно оси xС, |
находим для нее момент |
|||||||||
инерции системы. Учтем, что теперь r1=0, а r2=a |
|
|
|
|||||||
I 0 m2r 22 6ma2
4.По теореме Штейнера найденные моменты инерции должны быть связаны соотношением
|
2 |
|
42 |
|
2 |
|
6a 2 |
|
2 |
||
I IC Md |
|
|
|
|
ma |
|
13m |
|
|
6ma |
|
|
13 |
|
|
13 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
справедливость которого подтверждается непосредственным расчетом.
B) Перейдем теперь к полной системе семи материальных точек. Выберем оси декартовых координат. Начало поместим в точку 2. Ось x проходит через точки 2, 3, 4, 6, а ось y - через точки 2, 1. Запишем в таблицу координаты всех масс в выбранной системе в единицах длины a.
x 1 |
x 2 |
x 3 |
x 4 |
x 5 |
x 6 |
x 7 |
0 |
0 |
0.5 |
1 |
1 |
2 |
2 |
y 1 |
y 2 |
y 3 |
y 4 |
y 5 |
y 6 |
y 7 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
5. Координаты центра масс определяются по формуле (1). Полная масса нашей системы равна M = 28m, а координаты масс, помноженные на сами массы, занесем в таблицу:
m1 x1 |
m2 x2 |
m3 x3 |
m4 x4 |
m5 x5 |
m6 x6 |
m7 x7 |
m xc |
0 |
0 |
2.5 |
4 |
3 |
4 |
2 |
15.5 |
m1 y1 |
m2 y2 |
m3 y3 |
m4y4 |
m5y5 |
m6 y6 |
m7 y7 |
m yc |
7 |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
11 |
В результате вычислений находим координаты центра масс:
14
xc = 0.553571a, yc = 0.392857a.
6.Для нахождения моментов инерции относительно осей, проходящих через центр масс, определим новые координаты точек в системе центра масс по формулам
|
|
x i C x i x C, |
y i C y i y C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1c |
x2c |
x3c |
x4c |
|
x5c |
x6c |
x7c |
-0.553571 |
-0.553571 |
-0.053571 |
0,446429 |
0,446429 |
1.446429 |
1.446429 |
|
(x1c)2 |
(x2c)2 |
(x3c)2 |
(x4c)2 |
(x5c)2 |
(x6c)2 |
(x7c)2 |
|
0.3064408 |
0.3064408 |
0.00287 |
0.1992989 |
0.1992989 |
2.092157 |
2.092157 |
|
y1c |
y2c |
y3c |
y4c |
|
y5c |
y6c |
y7c |
0.607143 |
-0.392857 |
-0.392857 |
-0.392857 |
0.607143 |
0.392857 |
0.607143 |
|
(y1c)2 |
(y2c)2 |
(y3c)2 |
(y4c)2 |
(y5c)2 |
(y6c)2 |
(y7c)2 |
|
0.3686226 |
0.1543366 |
0.1543366 |
0.1543366 |
0.3686226 |
0.1543366 |
0.3686226 |
|
(r1c)2 |
(r2c)2 |
(r3c)2 |
(r4c)2 |
(r5c)2 |
(r6c)2 |
(r7c)2 |
|
0.6750634 |
0.4607775 |
0.1572065 |
0.3536355 |
0.5679215 |
2.246494 |
2.460779 |
|
Теперь, воспользовавшись формулой (2), занесем в таблицу рассчитанные значения моментов инерции для каждой материальной точки:
I1cy |
I2cy |
I3cy |
I4cy |
I5cy |
I6cy |
I7cy |
Icy |
2.1451 |
1.8386 |
0.0143 |
0.7972 |
0.5979 |
4.1843 |
2.0922 |
11.6696 |
I1cx |
I2cx |
I3cx |
I4cx |
I5cx |
I6cx |
I7cx |
Icx |
2.5804 |
0.926 |
0.7717 |
0.6173 |
1.1059 |
0.3087 |
0.3686 |
6.6786 |
I1cz |
I2cz |
I3cz |
I4cz |
I5cz |
I6cz |
I7cz |
Icz |
4.7254 |
2.7647 |
0.7860 |
1.4145 |
1.7038 |
4.493 |
2.4608 |
18.3482 |
В последней колонке таблицы приведены искомые суммарные моменты инерции системы относительно трех декартовых осей координат в системе центра масс
Icx |
Icy |
Icz |
6.68ma2 |
11.67ma2 |
18.35ma2 |
7.Момент инерции относительно оси y, проходящей через точку m1, определим по формуле, следующей из (1)
7
I y m i x i2
i 1
Опять для удобства вычислений воспользуемся таблицей.
