![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •Свойства умножения вектора на число
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Применение векторного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 10
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
1.
Выясните, каким является базис
,
,
:
правым или левым (рис. 18)?
2. Каким является
базис
,
,
:
правым или левым (рис. 19)? А базис
,
,
?
3. Начертите на плоскости два различных правых базиса; два различных левых базиса.
§8. Векторное произведение двух векторов
Пусть
,
,
- ортонормированный базис трехмерного
векторного пространстваV
(правый). Векторным произведением
двух неколлинеарных векторов
и
называется вектор, обозначаемый
(или
)
и удовлетворяющий трем условиям:
длина
;
и
;
базис
,
,
ориентирован так же, как базис
,
,
.
Векторным
произведением двух коллинеарных векторов
называется нулевой вектор.
На рис. 20 изображены
векторные произведения
и
.
Геометрические свойства
векторного умножения векторов
Г10.
||
.
Пусть
,
тогда
или
||
;
или
||
||
;
или
или
||
.
Пусть
||
.
Тогда по определению векторного
произведения
.
Г20.
Длина
векторного произведения векторов
и
равна площади параллелограмма,
построенного на этих векторах.
По определению
.
С другой стороны,
(рис. 21).
Следовательно,
.
Алгебраические свойства
векторного умножения векторов
А10.
.
А20.
.
А30.
.
Замечание. Пользуясь определениями ортонормированного базиса и векторного произведения двух векторов, можно доказать, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Попробуйте доказать самостоятельно!
Теорема 1 (векторное
произведение в координатах).
Если
,
в базисе
,
,
,
то
.
По
определению координат вектора в базисе
,
,
,
.
Тогда
.
Используя свойства А10-А30
векторного умножения и замечание,
получим:
(получите
это равенство, проделав все выкладки
самостоятельно).
Применение векторного произведения
Векторное произведение двух векторов применяется:
1. Для выяснения
коллинеарности двух векторов:
||
.
2.
Для вычисления площади параллелограмма:
(рис. 22).
3. Для вычисления
площади треугольника:
.
Задания для самостоятельной работы
1. Изобразите на
чертеже векторы
;
(рис. 24).
2. Примените
алгебраические свойства векторного
умножения для упрощения выражения
.
3. Пользуясь
определением векторного произведения,
докажите, что векторы
и
ортогональны.
4. Вычислите:
.
5. Вычислите площадь
,
если
,
.
Лекция 6
Нелинейные операции над векторами
§9. Смешанное произведение трех векторов
Смешанным или скалярно-векторным произведением трех векторов, взятых в указанном порядке, называется скалярное произведение первого вектора на векторное произведение второго и третьего.
Обозначение:
.
Таким образом, по определению
.
Смешанное произведение – это число!
Геометрические свойства
смешанного умножения векторов
Г10.
,
,
компланарны.
Пусть
.
Тогда
.
По
определению векторного произведения
и
.
Следовательно,
векторы
,
,
параллельны плоскости, перпендикулярной
вектору
(рис. 25),т.е. векторы
,
,
компланарны.
Обратно, пусть
векторы
,
и
компланарны. Тогда существует плоскость
,
которой они параллельны.
,
,
а так как
||
,
то
,
т.е.
.
Г20
(геометрический
смысл модуля смешанного произведения).
Если векторы
,
,
некомпланарны, то абсолютная величина
их смешанного произведения равна объемуV
параллелепипеда с ребрами
,
,
,
отложенными от одной точки;
,
если тройка
,
,
- правая,
,
если тройка
,
,
- левая.
Пусть
векторы
,
,
отложены от точки О (рис. 26).
.
Пусть
.
Построим на векторах
,
,
параллелепипед. За основание этого
параллелепипеда примем параллелограмм
со сторонами
и
(рис. 27).
Пусть n
– луч, перпендикулярный основанию
параллелепипеда и лежащий в том же
полупространстве, что и вектор
.
Пустьh
– высота параллелепипеда.
а) Если тройка
,
,
ориентирована так же, как базис
,
,
,
то
(рис. 26, а)
< 900
cos
>0
.
Итак,
.
б) Если тройка
,
,
ориентирована противоположно базису
,
,
,
то
(рис. 26, б)
> 900
.
Итак,
.
Из
пунктов а) и б) следует, что
.