Файл МТД_СС_д.doc(Курилова М. Н.)

Системы счисления

1. Перевод чисел в позиционных системах счисления

Для записи информации о количестве объектов используются числа.

Система счисления (СС) – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Все СС делятся на позиционные и непозиционные. В позиционных системах – количественное значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных – нет.

Каждая позиционная система имеет определенный алфавит и основание. Совокупность различных цифр, используемых в СС для записи чисел, называется алфавитом. Основание в позиционной СС равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения цифр соседних разрядов числа. Например, в десятичной СС основание равно 10, а алфавит состоит из арабских цифр, в двоичной системе – основание 2, алфавит включает две цифры 0 и 1; в восьмеричной основание равно 8, а алфавит состоит из восьми арабских цифр (0,1,2,3,4.5,6,7), в шестнадцатеричной системе основание равно 16, алфавит включает арабские цифры и латинские буквы (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F).

Числа в позиционных СС можно представить в свернутой (обычной) форме и развернутой. Например, 555,55₁₀ – обычная (свернутая) запись числа, а в развернутой форме это же число имеет вид:

555,55₁₀= 5 10² + 5  10¹ + 5  10⁰ + 5  10^-1 + 5 10^-2 (1)

Отсюда видно, что число можно представить как сумму произведений, каждое произведение состоит из цифры умноженной на основание в степени, определяющей вес цифры в числе.

В общем случае число (P) можно представить:

Р = A_n-1q ^n-1 + A_n-2q ^n-2 +…..+ A₀q⁰ + A_-1q ^-1 + A_–mq ^–m (2)

где, N – число; А_i – цифры числа; q – основание СС, в которой представлено число; n – количество разрядов в целой части числа; m – количество разрядов в дробной части числа.

1. Перевод чисел из десятичной сс в другие позиционные Перевод целых чисел

Для перевода целого десятичного N в систему счисления с основаниемqнеобходимо разделитьN наqс остатком. Затем неполное частное, полученное от этого деления, нужно снова разделитьq с остатком и т. д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. ЧислоNв системе счисления с основаниемq представится в виде упорядоченной последовательности полученных остатков деления, записанных однойq-ичной цифрой в порядке, обратном порядку их получения.

Пример 1 Перевести десятичное число 28 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Для перевода десятичного числа N = 28 в двоичную СС (основаниеq= 2) последовательно делим его на основание системы(q), записываем остаток, продолжаем делить пока полученное частное не станет меньше основания системы, в которую производим перевод. После этого записываем результат: последнее частное и полученные остатки в обратном порядке.

Обратите внимание, при переводе в шестнадцатеричную СС получен остаток 12, это число соответствует цифреСв алфавите системы счисления.

А)	2810	2				Б)	2810	8	В)	2810	16
	28	14	2				24	3		16	1
	0	14	7	2			4			12
		0	6	3	2
			1	2	1
				1

28₁₀ = 11100₂ = 34₈ = 1С₁₆