15
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
m5 |
m6 |
m7 |
|
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
( x1)2 |
(x2)2 |
(x3)2 |
(x4)2 |
(x5)2 |
(x6)2 |
(x7)2 |
|
0 |
0 |
0.25 |
1 |
1 |
4 |
4 |
|
I1y |
I2y |
I3y |
I4y |
I5y |
I6y |
I7y |
Iy |
0 |
0 |
1.25 |
4 |
3 |
8 |
4 |
20.25 |
Результат опять находим суммированием (последний столбец)
I0 y 20.25m a 2 .
8.Проверим вычисления с помощью теоремой Штейнера. Используем формулу (3), учитывая, что квадрат расстояния между параллельными осями определяется как
d 2 x12c 0.306440852
Рассчитаем член M·d 2:
M d 2 8.5803439ma2
Моменты инерции для формулы (3) найдены ранее. Используем их численные значения
Iy = 20.25ma2, Icy = 11.6696433ma2.
Подставляя их в (3), получаем хорошее численное совпадение левой и правой части
(11.67+ 8.58)ma2 = 20.25ma2 .
Еще одну проверку можно сделать, используя формулу
I c x I c y I c z . |
(4) |
Эта формула никак не связана с теоремой Штейнера. Она следует из последнего выражения для I0z в (2)
n
I0 z m i (x i2 y i2) ,
i 1
16
если раскрыть в нем скобки. В таблице на странице 14 уже приведены вычисленные значения необходимых моментов инерции. Подставляя их в (4) , получим:
(6.68 + 11.67) ma2 = 18.35ma2 ,
откуда следует и здесь численное совпадение левой и правой частей достаточно хорошее.
17
2. Электростатика. Уровни равного потенциала
Краткое теоретическое введение
Статическое электрическое поле можно наглядно изобразить с помощью силовых линий, касательные к которым показывают направление векторов напряженности, а также поверхностями (уровнями) равного потенциала. Напря-
женность электрического поля E связана с потенциалом формулой
E , |
(1) |
где напряженность – векторная, а потенциал - скалярная величина. Символобозначает градиент потенциала; его геометрический и физический смысл подробно описан в математическом дополнении. Таким образом, построив уровни равного потенциала, мы имеем возможность определить в любой точке величину и направление вектора напряженности.
Рис. 1
Для примера рассмотрим плоскость ху, на которой задано определенное распределение потенциала φ(х, у) (рис. 1). Величина потенциала в данной точке отложена по оси z. Уровни равного потенциала в данном случае представ-
18
ляют собой сечения поверхности φ(х, у) на определенной высоте z = const, что показано на рис. 2.
40
35
30
25
20
15
10 -2
-1
0
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
-0.5 |
|
|
|
||
2 |
|
|
-1 |
|
|
|
|
||
|
-1.5 |
|
|
|
|
|
|||
-2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2
Линии равного потенциала можно спроектировать на плоскость xy, получив тем самым наглядную плоскую картину электрического поля. Именно построение такой картины и работа с ней – основная цель данного семестрового задания.
Рассмотрим конкретный пример электрического поля, созданного тремя точечными зарядами, расположенными на плоскости xy. Точечный заряд создает в пространстве потенциал , определяемый в системе СИ по формуле
|
q |
, |
(2) |
|
4 0 r |
||||
|
где q - электрический заряд, - относительная диэлектрическая проницаемость среды, - электрическая постоянная, связанная с выбором системы единиц, r - расстояние от заряда до точки, где определяется потенциал. Если поле создается несколькими точечными зарядами, то его потенциал складывается из потенциалов отдельных зарядов в соответствии с принципом суперпозиции
19
n |
q i |
|
|
|
|
, |
(3) |
||
|
||||
i 1 4 0 r i |
||||
где n - полное число зарядов.
