Семестровые компьютерные задания
.pdf
|
|
|
42 |
|
|
I 0 (А) |
|
|
|
|
|
0.10 |
|
|
|
|
|
0.08 |
|
|
|
|
|
0.06 |
|
|
|
|
|
0.04 |
|
|
|
|
|
0.02 |
|
|
|
|
|
0.00 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
0 |
|||||
|
|
|
|
(c -1) |
|
Видим, что амплитуда тока достигает максимума 0.102А при резонансной частоте рез 1.05*103 с 1 . Отметим, что при 0 ток отсутствует, так как в рассмотренном примере в цепь последовательно включен конденсатор.
43
4. Колебания и волны. Стоячие волны
Краткое теоретическое введение
Колебательные и волновые движения чрезвычайно распространены в природе. Почему? Дело в том, все тела и системы, входящие в состав Вселенной (от гигантских звездных систем до микрочастиц, из которых состоят все макротела) рано или поздно оказываются в состоянии устойчивого равновесия (другими словами, в потенциальной яме). При случайных внешних воздействиях они, “чуть-чуть” выйдя из равновесия, совершают гармонические колебания около равновесных положений. В частности, обычное тепловое движение частиц твердых тел и жидкостей – пример таких колебаний. Из-за связей с соседними частицами они также вовлекаются в колебательное движение – и по среде начинает распространяться упругая волна. Видов упругих волн довольно много: внутри однородной среды может распространяться объемная волна (продольная или поперечная), на границе двух сред существуют поверхностные волны (Релея, Лява, Блюштейна) и т.д. и т.д. В целом теория волновых процессов – один из самых объемных разделов современной физики.
Для описания волн используется целый ряд специальных характеристик, важнейшей из которых является интенсивность - поток энергии через единицу площади в единицу времени. Дело в том, что любой приемник волн (например, человеческое ухо как приемник звуковых волн или глаз как приемник электромагнитных волн) “чувствует” именно эту величину. Для упругих волн она пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты.
Волны, переносящие энергию (но ни в коем случае ни материю, ибо частицы совершают только колебательное движение), называют бегущими. Если бегущая волна интерферирует с волной такой же амплитуды и частоты, бегущей ей навстречу, возникает стоячая волна, не переносящая энергии вообще.
Рассмотрим простейший пример такого рода - закрепленную с двух концов струну длины l. В такой струне, как известно, можно возбудить поперечные стоячие волны. Смещения точек струны в произвольный момент времени t в произвольной точке х описываются соотношением
n (x,t) A n sin (k n x)sin ( n t) .
Здесь Аn – амплитуда волны с частотой n (как говорят, n-й моды). Концы струны закреплены, так что граничные условия для вышеприведенной функции
n (0,t) n (l,t) 0 |
(1) |
Поэтому стоячие волны имеют дискретный спектр частот n и соответствующих им волновых чисел kn , удовлетворяющих условию
k n l n , |
(2) |
44
где n = 1, 2… - целые числа. Частоты связаны с волновыми числами обычным соотношением
n |
c k n |
|
c |
n |
0n |
(3) |
|
||||||
|
|
|
l |
|
|
|
Здесь c – фазовая скорость звуковой волны, 0 (самую низкую из возможных частот) называют основным тоном (по этой частоте обычно и называют струну), а n – обертонами.
