![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •Свойства умножения вектора на число
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Применение векторного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 10
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Основная метрическая задача
Теорема 3(расстояние
между двумя точками в координатах).
Если в прямоугольной декартовой системе
координат
,
,
то расстояниеАВ
между точками А
и В
находится по формуле:
.
Учитывая,
что
,
и используя формулы для нахождения
длины вектора в координатах, получаем:
.
Формулы, доказанные в теоремах 1 и 2, можно использовать и в аффинной, и в прямоугольной декартовой системе координат, а формулу из теоремы 3 – только в прямоугольной декартовой системе координат.
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите координаты
точки А,
если В(3;0;-2),
.
2. С – середина отрезка АВ. Найдите координаты точки В, если А(1;0;-4), С(3;1;0).
3. Точки Р и Q лежат внутри отрезка АВ, причем АР=РQ=QВ. Найдите (ВQ,А).
4. На плоскости
дан отрезок [АВ].
Постройте точку С,
делящую направленный отрезок
в отношении
;
.
5. Известны координаты вершин треугольника АВС: А(4;3), В(0;5),С(-2;2). Пользуясь теоремой, обратной теореме Пифагора, выясните, будет ли этот треугольник прямоугольным.
6. Можно ли вывести формулы для нахождения расстояния между двумя точками, координаты которых даны в аффинной системе координат?
Лекция 8 Формулы преобразования координат
§12. Преобразование аффинной системы координат
Возьмем на плоскости
две аффинные системы координат
и
.
Первую назовемстарой,
вторую - новой.
Пусть М
– произвольная точка плоскости, которая
в старой системе
имеет координатых,у,
а в новой системе
- координаты
(рис. 40).
Задача
преобразования координат
состоит в следующем: зная координаты
нового начала и новых координатных
векторов в старой системе:
,
,
,(3)
выразить координаты
х,у
точки М
в старой системе координат, через
координаты
этой точки в новой системе.
Из формул (3) следует, что
;
;
.
(4)
(по правилу
треугольника).
Так как
,
,
то по определению координат точки
,
,
т.е.
;
.
Тогда, используя формулы (4), получим:
,
т.е.
,
откуда находим:
-
(5)
;
. Так выражаются
координаты х,у
произвольной точки М
в старой системе
через ее координаты
в новой системе
.
Формулы (5) называются формулами преобразования аффинной системы координат.
Коэффициенты
,
при
- координаты нового
вектора
в старой системе
;
коэффициенты
,
при
- координаты нового вектора
в старой системе, свободные члены
,
- координаты нового начала
в старой системе:
Координаты точки М
в новой системе
Таблица
называется матрицей перехода от базиса
,
к базису
,
.
Частные случаи преобразования аффинной системы координат
1. Перенос начала.
При этом
преобразовании
,
,
а
(рис. 41).
Найдем координаты
векторов
и
в старой системе, т.е.
,
,
и
:
,
;
,
.
Тогда формулы (5) примут вид:
|
(6)
Формулы (6) называются формулами переноса начала.
Замена координатных векторов.
При этом преобразовании системы координат имеют общее начало и отличаются координатными векторами (рис. 42).
Так как
,
то
,
.
Тогда формулы (5) примут вид:
|
(7)
Формулы (7) называются формулами замены координатных векторов.