![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •Свойства умножения вектора на число
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Применение векторного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 10
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя параллельными прямыми
и
.
Вычислите расстояние от точки
до прямой
.
Найдите тангенс направленного угла между прямой
и прямой
.
Выведите условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями в «отрезках».
Плоскости и прямые в пространстве
Лекция 11
Плоскость в аффинной системе координат
§20. Различные уравнения плоскости
в аффинной системе координат
Плоскость
в пространстве можно задать точкой и
двумя неколлинеарными векторами,
параллельными ей (или принадлежащими
ей) или тремя точками, не лежащими на
одной прямой. В первом случае этот факт
будем обозначать так:
;
во втором –
.
Пусть в пространстве
дана аффинная система координат
.
1. Уравнение плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными векторами.
Пусть
,
||
(рис. 66),
в системе
.
тогда и только
тогда, когда векторы
и
компланарны,т.е. их смешанное
произведение
.
Переходя к координатам, получим уравнение:
.
(20)
Итак,
если
,
то ее координаты удовлетворяют уравнению
(20). Если
,
то векторы
и
некомпланарны, следовательно, координаты
точки
не удовлетворяют уравнению (20). Таким
образом, уравнение (20) есть уравнение
плоскости
.
Оно называется
уравнением
плоскости, заданной точкой
и двумя неколлинеарными векторами
и
.
2. Параметрическое уравнение плоскости.
Пусть
,
.
тогда и только
тогда, когда векторы
и
компланарны. По теореме о компланарных
векторах
.
Переходя к координатам, получаем:
или
(21)
Система уравнений (21) называется параметрическим уравнением плоскости.
Действительные числа u и v называются параметрами.
Геометрический
смысл
параметров u
и v:
для любой точки
существует единственная пара параметров
,
удовлетворяющих уравнениям (21), и обратно,
и
.
3. Уравнение плоскости, заданной тремя точками.
Пусть
не лежат на одной прямой,
,
,
.
Так
как точки
,
и
не лежат на одной прямой, то
||
(рис. 67). Следовательно, плоскость
можно задать точкой
и двумя неколлинеарными векторами
и
:
.
Применяя уравнение (20), получаем:
.
(22)
Уравнение (22)
называется уравнением
плоскости, заданной тремя точками
.
4. Уравнение плоскости «в отрезках».
Пусть
,
,
(рис. 68), где
.
Используя уравнение (22), получим:
;
т.е.
.
Раскроем определитель, стоящий в левой части, и преобразуем это выражение:
;
;
разделим обе части этого уравнения на
:
,
откуда получаем уравнение:
.
(23)
Уравнение (23) называется уравнением плоскости «в отрезках».
Геометрический
смысл а,
в и
с: а
– это абсцисса точки пересечения
плоскости
с осью
,в
– ордината точки пересечения
с осью
,с
аппликата точки пересечения
с осью
аффинной системы координат.
Задания для самостоятельной работы
Найдите уравнения координатных плоскостей
аффинной системы координат
.
Могут ли числа а, в и с в уравнении плоскости «в отрезках» быть равными нулю одновременно? Почему? Может ли только одно (или два) равняться 0? Почему?
Какое из следующих уравнений является уравнением плоскости «в отрезках», а какое – не является и почему? Как привести его к виду «в отрезках»?
а)
|
в)
|
б)
|
г)
|
Можно ли пользоваться уравнениями плоскости (20)-(23) в прямоугольной декартовой системе координат и почему?