Табличный способ перевода

Исходное число представляется суммой различных степеней нового основания. При этом степень подбирают по соответствующей таблице. Последовательность расположения степеней начинается с той, которая дает число, не превышающего исходного десятичного. Затем для членов полученного ряда степеней подбирают соответствующие коэффициенты (цифры) из алфавита новой системы счисления таким образом, чтобы их сумма была равна исходному десятичному числу.

Табличный способ применим и при переводе правильных десятичных дробей в другие СС.

Таблица степеней числа 2

210	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	2-1	2-2	2-3	2-4	2-5
1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,03125

Пример 2. Перевести десятичное число 377 в двоичную СС.

Наибольшая степень нового основания q = 2, не превышающая числа377, равна8(2⁸ =256, а 2⁹ = 512). Таким образом, последовательность расположения степеней начинается с2⁸ и заканчивается2⁰. Из этих степеней подбираем те, которые при суммировании дают результат, равный377. Затем перед членами, которые участвовали в суммировании, поставим коэффициент 1, а которые не участвовали – 0.

377 = 256 + 64 + 32 + 16 + 8 + 1 =

= 1 2⁸+ 0  2⁷+1  2⁶ +1 2⁵ +1 2⁴ +1 2³ + 0  2² + 0  2¹ +1  2⁰ =

256 + 0 + 64 + 32 + 16 + 8 + 0+ 0 + 1 = 101111001₂

Пример 3. Перевести десятичную дробь 0,3125 в двоичную СС.

0,3125₁₀ = 0,25 + 0,0625 = 0 2^-1 + 1 2^-2 + 0  2^-3 +1  2^-4 = 0 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,0101₂

Пример 4. Определить количество нулей в двоичной записи числа 193.

Наибольшая степень нового основания q = 2, не превышавшая193 равна 7 (2⁷ =128, а 2⁸ = 256). Поэтому в двоичном представлении числа будет8разрядов (на единицу больше максимальной степени).

Подберем степени числа 2, которые в сумме дадут 193:193 = 128 + 64 + 1. Отсюда следует, что единиц в двоичном представлении будет –3, а нулей8 – 3 = 5.

193 = 128 + 64 + 1 = 1  2⁷+1 2⁶ +0 2⁵ +0 2⁴ +0 2³ + 0  2² + 0 2¹ +1  2⁰ = 11000001₂

Практическое задание

1. Определить количество единиц в двоичной записи числа 700.

2. Перевести десятичное число 99,5в двоичную СС.

1. Перевод чисел в десятичную систему счисления

Для перевода числа в десятичную систему счисления надо записать в развернутойформе и вычислить его значение. Число в развернутой форме представляют как сумму произведений. Каждое произведение состоит из цифры числа умноженной на основание той системы, в которой представлено число в степени, определяющей вес этой цифры в числе.

N = A_n-1q ^n-1 + A_n-2q ^n-2 +…..+ A₀q⁰ + A_-1q ^-1 + A_–mq ^-m

где, N – число; А_i– цифры числа; q – основание СС, в которой представлено число; n – количество разрядов в целой части числа; m – количество разрядов в дробной части числа.

Пример 5. Перевести в десятичную систему счисления 10,11₂, 67,5₈, 19F₁₆

10,11₂ = 1  2¹ + 0  2⁰ + 1  2^-1 + 1  2^-2 = 1  2 + 0  1 + 1  1/2 + 1  1/4 = 2,75₁₀

67,5₈ = 68¹ + 7  8⁰ + 5  8^-1 = 6  8 + 7  1 + 5  1/8 = 55,625₁₀

19F₁₆ = 1  16² + 9  16¹ + F  16⁰ = 1  256 + 9  16 + 15  1 = 415₁₀

Пример 6. Даны два числа 74₁₀ = 202_q, одно в десятичной СС, другое в СС с основанием q. Числа эквивалентны. Чему равно q – основание CC(5)?

Воспользуемся правилом перевода числа из другой СС в десятичную СС, для этого запишем число с основанием q в развернутом виде и приравняем его к известному десятичному:

2 q ²+ 0  q ¹ + 2  q ⁰ =74₁₀ преобразуем 2q ² + 2 =74; 2q ² =72; q ² =36; откуда основание СС q = 6.