Основы проектирования электронных средств Материалы к Экз ОПЭС-2014 РК-01-02 / Назаров_Конструирование_РЭС

Рис. 4.13. Изгибные колебания балки: а — схема нагружения; б — формы колебаний

Предполагается также, что в системе действуют силы упругого сопротивления и инерции. Тогда уравнение движения балки может быть представлено в виде

где Е — модуль упругого материала балки; JУ— момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба; т 0 — равномерно распределенная погонная масса балки.

Граничные условия, которые используются при решении уравнения, связывают со способом закрепления балки:

на опертом конце балки прогиб и изгибающий момент равны нулю; на жестко закрепленном конце прогиб и угол поворота сечения рав-

ны нулю; на свободном конце балки изгибающий момент и перерезывающая

сила равны нулю.

Решение (4.14) дает следующее соотношение для частоты свободных колебаний:

где λi параметр, представляющий собой корень частотного уравнения,

р F = т о — равномерно распределенную погонную массу.

133

Для балки с шарнирно закрепленными концами λi=iπ ; для консольного закрепления λ1=l,875, λ2=4,694, λi,≈(2i-1)π/2 (i≥3);в случае жесткого закрепления концов λ1= 4,73, λ2= 7,853, λi,≈(2 i + 1) π/2 (i ≥ 3); i — номер тона колебаний.

Если расчетная модель наряду с распределенной содержит сосредоточенную массу, то в формуле (4.15) используется приведенная распределенная масса

m = m0 + 1ås0 ksms l s =1

где т s — сосредоточенная масса; s 0 — число сосредоточенных масс; KS — коэффициент приведения сосредоточенной массы к равномерно

распределенной.

Величина коэффициента KS зависит от относительной абсциссы сосредоточенной массы as=xs/l (рис. 4.14). Значения коэффициентов

зические параметры некоторых материалов в табл. П.2 приложения.

Таблица 4.2

134

Частота свободных колебаний рамы зависит как от параметров модели, так и от направления внешнего воздействия (рис. 4.15), которое определяет вид колебаний, протекающих в отдельных элементах рамы. Если, например, возбуждающая сила направлена вдоль горизонтального звена рамы (рис. 4.15, а), то в вертикальных звеньях возникают изгибные колебания, в горизонтальном — продольные. Внешнее воздействие, приложенное в соответствии с рис. 4.15, в, вызывает изгибные колебания горизонтального звена рамы, изгибные и крутильные — вертикальных звеньев. В связи с тем что жескости элементов рамы на изгиб, растяжение-сжатие и кручение различны, частота свободных колебаний рамы будет существенно зависеть от направления внешнего воздействия. Силы Рх, Рy и Рz , приложенные к раме, могут рассматриваться как составляющие силы Р.

Рис. 4.15. Схема нагружения рамы:

а — составляющая Рх ; б — составляющая Р z ; в — составляющая Ру

Частота свободных колебаний рамы для основного тона определяется по формулам:

для рамы рис. 4.15, а

для рамы рис. 4.15, б

для рамы рис. 4.15, в

где т — масса рамы; к = h/l (h, l — геометрические размеры звеньев рамы); G=Е /2 (1 + ε) — модуль упругости второго рода (модуль сдвига) материала рамы; ε — коэффициент Пуассона. Расчет частоты свободных колебаний радиоэлементов проиллюстрируем примером.

Пример 4.1. Определить частоту свободных колебаний резистора С2-6-1, установленного на печатной плате по варианту ΙΙа. Параметры конструкции резистора (рис. 4.16, а): D = 6,6 мм, L к = 17 мм, d = 0,9 мм,

L = 22,5 мм, масса резистора тp — не более 2,5 г. Выводы резистора

выполнены из холоднотянутой медной проволоки, модуль упругости

Е= 1,23 • 10 11 Н/м 2, плотность ρ= 8,96 г/см 3.

Частоту свободных колебаний резистора найдем для двух расчетных моделей: балки и рамы.

Модель резистора в виде балки представлена на рис. 4.16, б.

Длина балки l= L-LK = (22,5- 17) • 10-3 = 5,5- 10-3 м. Равномерно

распределенная погонная масса балки определяется массой выводов резистора:

Сосредоточенная масса равна массе корпуса резистора, т.е.