При произвольном возбуждении в струне, вообще говоря, возникает суперпозиция монохроматических волн
n (x,t) A n sin (k n |
x)sin ( n t) |
|||||
n |
|
|
|
(4) |
||
Подставляя (3) и (2) в (4), выразим смещения точек струны явно через n |
||||||
(x,t) A n |
sin[ |
x |
n]sin[ |
ct |
n] . |
|
|
|
|||||
n |
|
l |
|
l |
||
Введем новые безразмерные длину и время, нормированные таким образом, чтобы изменятся в пределах длины струны от 0 до 1
~ |
~ |
x x / l, |
t ct / l |
Если ввести еще и безразмерные амплитуды смещения an
An an A0 ,
где аn – число порядка единицы, то в этих переменных зависимость безразмерного смещения
~ ~ |
~ ~ ~ |
(x, t ) A0 |
(x, t ) |
от безразмерных координаты и времени предстанет в более компактном виде
~ |
~ ~ |
~ |
~ |
(5) |
|
(x, t ) a n sin ( n x)sin ( n t ) . |
|||
n
Энергия бесконечно малого объема dV среды, по которой распространяется гармоническая упругая волна, может быть записана в виде
|
|
45 |
|
dW |
1 |
dV 2 A2 (x) , |
(6) |
|
|||
2 |
|
|
|
где - плотность среды, А – амплитуда смещения в данной точке. Входящий в
(6) “локальный” квадрат амплитуды
A |
2 |
~ |
2 |
sin |
2 |
~ |
. |
(7) |
|
(x) An |
|
nx |
|||||
n
Для струны площадью сечения S элементарный объем
dV S dx . |
(8) |
Как известно, стоячая волна энергии не переносит, так что ее интенсивность тождественно равна нулю. Каждый элемент струны имеет “свою” энергию, пропорциональную квадрату амплитуды в данной точке (7). При этом в одних точках амплитуда максимальна; здесь энергия концентрируется, и называют эти точки пучностями. Наоборот, в других точках амплитуда обращается
внуль; из них энергия “уходит”, и называют эти точки узлами.
Сточки зрения энергии колебания – это постоянный переток энергии из
кинетической в потенциальную и обратно. Фазовый сомножитель sin |
2 |
~ |
в (5) |
|
nt |
как раз дает долю потенциальной энергии в общей механической энергии дан-
ной |
точки. Соответственно долю |
кинетической |
энергии |
дает множитель |
||||
2 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
nt . Естественно, их сумма всегда равна 1, как и должно быть в незату- |
|||||||
хающей волне. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью (6) – (8) можно выписать распределение плотности энергии |
|||||||
колеблющейся струны |
|
dW |
1 |
|
|
|
||
|
~ |
|
2 2 2 |
~ |
|
|||
|
w x |
|
|
|
|
S n An sin |
nx . |
(9) |
|
dx |
|
||||||
|
|
|
2 |
n |
|
|
||
Видим, что при одинаковых амплитудах больший вклад в энергию струны дают высокочастотные колебания. Именно поэтому высокие голоса при одинаковой мощности слышнее низких.
Как и ранее, введем безразмерную плотность энергии 
с учетом формулы (3)
~ ~ ~
w(x) w0 w(x) ,
где
w 0 1 SA02 02
2
и
~ ~
w(x )
2 |
2 |
sin |
2 |
~ |
. |
(10) |
an n |
|
|
nx |
n
46
Наконец, полная энергия колеблющейся струны, как следует из (10) (напомним, что средний по периоду квадрат синуса равен ?) составляет
W |
w0 |
an2n2 . |
(11) |
|
|||
2 |
n |
|
|
Индивидуальные задания
В закрепленной с двух сторон струне образуется стоячая волна, являющаяся суперпозицией трех монохроматических волн:
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
(x,t ) asin( n x)sin( n t ) bsin( mx)sin( mt ) сsin( k x)sin( k t ) (12)
где постоянные коэффициенты a, b, c, n,m, k определяются в соответствии с индивидуальным вариантом студента.
1.Построить на одном графике безразмерные смещения трех монохроматических составляющих стоячей волны и их суперпозицию в зависимости от безразмерной координаты 
для момента безразмерного времени 
=0,2. Найти по графику координаты минимумов, максимумов и нулей смещений, а также соответствующие этим экстремумам безразмерные амплитуды.
2.Построить на одном графике полное смещение стоячей волны в зависи-
мости от х для трех различных моментов безразмерного времени 
1 = 0,15; 
2 = 0,25; 
3 = 0,45. Найти по графику координаты минимумов, максимумов и нулей смещений, а также соответствующие этим экстремумам безразмерные амплитуды.
3.Построить на одном графике полное смещение стоячей волны в зависимости от 
для трех различных безразмерных координат струны 
1 = 0,1; 
2 = 0,3; 
3 = 0,5. Найти по графику моменты минимумов, максимумов и нулей смещений, а также соответствующие этим экстремумам безразмерные амплитуды.
