![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •Свойства умножения вектора на число
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Применение векторного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 10
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
1. Будут ли векторы
и 3
образовывать базис двумерного пространства
и почему?
2. Будут ли векторы
,
и
образовывать базис трехмерного
пространства и почему?
3. Какие координаты
имеет вектор
в базисе
,
,
?
4. Сформулируйте свойство 50 координат векторов для следующих случаев:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
§6. Скалярное произведение двух векторов
Углом между
ненулевыми векторами
и
называется угол между лучами
и
,
сонаправленными с векторами
и
соответственно и исходящими из одной
точкиО
(рис. 10).
Обозначение:
.
Два ненулевых
вектора
и
называютсявзаимно
перпендикулярными (ортогональными),
если
.
Обозначение:
.
Если хотя бы один
из векторов нулевой, то считают, что
.
Итак, нулевой вектор ортогонален любому вектору.
Угол между двумя
векторами
и
находится в следующих пределах:
.
Понятие угла между векторами используется при определении понятия скалярного произведения.
Скалярным
произведением
двух
векторов называется число (скаляр),
равное произведению их длин на косинус
угла между ними. Обозначение:
или
.
.
Скалярным
квадратом вектора
называется число, равное скалярному
произведению
.
Обозначение:
2.
Скалярное умножение векторов не является линейной операцией над векторами.
Скалярное умножение векторов обладает геометрическими и алгебраическими свойствами. В геометрических свойствах фигурируют геометрические величины (длина, угол, перпендикулярность, проекция и т.д.), алгебраические свойства – это свойства, аналогичные свойствам сложения и умножения действительных чисел.
Геометрические свойства скалярного умножения векторов
Г10.
.
□Пусть
,
тогда
или
;
или
;
или
.
Обратно, пусть
,
тогда
.■
Г20.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату
его длины:
.
□
.■
Из этого свойства получаем важное следствие:
.
Прежде чем
сформулировать третье свойство, дадим
понятие проекции вектора
на направление, определяемое вектором
.
Пусть даны два
вектора
,
V.
Возьмем в пространстве
произвольную точку А
и отложим от нее вектор
,
т.е.
(рис. 11).
Возьмем прямую
s||и зададим на ней направление вектором
(такая
направленная прямая называется осью).
Проведем в пространстве через точку А
плоскость
,
через точкуВ
– плоскость
.
Пусть
,
.
Проекцией
(скалярной) вектора
на направление, определяемое вектором
,
называется число, равное
,
если
;
,
если
.
Обозначение:
.
Г30.
.
Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
А10.
.
А20.
;
.
А30.
.
Следствие.
.
Это свойство можно распространить и на
большее число слагаемых.
Теорема 1 (скалярное
произведение в координатах).
Если в ортонормированном базисе
,
,
то
.
□ По определению
координат вектора
,
.
Используя свойства Г10,Г20,
А10-А30
и то, что
,
,
и
,
получаем:
.
■
Следствие 1.
.
Следствие 2 (условие ортогональности двух векторов в координатах).
.
Следствие 3.
.
Вфизике скалярное произведение векторов
применяется для вычисления работы силы
по перемещению материальной точки из
положения
в положение
(рис. 12):
.
Скалярное умножение векторов широко применяется к решению содержательных геометрических задач и доказательству теорем.
Приведем пример доказательства теоремы Пифагора и теоремы косинусов.