Рис. 4.16. Построение расчетных моделей резистора:

а — вариант установки на печатной плате; б — расчетная модель в виде балки;в — модель в виде рамы

136

Приведенная распределенная погонная масса балки для относительной абсциссы сосредоточенной массы a j = 0,5:

ml = m0+(1/l) mKk1=5,69·10-3 + 2,47·10-3 ·0,52/5,5·10-3 = 0,239 кг/м .

Момент инерции сечения балки J=0,05d4 = 3,28·10-14м4 .

Частота свободных колебаний балки основного тона

Расчетная модель резистора в виде рамы приведена на рис. 4.16, в. Длина горизонтального звена рамы l= 5,5 • 10 -3 м , высота рамы h =

= (0,5D+1)10-3 = (0,5·6,6+1)10-3 = 4,3-10-3м.

Отношение высоты рамы к длине к = h/l = 4,3·10-3/5,5·10-3= 0,78. Частота свободных колебаний рамы

Полученные значения частоты свободных колебаний резистора для моделей балки и рамы существенно расходятся. Однако можно предположить, что модель рамы точнее воспроизводит и конструкцию резистора и динамические процессы при вибрации. Одновременно расхождение результатов расчета подчеркивает важность и ответственность этапа выбора расчетной модели.

4.3.2. Расчет вибропрочности выводов радиоэлементов

Характерным видом отказов радиоэлементов при вибрационных воздействиях является усталостное разрушение выводов.

Усталостные явления в выводах наиболее часто наблюдаются при резонансных колебаниях радиоэлемента или резонансных колебаниях платы, на которой установлен радиоэлемент. Первый случай относится к условиям силового возбуждения механической колебательной системы, второй - к условиям кинематического возбуждения.

137

Количественной оценкой вибропрочности выводов служит время работы радиоэлемента до разрушения выводов tp . Для определения tp ,

как правило, используется расчетная модель в виде рамы, так как по сравнению с моделью балки она позволяет рассмотреть большее число опасных сечений выводов радиоэлемента.

В случае вибрации на резонансной частоте на радиоэлемент действует инерционная сила Р и . Если направление инерционной силы не

совпадает с направлением осей координат, то она может быть разложена на составляющие PX. РY, РZ,.

Расчет времени работы выводов радиоэлемента до усталостного разрушения состоит в определении силы Р и изгибающих моментов и напряжений в опасных сечениях рамы. Для максимального напряжения σ max по кривой усталости материала выводов находят число циклов колебаний до разрушения N к время работы радиоэлемента до отказа t .

Инерционная сила, действующая на радиоэлемент,

PH = μmgnB,

где μ. — коэффициент динамичности ; т — масса радиоэлемента; n в — вибрационные перегрузки; g — ускорение силы тяжести.

Коэффициент динамичности на резонансной частоте μ= π/Λ,где Λ — логарифмический декремент затухания.

Численное значение Λ можно найти через частоту свободных колебаний системы f01 или коэффициент затухания δ0 :

Λ = π/ f01 ; Λ = 2πδ0.

Для реальных систем δ0 = 0,02...0,25 [23]. Формулы изгибающих моментов в характерных точках рам приведены в табл. 4.3.

.

Механические напряжения в характерных сечениях определяют с помощью соотношения

σ = М и / W и ,

где М и — изгибающий момент в сечении; W и =Jx/ymax — момент сопротивления изгибу; Jx — момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба; у шах — расстояние от нейтральной линии сечения до поверхности упругого элемента.

138

новлен в центре платы, форму колебаний платы в направлении х можно представить в виде

z(x) = Z 0 sin (πх/а),

где Z 0 — прогиб в центре платы.

Угол поворота сечения платы в точке крепления вывода

где х — расстояние от края платы до точки крепления вывода. Прогиб в центре платы

Zo=Zok1(ζX.ζY)/2δo

где Z0— амплитуда вибраций, возбуждающих плату;k1(ζX.ζY)— коэффициент формы колебаний платы; ζX.ζY — относительные коорди-

наты центра платы; 2δ0=1/ f01 — коэффициент механических потерь на

резонансной частоте f01 основного тона колебаний платы.

Коэффициенты формы колебаний для дискретных значений относительных координат приведены в [24].