4.Построить график безразмерной плотности энергии 
и определить с его помощью координаты узлов и наиболее близких к ним точек, а также главных пучностей волны и соответствующие им амплитуды безразмерной энергии.
5.Рассчитать полную безразмерную энергию колеблющейся струны и указать, какая мода колебаний дает в нее наибольший вклад.
47
Варианты индивидуальных семестровых заданий
Коэффициенты a, b, c, n,m, k в уравнении стоячей волны (12) определяются по следующим правилам. Коэффициент а определяется группой
Группа |
ГИ |
ГИГМ |
ГИЭ |
МД |
ГИР-1 |
ГИР-2 |
Группа |
РТБ-1 |
РТБ-2 |
РТП |
РТМЭ |
РТМО |
– |
а |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2.b совпадает с порядковым номером студента в журнале семинарских занятий группы (№)
3.Коэффициент c определяется по формуле c = a + b
4.Остальные коэффициенты для студента с порядковым номером № определяются из таблиц:
|
|
№ |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
6 |
|
7 |
|
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
|
|||||||||
|
|
|
n |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
6 |
|
7 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
m |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
7 |
|
8 |
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
k |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
|
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
|
8 |
|
9 |
|
6 |
|
|
7 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
№ |
|
15 |
|
|
16 |
|
17 |
18 |
|
19 |
20 |
|
|
21 |
|
22 |
|
|
23 |
|
24 |
25 |
26 |
|
27 |
|
28 |
|||||||||||||
n |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
5 |
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
4 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|||||||||||
m |
|
5 |
|
|
|
6 |
|
7 |
8 |
|
5 |
|
6 |
|
|
7 |
|
8 |
|
|
6 |
|
7 |
8 |
3 |
|
4 |
|
5 |
|||||||||||
k |
|
6 |
|
|
|
7 |
|
8 |
9 |
|
6 |
|
7 |
|
|
8 |
|
9 |
|
|
7 |
|
8 |
9 |
7 |
|
8 |
|
9 |
|||||||||||
Пример решения
Пусть a=2, b=28, c=30. Тогда по таблице n= 3, m=5, k=9. Следовательно, уравнение безразмерного смещения волны (12) в данном варианте
~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
(x,t ) 2sin(3 x)sin(3 t ) 28sin(5 x)sin(5 t ) 30sin(9 x)sin(9 t )
1.Строим графики монохроматических составляющих и суммарного смещения в момент 
=0,2. Уравнение смещения в этот момент сведется к виду
~ ~
(x,t )
Вводим обозначения:
|
~ |
~ |
1,902sin(3 x) 0 17,634sin(9 x) |
||
~ |
~ |
|
1(x; 0,2) 1,902sin(3 x) , |
|
|
~ |
~ |
|
2(x; 0,2) |
17,634 sin (9 x) |
|
и строим график, используя, например, пакет Mathcad.
|
|
|
48 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
____ |
10 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
- - - |
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
|
|
|
|
..... |
|
|
|
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
0.0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
x 1.0 |
С помощью полученного графика определяем координаты минимумов и соответствующие значения безразмерного смещения,
xmin |
0,05 |
0,28 |
0,5 |
0,72 |
0,95 |
min |
-16,55 |
-16,58 |
-19,54 |
-16,55 |
-16,58 |
координаты нулей
x0 |
0 |
0,11 |
0,22 |
0,33 |
0,44 |
0,56 |
0,67 |
0,78 |
0,89 |
1 |
и координаты максимумов с соответствующими значениями безразмерного смещения
хmax |
0,17 |
0,39 |
0,61 |
0,83 |
max |
19,46 |
16,66 |
16,66 |
19,46 |
2. Строим графики безразмерного смещения струны для трех различных моментов времени. В момент 
1 = 0,15 уравнение (12) с нашими параметрами сведется к виду
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
|
1(x;0,15) 1,975sin(3 x) 19,799 sin(5 x) 26,73sin(9 x) , |
|
|||||
в момент |
2 = 0,25 – к виду |
|
|
|
|
||
|
|
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
|
2(x;0,25) 1,414sin(3 x) 19,799 sin(5 x) 21,213sin(9 x) |
|
|||||
и, наконец, в момент |
3 = 0,45 – к виду |
|
|
|
|||
|
|
~ |
|
~ |
~ |
~ |
|
|
3(x;0,45) 1,782sin(3 x) 19,799 sin(5 x) 4,693sin(9 x) |
|
|||||
Графики этих функций приведены на рисунке, а их особые точки – в таблицах |
