![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •Свойства умножения вектора на число
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Применение векторного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 10
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
Известны координаты точки М(-2;1;0) в аффинной системе координат
. Каковы координаты точки М в системе координат
?
Дано изображение аффинной системы координат
. Постройте точки Р(0;-2;0), Q(0;-3;-1), N(-1;2;-4).
М – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС. Найдите координаты точки В в системе координат
, не достраивая треугольникАМС до параллелограмма.
Докажите, пользуясь определением координат точки, что если соответственные (одноименные) координаты двух точек равны, то эти точки совпадают.
§11. Основные аффинные и метрические задачи
Задача называется метрической, если в ней фигурируют метрические свойства фигур, т.е. свойства, которые можно выявить непосредственным измерением (длина отрезка, расстояние между точками, расстояние от точки до прямой или плоскости, величина угла, перпендикулярность, площадь, объем). В аффинных задачах метрические свойства не рассматриваются. Аффинные задачи решаются в аффинной системе координат, а, следовательно, и в прямоугольной декартовой. Метрические задачи удобно решать в прямоугольной системе координат.
Основные аффинные и метрические задачи, решаемые с помощью координат, сформулируем в виде теорем.
Основные аффинные задачи
Координаты вектора, заданного двумя точками.
Теорема 1.
Если в аффинной системе координат
и
,
то
.
Представим
вектор
в виде разности векторов
и
:
.
Так
как
,
то по определению координат точки
.
Аналогично
.
Применяя свойство координат векторов
(координаты разности двух векторов
равны разности их соответствующих
координат), получаем, что вектор
имеет координаты
.
Деление отрезка в данном отношении.
Говорят, что
точка М делит направленный отрезок
в отношении
,
если выполняется векторное равенство:
.
(1)
Число
при этом называется простым
отношением трех точек М1,
М2
и М. Простое
отношение трех точек М1,
М2
и М
обозначается так:
.
Почему в определении
деления отрезка в данном отношении
?
Пусть М1М2
и точка М
делит направленный отрезок
в отношении =-1.
Тогда по определению деления отрезка
в данном отношении
,
т.е.
.
А так как начало у векторов
и
общее и они равны, тоМ1=М2.
Получили противоречие с условием,
следовательно,
.
Из векторного
равенства (1) следует, что если
,
то
,
т.е. точкаМ
совпадает с точкой М1;
если >0,
то точка М
лежит внутри отрезка
(рис. 37), т.е.
;
если<0,
то точка М
лежит на прямой
вне отрезка
(рис. 38), т.е.
или
.
Теорема 2.
Пусть в аффинной системе координат
,
.
Тогда координаты точки
,
делящей направленный отрезок
в отношении
,
находятся по формулам:
;
;
.
(2)
По определению
деления отрезка в данном отношении
.
По
теореме 1
,
.
Тогда
.
Так как два вектора равны тогда и только
тогда, когда равны их соответствующие
координаты, то
;
;
,
откуда получаем:
;
;
.
Формулы (2) называются формулами деления отрезка в данном отношении в координатах.
Из теоремы 2 получаем
Следствие.
Если М(х;у;z)
– середина отрезка М1М2
с концами
и
,
то
,
,
.
Так как М
– середина М1М2,
то
=1.
Применяя формулы деления отрезка в
данном отношении в координатах, получаем:
,
,
.