Прогиб платы на отрезке, равном расстоянию между точками крепления выводов, может быть определен как

Z(x)=Z2(x)·Z1(x)=Z0[k1(ζX.ζY)-K2(ζX.ζY)]/2δ0.

Через значения угла поворота сечения платы 6 и прогиба (деформации) Z(х) находят изгибающие моменты в характерных точках (см. табл. 4.3). Далее порядок решения задачи не отличается от случая вибраций элемента на частоте свободных колебаний.

Пример 4.2. Определить время работы резистора до разрушения выводов при вибрации на резонансной частоте основного тона. Параметры конструкции резистора соответствуют рис. 4.16, а; расчетная модель — рис. 4.16,в. Вибрационные перегрузки резистора n в = 10.

Как было показано в примере 4.1, частота свободных колебаний резистора f01 = 2839 Гц. Через значение f01 находим логарифмический

декремент затухания в системе Λ =π / f01 = 3,14 2839 = 0,059 и коэф-

фициент динамичности при резонансе μ, = π/Λ= 3,14/0,059= 53,2. Инерционная сила, действующая на резистор,

Pи = μmgnB = 53,2·2,510-3·9,8·10=13,04 Н.

По формулам табл. 4.3 определим изгибающие моменты для характерных точек:

140

МA=МД = Риl/8(2 + к) = 13,03·5,5· 10-3/8(2 + 0,78) == 3,22·10-3 Н·м; МE=МC = РИl/4(2 + к) = 13,03·5,5·10-3/4 (2 + 0,78) = 6,44·10-3 Н·м.

Момент сопротивления изгибу выводов резистора

WИ =J/(0.5й) = 3,28·10-14/(0.5·0.9·10-3) = 7,29·10-11 м3.

Изгибные напряжения в характерных точках:

σЛ = σД=MA/WИ = 3,22·10-3/7,29·10-11 = 4,42·107 Н/м2,

σB = σC = MB/WИ = 6,44· 10-3/7,29·10-11 = 8,84·107 Н/м2.

Таким образом, максимальные изгибные напряжения σmax = 8,84·107 Н/м возникают в точках изгиба выводов резистора.

Рис. 4.18. Кривая усталости для медной проволоки

По кривой усталости холоднокатанной меди (рис. 4.18) для σшах=8,84·107 Н/м2 находим число циклов нагружения резистора до

разрушения выводов NP=107 . Время работы резистора до отказа tP = NP/f01 = 107/2839 = 3,52·103с.

141

4.3.3. Расчет частоты свободных колебаний функциональных узлов

Функциональные узлы РЭС представляют собой планарные конструкции. Поэтому основной расчетной моделью узлов является прямоугольная пластина при определенном закреплении сторон.

Расчет частоты свободных колебаний прямоугольных пластин производится на основе следующих допущений:

изгибные деформации пластины при вибрации по сравнению с ее толщиной малы, упругие деформации подчиняются закону Гука;

пластина имеет постоянную толщину, нейтральный слой пластины не подвержен деформациям растяжения-сжатия;

материал пластины идеально упругий, однородный и изотропный; все прямые, нормальные к поверхности нейтрального слоя до де-

формации, остаются прямыми и нормальными к ней после деформации.

Дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний пластины имеет вид

где z = z(x,y, t) — виброперемещение пластины, определяемое в точке

с координатами х, у; т — масса пластины; D=Eh3/12(1-ε2) — жесткость пластины на изгиб (цилиндрическая жесткость);Е,ε- соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона материала; h — толщина пластины.

Точное решение уравнения (4.16) получено для свободных колебаний прямоугольных однородных пластин, две противоположные стороны которых свободно опираются, при любом закреплении двух других сторон.

В случае свободного опирания всех сторон частота свободных колебаний пластины может быть найдена по формуле

ω0 = π2[(i/a)2 + (j/b)2] D / ρh ,

где i,j — число полуволн синусоиды, укладывающихся вдоль сторон пластины; a,b— размеры сторон; ρ — плотность материала пластины. Реальные конструкции функциональных узлов, приводимые к расчетным моделям пластины, по основным параметрам не соответствуют требованиям однородной пластины, а разновидность внутренних структур конструкций РЭС ведет к многообразию краевых условий пластин. Поэтому для расчета частоты свободных колебаний функциональных узлов, как правило, используются соотношения, полученные в резуль-

142