|||||||
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
____ |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- - - |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..... |
-40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-60 |
|
|
|
|
|
|
|
0.0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
x 1.0 |
|
|
|
|
1 = 0,15 |
|
|
|
|
|
xmin |
0,04 |
|
|
0,28 |
|
0,5 |
|
0,72 |
|
0,96 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
1min |
-11,82 |
|
-44,56 |
-8,91 |
-44,56 |
|
-11,82 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x0 |
0 |
0,08 |
|
0,22 |
|
|
0,35 |
|
0,47 |
|
|
0,53 |
|
0,65 |
|
0,78 |
|
0,92 |
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
хmax |
|
0,16 |
|
0,41 |
|
0,59 |
|
0,84 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1max |
|
39,87 |
|
23,9 |
|
23,9 |
|
39,87 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
50
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 0,25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хmin |
|
|
0,16 |
|
|
0,41 |
|
|
0,59 |
|
|
0,84 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2min |
|
-31,06 |
-21,58 |
|
-21,58 |
-31,06 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x0 |
0 |
|
|
0,08 |
|
0,21 |
|
|
0,36 |
|
|
0,5 |
|
0,64 |
|
|
0,79 |
0,92 |
1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
xmax |
|
|
0,04 |
|
|
0,28 |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
0,72 |
|
|
|
0,96 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2max |
|
|
7,6 |
|
|
40,68 |
|
|
0 |
|
|
|
|
40,68 |
|
|
7,6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 = 0,45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хmin |
|
|
0,32 |
|
|
0,68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3min |
-17,33 |
|
-17,33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
0 |
|
|
|
0,18 |
|
|
0,41 |
|
|
|
0,59 |
|
|
0,82 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xmax |
|
0,08 |
|
|
0,5 |
|
|
|
0,92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3max |
|
21,23 |
|
|
26,27 |
|
|
21,23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3.Строим графики безразмерного смещения струны в зависимости от времени для трех безразмерных координат. В точке 
уравнение (12) предстанет в виде
~ |
~ |
~ |
~ |
1(0,1;t |
) 1,618sin(3 t ) 28 sin(5 t |
) 9,271sin(9 t ) , |
|
в точке 
– в виде
~ |
~ |
~ |
~ |
2(0,1;t |
) 0,618sin(3 t |
) 28 sin(5 t |
) 24,271sin(9 t ) |
и в точке 
– в виде
~ |
~ |
~ |
~ |
3(0,5;t |
) 2sin(3 t |
) 28 sin(5 t |
) 30sin(9 t ) |
Строим соответствующий график
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
____ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- - - |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-60 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1.0 |
|
0.0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
и определяем в таблицах его особые точки |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tmin |
|
|
0,34 |
|
0,66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1min |
|
-24,49 |
-24,49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
0 |
|
|
|
|
0,19 |
|
0,42 |
|
0,58 |
|
|
0,81 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
tmax |
|
0,08 |
|
0,5 |
|
0,92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1max |
|
34,88 |
|
35,65 |
|
34,88 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = 0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
tmin |
|
|
0,15 |
|
|
0,41 |
|
0,59 |
|
|
0,84 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2min |
|
-40,81 |
-24,86 |
-24,86 |
|
|
-40,81 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
t0 |
|
0 |
|
|
0,06 |
|
|
|
0,21 |
|
0,36 |
|
0,64 |
|
|
0,79 |
|
0,94 |
|
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
tmax |
|
0,04 |
|
|
|
|
0,28 |
|
|
0,5 |
|
|
0,72 |
|
|
0,96 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
2max |
|
5,73 |
|
|
|
|
51,15 |
|
-4,35 |
|
51,15 |
|
5,73 |
|
|
|
||||||||||||||||