Упростим формулу (3), перейдя в ней к безразмерным величинам. Для этого выберем фиксированную длину l, в единицах которой будем измерять
~ |
~ |
|
расстояние r: r r l , где |
r |
– безразмерное расстояние. Фактически такой |
выбор означает всего лишь введение определенного масштаба. Заряд опреде-
~ |
, где |
~ |
лим в единицах произвольно выбранного заряда q0 : q q q0 |
q – безраз- |
мерный заряд. Наконец, безразмерный потенциал будем определять в единицах
,
т.е. ~ 0 . После такой нормировки формула (3) упрощается
~ |
n |
~ |
|
|
q i |
|
|
|
~ |
|
|
|
i 1 |
r i . |
(4) |
Расстояние от i-го заряда, находящегося в точке с координатами хi , yi , до точки наблюдения с координатами х, у, определяется выражением
ri |
x xi 2 |
y yi 2 . |
(5) |
Напряженность электрического поля, также в относительных единицах, можно определить по формуле (1).
Индивидуальные задания
1.Записать формулу (4) для своих значений зарядов и их координат.
2. Для полученного поля построить 3 уровня равного потенциала~ A (9,11,12) ; знак перед скобкой совпадает со знаком зарядов.
3.Определить направление и величину напряженности поля в точке y = 0 при самом правом значении x, находящейся на уровне А от центра, где А определяется по следующим правилам.
20
Варианты индивидуальных семестровых заданий
Группа |
ГИ |
ГИГМ |
ГИЭ |
МД |
ГИР-1 |
ГИР-2 |
Группа |
РТБ-1 |
РТБ-2 |
РТП |
РТМЭ |
РТМО |
– |
A |
12 |
-10 |
9 |
-12 |
10 |
-9 |
Знак зарядов |
q > 0 |
q < 0 |
q > 0 |
q < 0 |
q > 0 |
q < 0 |
Номер варианта № соответствует номеру студента в журнале семинарских занятий группы.
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
||||||||||
x1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
||||||||||
x2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||
x3 |
-0.1 |
-0.2 |
-0.3 |
-0.4 |
-0.5 |
-0.6 |
-0.7 |
-0.8 |
-0.9 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
||||||||||
y1 |
-0.1 |
-0.2 |
-0.3 |
-0.4 |
-0.5 |
-0.6 |
-0.7 |
-0.8 |
-0.9 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
||||||||||
y2 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
-0.1 |
-0.2 |
-0.3 |
-0.4 |
-0. |
||||||||||
y3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||||||
q1 |
5 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
3 |
||||||||||
q2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
4 |
4 |
||||||||||
q3 |
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
4 |
6 |
7 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
x1 |
-1 |
-1 |
-1 |
-1 |
|
-0.9 |
|
-0.8 |
|
-0.7 |
|
-0.6 |
|
-0.5 |
|
-0.4 |
|
-0.3 |
|
-0.2 |
|
-0.1 |
|
0.5 |
x2 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0.9 |
|
0.8 |
|
0.7 |
|
0.6 |
|
0.5 |
|
0.4 |
|
0.3 |
|
0.2 |
|
0.1 |
|
-0.5 |
x3 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
y1 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
y2 |
-0.6 |
-0.7 |
-0.8 |
-0.9 |
|
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
|
-1 |
y3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0.9 |
|
0.8 |
|
0.7 |
|
0.6 |
|
0.5 |
|
0.4 |
|
0.3 |
|
0.2 |
|
0.1 |
|
-0.5 |
q1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
q2 |
5 |
6 |
7 |
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
6 |
|
6 |
|
7 |
|
6 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
q3 |
6 |
7 |
5 |
3 |
|
6 |
|
7 |
|
4 |
|
5 |
|
7 |
|
8 |
|
4 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
21
Пример решения
1. Запишем формулу для потенциала со следующими величинами зарядов и координат
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
|
|
y1 |
|
y2 |
|
y3 |
|
|
|
|
q1 |
|
q2 |
|
|
q3 |
||
-0,5 |
|
0.5 |
|
-0.8 |
|
-1.2 |
|
1.2 |
|
0.5 |
|
|
4 |
|
3 |
|
5 |
||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(x 0.5) 2 |
(y 1.2) 2 |
(x 0.5) 2 (y 1.2) 2 |
(x 0.8) 2 |
(y 0.5) 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. Построим уровни равного потенциала |
φ = А = 9, 11, 12. Для этого соединим |
||||||||||||||||||||||
точки с соответствующим значением потенциала (рис. 3). Совершенно аналогично это делается в лабораторной работе 2.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2 -2
9 |
|
|
|
12 |
9 |
11 |
|
11 |
9 |
|
|
12 |
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
12 |
|
12 |
11 |
|
|
|
|
11 |
|
9 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
12 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.5 |
-1 |
-0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
Рис. 3