- •Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •Свойства умножения вектора на число
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Применение векторного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 10
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
А10. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е. V.
Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.
, V.
Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г20 к и к . Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах и, во втором – на векторахи).
Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А10 векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:
.
А20. V .
Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:
; ;.
Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
А30. ;
;
.
Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
Замечание. Смешанное произведение .
, т.к. .
Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если ,,в базисе,,, то.
.
Применение смешанного произведения
трех векторов
Смешанное произведение векторов применяется:
1. Для выяснения компланарности трех векторов:
векторы ,,компланарны тогда и только тогда, когда.
2. Для вычисления объема параллелепипеда: (рис. 28).
3. Для вычисления объема треугольной призмы:
(рис. 29).
4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):
(рис. 30).
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислите , если.
2. Докажите, что если ||, то .
3. Выясните, какой является тройка векторов ,,(левой или правой).
4. Докажите, что векторы ,,, удовлетворяющие условию
,компланарны.
5. Найдите объем треугольной призмы АВСА1В1С1, если ,,.
6. Найдите объем тетраэдра ABCD, если ,,.
Метод координат
на плоскости и в пространстве
Лекция 7
Аффинная и прямоугольная декартова
системы координат
§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой
систем координат
Четверка, состоящая из точкиО и базиса ,,в пространстве, называетсяаффинной системой координат в пространстве и обозначается или(рис. 31).
Точка О называется началом координат, векторы ,, -координатными векторами: - первый координатный вектор, - второй, - третий.
Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисными векторами и которые проходят через точку О, называются координатными осями:
- ось абсцисс;
- ось ординат;
- ось аппликат (рис. 32).
Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, Оz.
Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Оу и Оz, Ох и Оz, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Oxz, а систему координат иногда обозначаютOxyz.
Пусть- аффинная система координат,М – произвольная точка пространства. Вектор называетсярадиус-вектором точки М относительно точки О (рис. 33).
Понятие координат точки вводится на основе понятия координат вектора.
Координатами точки М в системе координат называются координаты ее радиус-вектора в базисе,,.
Обозначение или простоМ(х;у;z): х – абсцисса точки М, у – ордината, z – аппликата.
Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у;z) действительных чисел.
Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть М(х;у;z).
1) Если z=0, то М(х;у;0) . Верно и обратное: z=0.
2) Докажите самостоятельно, что если у=0, то , и наоборот, если, тоу=0.
3) Докажите самостоятельно, что если х=0, то , и наоборот, если, то х=0.
4) Если z=0 и у=0, то и . Верно и обратное: z=0 и у=0.
Докажите самостоятельно, что:
5) Если х=0 и у=0, то и наоборот, если, тох=0 и у=0.
6) Если х=0 и z=0, то и наоборот, если, тох=0 и z=0.
7) Так как , то из пунктов 1) – 3) следует, чтоО(0;0;0) в системе координат .
Чтобы построить точку М(х;у;z) по ее координатам в системе координат , надо сначала построить точку М1(х;0;0), затем точку М2(х;у;0), а затем точку М(х;у;z). Процесс построения этих точек показан на рис. 34. Ломаная ОМ1М2М называется координатной ломаной точки М.
Система координат называетсяпрямоугольной декартовой, если ее базис является ортонормированным. Обозначение прямоугольной декартовой системы координат: или , где
, ,и.
Прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной.
Замечание. На плоскости аффинная система координат состоит из точки О (начала координат) и двух базисных векторов и(координатных векторов) (рис. 35). Поэтому в системе координат на плоскости любая точка имеет две координаты. Прямоугольная декартова система координат на плоскости изображена на рис. 36.