- •Александр Петрович Алексеев Информатика 2002
- •129337, Г. Москва, а/я 5
- •Ответственный за выпуск: с. Иванов
- •Isbn 5-93455-128-0 © а.П. Алексеев Введение
- •Предисловие ко второму изданию
- •1. Основные понятия
- •1.1. Основные понятия об информации и информатике
- •1.2. Понятие об информационных технологиях
- •К.А. Гельвеций
- •1.3. Этапы развития вычислительной техники
- •1.4. Хронология возникновения Интернета
- •1.5. Сферы использования вычислительной техники
- •1.6. Развитие отечественной вычислительной техники
- •2. Арифметические и логические основы работы эвм
- •2.1. Системы счисления
- •2.2. Арифметические основы работы эвм
- •2.3. Логические основы работы эвм
- •3. Организация данных в эвм
- •3.1. Представление данных в эвм
- •3.2. Представление команд в эвм
- •3.3. Кодовая таблица
- •3.4. Файловая система
- •4. Аппаратные средства
- •4.1. Структурная схема эвм
- •4.2. Принцип действия основных устройств эвм
- •4.2.1. История развития процессоров
- •4.2.2. Принцип действия процессора
- •4.2.3. Память
- •4.2.3.1. Оперативная память
- •4.2.3.2. Внешние запоминающие устройства
- •4.2.4. Устройства ввода информации
- •4.2.5. Устройства вывода информации
- •4.3. Классификация эвм
- •5. Системное программное обеспечение
- •5.1. Понятие об операционной системе
- •5.2. Методы архивации
- •5.3. Принципы сжатия информации
- •5.4. Вирусы и антивирусные программы
- •5.5. Основные понятия программирования
- •5.5.1. Языки программирования
- •5.5.2. Основные свойства и способы представления алгоритма
- •5.5.3. Базовые структуры программирования
- •5.5.4.VisualBasic– основные сведения*
- •6. Прикладное программное обеспечение
- •6.1. Текстовые редакторы
- •К. Прутков
- •6.2. Графические редакторы
- •6.3. Электронные таблицы
- •6.4. Базы данных
- •6.5. Искусственный интеллект
- •6.6. Экспертные системы
- •6.7. Мультимедиа
- •6.8. Виртуальная реальность
- •6.9. Системы автоматизированного проектирования
- •7. Основные понятия моделирования
- •7.1. Основные понятия и определения моделирования
- •7.2. Обзор систем моделирования рэу
- •7.3. СистемаElectronicsWorkbench
- •7.4. Система CircuitMaker
- •7.5. СистемаMicro-Cap
- •8. Математические и статистические системы
- •8.1. Обзор математических и статистических систем
- •8.2. Математическая системаMathcad
- •8.2.1. Пользовательский интерфейс
- •8.2.2. Компьютерная алгебра
- •8.2.3. Операции с комплексными числами
- •8.2.4. Вопросы программирования
- •8.3. Аппроксимация с помощью пакетов тсwiNи тс 3d
- •9. Сетевые информационные технологии
- •9.1. Локальные сети
- •9.2. Глобальные сети
- •9.3. Браузеры
- •9.4. Поисковые системы и каталоги
- •9.5. Электронная почта
- •Фильтры для приходящей почты
- •9.6. Введение вHtml
- •Html – язык для создания Web-страниц
- •9.7. Основные понятияWeb-дизайна
- •9.7.1. Теоретические основыWeb-дизайна
- •9.7.2. Сетевые технологииWeb-дизайна
- •9.7.5. Понятие о баннерах
- •9.7.4. Инструментальные средстваWeb-дизайна
- •9.8. Основные понятия криптографии и стеганографии
- •9.8.1. Шифрование сообщений различными методами
- •9.8.2. Криптографическая система с открытым ключом
- •9.8.3. Понятие о стеганографии
- •10. Компьютер и здоровье
- •11. Перспективы развития вычислительной техники
- •Заключение
- •12. Приложения Глоссарий
- •Список аббревиатур
- •Список литературы
- •Содержание
- •7. Основные понятия моделирования 150
- •8. Математические и статистические системы 179
- •9. Сетевые информационные технологии 201
- •10. Компьютер и здоровье 268
- •11. Перспективы развития вычислительной техники 273
- •12. Приложения 277
8.2.2. Компьютерная алгебра
Часто в наших уравнениях
верен только знак равенства.
С. Лец
Пожалуй, наиболее сильное впечатление от работы программы Mathcad пользователи получают при выполнении символьных (т. е. аналитических) математических преобразований. Когда в Mathcad используется символьная математика, то результатом преобразований является не число, а новое выражение.
Символьные функции системы Mathcad были заимствованы из пакета Maple V, который разработан фирмой Waterloo Maple Software.
Рассмотрим, как производятся тождественные преобразования. Для примера приведем многочлен к стандартному виду. Если набрать выражение
затем в Главном меню выбрать пункт Symbolics (Символы), далее подпункт Evaluate (Расчеты), а затем – опцию Symbolically (Символические), то в результате выполненных машиной упрощений на экране появится выражение
Запустить символьный процессор на проведение преобразований можно по-другому. Набрав необходимое выражение, следует нажать аккорд клавиш Ctrl +. (т. е. одновременно нажимаются две клавиши: Control и точка). На экране появится выражение
После нажатия клавиши Enter или щелчка левой кнопкой мыши за пределами выражения получится вышеприведенный результат.
