- •Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •Свойства умножения вектора на число
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Применение векторного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 10
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
Можно ли в аффинной системе координат пользоваться уравнением (27) и почему?
Выведите уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной каждой из плоскостейи, уравнения которых даны в прямоугольной системе координат.
Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через точки иперпендикулярно к плоскости, может быть представлено в следующем виде:
.
Пользуясь уравнением (27), найдите уравнения координатных плоскостей ипрямоугольной декартовой системы координат .
Найдите объем куба, одна грань которого принадлежит координатной плоскости , а другая – плоскости .
Вычислите косинусы углов, которые образует с координатными плоскостями прямоугольной декартовой системы координат плоскость .
Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
Положение прямой в пространстве определяется полностью, если даны:
а) две ее точки;
б) точка и направляющий вектор;
в) две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.
Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат .
1. Каноническое уравнение прямой.
Пусть прямаязадана в пространстве точкойи направляющим вектором(рис. 74).
.
Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в пространстве в координатах (см. § 5). При этом возможны различные случаи:
а) и. Тогда получаем следующее уравнение прямой:
. (28)
б) .
(29)
в) (запишите уравнение прямойсамостоятельно).
г) (запишите уравнение прямойсамостоятельно).
д) . Получаем следующее уравнение прямой:
(30)
е) (запишите уравнение прямойсамостоятельно).
ж) (запишите уравнение прямойсамостоятельно).
Уравнения (28)-(30) (а также уравнения, записанные вами в пунктах в), г), е) и ж)) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
2. Уравнение прямой, заданной двумя точками.
Пусть . Тогда прямуюможно задать точкойи направляющим вектором. Поэтому применяем каноническое уравнение прямой:
. (31)
Уравнение (31) называется уравнением прямой в пространстве, заданной двумя точками.
Если одна или две координаты вектора окажутся нулевыми, то применяем частные случаи канонического уравнения прямой, т.е. уравнения вида (29) или (30).
3. Параметрическое уравнение прямой.
В случае, когда прямая задана так же, как в пункте 1 (точкойи направляющим вектором), можно получить параметрическое уравнение прямой.(по теореме о коллинеарных векторах). Переходя к координатам, получаем:
откуда
(32)
Система уравнений (32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.
Действительное число в системе (32) называется параметром и имеет такой же смысл, как и параметрв параметрическом уравнении прямой на плоскости (см. § 15).
4.Уравнение прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.
Пусть в(рис. 75).
Точка тогда и только тогда, когда ее координатыявляются решением системы уравнений плоскостейи.
Система уравнений
(33)
называется уравнением прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.
Лемма 1. Вектор
(34)
является направляющим вектором прямой .
□ Воспользуемся дважды леммой о параллельности вектора и плоскости.
1) Докажем, что .
. Тогда по лемме о параллельности вектора и плоскости .
2) Докажите самостоятельно, что .
Из пунктов 1) и 2) следует, что , т.е.. ■
Итак, из леммы 1 следует, что если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей,, то координаты ее направляющего векторанаходятся по формуле (34).
Замечание. Как и в случае прямой на плоскости, переменные в уравнениях (28)-(33) называютсятекущими координатами точек прямой в пространстве.