![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •Свойства умножения вектора на число
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Применение векторного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 10
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
А10.
Циклическая перестановка сомножителей
не меняет смешанного произведения, т.е.
V.
Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е.
,
V.
Для доказательства
достаточно применить доказательство
свойства Г20
к и к
.
Параллелепипед будет тот же, только за
основание будет принята другая грань
(в первом случае – построенная на
векторах
и
,
во втором – на векторах
и
).
Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А10 векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку:
.
А20.
V
.
Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:
;
;
.
Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
А30.
;
;
.
Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
Замечание.
Смешанное произведение
.
,
т.к.
.
Теорема 1(смешанное
произведение в координатах).
Если
,
,
в базисе
,
,
,
то
.
.
Применение смешанного произведения
трех векторов
Смешанное произведение векторов применяется:
1. Для выяснения компланарности трех векторов:
векторы
,
,
компланарны тогда и только тогда, когда
.
2. Для вычисления
объема параллелепипеда:
(рис. 28).
3. Для вычисления объема треугольной призмы:
(рис. 29).
4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):
(рис. 30).
Задания для самостоятельной работы
1. Вычислите
,
если
.
2. Докажите, что
если
||
,
то
.
3. Выясните, какой
является тройка векторов
,
,
(левой или правой).
4. Докажите, что
векторы
,
,
,
удовлетворяющие условию
,компланарны.
5. Найдите объем
треугольной призмы АВСА1В1С1,
если
,
,
.
6. Найдите объем
тетраэдра ABCD,
если
,
,
.
Метод координат
на плоскости и в пространстве
Лекция 7
Аффинная и прямоугольная декартова
системы координат
§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой
систем координат
Четверка,
состоящая из точкиО
и базиса
,
,
в пространстве, называетсяаффинной
системой координат в пространстве
и обозначается
или
(рис. 31).
Точка О
называется началом
координат,
векторы
,
,
-координатными
векторами:
- первый
координатный вектор,
- второй,
- третий.
Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисными векторами и которые проходят через точку О, называются координатными осями:
- ось
абсцисс;
- ось
ординат;
- ось
аппликат
(рис. 32).
Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, Оz.
Плоскости,
определяемые осями Ох
и Оу,
Оу
и Оz,
Ох
и Оz,
называются координатными
плоскостями
и обозначаются Оху,
Оуz,
Oxz,
а систему координат
иногда обозначаютOxyz.
Пусть
- аффинная система координат,М
– произвольная точка пространства.
Вектор
называетсярадиус-вектором
точки М относительно точки О
(рис. 33).
Понятие координат точки вводится на основе понятия координат вектора.
Координатами
точки М в системе координат
называются координаты ее радиус-вектора
в базисе
,
,
.
Обозначение
или простоМ(х;у;z):
х – абсцисса
точки М, у
– ордината,
z
– аппликата.
Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у;z) действительных чисел.
Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть М(х;у;z).
1) Если z=0,
то М(х;у;0)
.
Верно и обратное:
z=0.
2) Докажите
самостоятельно, что если у=0,
то
,
и наоборот, если
,
тоу=0.
3) Докажите
самостоятельно, что если х=0,
то
,
и наоборот, если
,
то х=0.
4) Если z=0
и у=0,
то
и
.
Верно и обратное:
z=0
и у=0.
Докажите самостоятельно, что:
5) Если х=0
и у=0,
то
и наоборот, если
,
тох=0
и у=0.
6) Если х=0
и z=0,
то
и наоборот, если
,
тох=0
и z=0.
7) Так как
,
то из пунктов 1) – 3) следует, чтоО(0;0;0)
в системе координат
.
Чтобы построить
точку М(х;у;z)
по ее координатам в системе координат
,
надо сначала построить точку М1(х;0;0),
затем точку М2(х;у;0),
а затем точку М(х;у;z).
Процесс построения этих точек показан
на рис. 34. Ломаная ОМ1М2М
называется координатной
ломаной точки М.
Система
координат называетсяпрямоугольной
декартовой,
если ее базис является ортонормированным.
Обозначение прямоугольной декартовой
системы координат:
или
,
где
,
,
и
.
Прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной.
Замечание.
На плоскости аффинная система координат
состоит из точки О
(начала координат) и двух базисных
векторов
и
(координатных векторов) (рис. 35). Поэтому
в системе координат на плоскости любая
точка имеет две координаты
.
Прямоугольная декартова система
координат на плоскости изображена на
рис. 36.