Третий способ получения результата базируется на использовании кнопки , находящейся в палитре «Символьные операции».
Математическая система позволяет получать формулы сокращенного умножения. Например, если нужно развернуть выражение (возвести двучлен в натуральную степень)
то его следует активизировать, создав снизу справа от выражения синий уголок
а затем в пункте Symbolics (Символы) выбрать опцию Expand (Расширить). В результате на экране появится следующее выражение:
Если требуется свернуть выражение вида
то его следует активизировать, а затем через пункт Symbolics (Символы) выполнить опцию Factor (Фактор). В результате на экране появится выражение:
Последним способом можно вынести множитель за скобку. Например, дано выражение
После использования опции Factor получим:
Посмотрим, как осуществить разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Для примера возьмем выражение
После стандартного выделения выражения (образование синего уголка) и запуска опции Factor (Фактор) получим
Mathcad позволяет упростить выражение, например, сократить дробь, разделив числитель и знаменатель дроби на общий множитель. В качестве примера возьмем выражение:
Выбрав опцию Simplify (Упростить) в пункте Главного меню Symbolics (Символы), получим
Рассмотрим еще один пример упрощения выражения (опция Simplify):
Результат этого преобразования равен 2/3.
Система позволяет выполнять решение уравнений в символьном виде. Например, если набрать выражение
в котором выделить переменную х (для выделения переменной нужно установить вертикальный курсор справа от переменной), то после поочередного выполнения опций Symbolics (Символы), Variable (Переменные), Solve (Вычислить) будет получен хорошо известный ответ
Система позволяет найти производную в символьном виде. Вначале нужно курсором указать (т. е. выделить) переменную дифференцирования:
Затем в пункте Главного меню Symbolics (Символы) выбрать опцию Variable (Переменные), а в появившемся субменю – опцию Differentiate (Дифференцирование). В результате получим
При дифференцировании система рассматривает все символы выражения как константы, за исключением выделенной переменной.
Рассмотрим способ нахождения производных высокого порядка в символьном виде. С помощью кнопки следует создать заготовку, в которую занести необходимые символы, например:
После этого с помощью кнопки , находящейся в палитре «Символьные операции», можно получить ответ
Рассмотрим, каким образом можно найти первообразную в символьном виде. Пусть дано выражение, которое нужно проинтегрировать:
Укажем курсором переменную интегрирования (в данном случае это х).
В пункте Symbolics (Символы) выберем подпункт Variable (Переменные), а затем опцию Integrate (Интегрирование). В результате будет получено
Рассмотрим порядок вычисления неопределенного интеграла, используя привычную запись символов. Выберем такой вид интеграла:
Выделим интеграл синим уголком. Нажав аккорд клавиш Shift + F9 (это еще один способ запуска программы на счет), получим
Анализируя последний результат, легко заметить, что в ответе нет постоянной интегрирования, т. е. она во всех случаях работы математической системы принимается равной нулю.
Система дает возможность находить значения определенных интегралов как в символьном, так и в числовом виде. Например:
или
Символьный процессор позволяет производить разложение в ряд Маклорена. Выполним разложение функции, указав курсором аргумент:
Разложение выполняется с помощью опции Expand to Series. (Разложить на составляющие). Приведем полученный результат:
Последнее слагаемое характеризует ошибку разложения в ряд.
Рассмотрим порядок вычисления пределов.
Чтобы вызвать оператор предела, нужно нажать одновременно клавиши Ctrl+L или воспользоваться соответствующей палитрой. Затем ввести выражение в поле ввода, находящееся справа от оператора lim. После этого ввести переменную, по которой вычисляется предел, в левое поле ввода ниже оператора lim. Наконец, в оставшееся поле ввести значение предела. Полученное выражение охватить уголком и нажать аккорд клавиш Shift + F9. Возьмем конкретный пример:
Результат вычислений равен 1.
Рассмотренные выше примеры можно запустить на счет не только с помощью Главного меню (пункт Symbolics), но и с помощью показанной ниже палитры, в которой содержатся уже знакомые опции: expand, solve, simplify, series, factor и др.
Символьный процессор, безусловно, одно из величайших достижений человеческого разума. Однако результаты, полученные с его помощью, не всегда рациональны (компактны).
Так, нахождение первообразных для интегралов, приведенных в справочнике по интегралам Двайта [72], в 50– 60% случаев дает такие же результаты, как в упомянутой книге. В остальных случаях результаты не столь компактны, как в справочнике, а порой ЭВМ совсем не справляется с поиском первообразной.
Приведем два интеграла, с которыми система не справилась (не смогла найти первообразную):
Приведем еще один пример, который показывает, что пока еще есть простор для совершенствования символьного процессора:
Очевидно, что при использований обратных функций ответ должен быть х, однако система до конца не выполнила очевидные преобразования.