Задания для самостоятельной работы

1. Определите (приближенно), чему равна величина направленного угла (рис. 48, а, б).

2. Может ли величина направленного угла между векторами быть равна ??? Почему?

3. Найдите формулы преобразования прямоугольной системы координат, если координатные векторы повернуты на угол , а начало координат перенесено в точку.

4. Как по формулам преобразования координат узнать, какая система координат подвергается преобразованию: аффинная или прямоугольная?

5. Сделайте чертежи старой и новой систем координат для частных случаев преобразования прямоугольной декартовой системы координат.

§14. Полярные координаты

Если указано правило, по которому положение точек плоскости можно определить с помощью упорядоченных пар действительных чисел, то говорят, что на плоскости задана система координат. Кроме аффинной системы координат, которая была рассмотрена в §10, в математике часто применяют полярную систему координат на плоскости.

Система полярных координат вводится на ориентированной плоскости.

Пара, состоящая из точки О и единичного вектора , называетсяполярной системой координат и обозначается или. Направленная прямаяназываетсяполярной осью, точка О - полюсом (рис. 49).

П

О

устьМ – произвольная точка плоскости. Расстояние от точкиО до точки М называется полярным радиусом точки М.

.

Таким образом, . ЕслиМ совпадает с О, то . Для любой точкиМ ее полярный радиус

Направленный уголназываетсяполярным углом точки М (рис. 50).

.

Если М совпадает с полюсом О, то  - неопределенный. Из определения направленного угла между векторами (см. §13) следует, что полярный угол

Полярный радиус и полярный угол  называются полярными координатами точки М.

На рис. 51 построены точки ,,по их полярным координатам.

Выведем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым и обратно.

Пусть - полярная система координат на ориентированной плоскости,,в. Присоединим к полярной системеединичный вектор, ортогональный векторутак, чтобы базис,был правым (рис. 52).

, .

Пусть М(х;у) в . Тогда;(рис. 52).

Получили формулы перехода от полярных координат к прямоугольным:

Возведем обе части этих равенств в квадрат и сложим:

, откуда (корень берется со знаком «+», т.к.).  ;.

, , .

Получили формулы перехода от прямоугольных декартовых координат к полярным:

Замечание. При решении задач на переход от прямоугольных декартовых координат к полярным недостаточно найти только или только, т.к. по одной тригонометрической функции определить полярный угол однозначно невозможно: в промежуткесуществуют два угла с одинаковыми косинусами (два угла с одинаковыми синусами) (рис. 53). Поэтому правильно найти полярный угол вы сможете, только если одновременно вычислите и.

Задания для самостоятельной работы

1. Может ли полярный угол быть равным ???? Почему?

2. Постройте точки ,,.

3. Найдите прямоугольные декартовы координаты точки .

4. Известны прямоугольные декартовы координаты точки . Не выполняя построения точкиQ, найдите ее полярные координаты.

5. Выведите формулу расстояния между двумя точками и, заданными полярными координатами.

Прямая линия на плоскости

Лекция 9

Прямая в аффинной системе координат

§15. Различные уравнения прямой

Говорят, что уравнение естьуравнение линии , если выполняются два условия:

1. если точка принадлежит линии, то ее координаты удовлетворяют уравнению;

2. если координаты точки удовлетворяют уравнению, то.

Заметим, что условие 2) можно заменить на эквивалентное ему условие 2^*):

2^*) если , то ее координаты не удовлетворяют уравнению.

Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в , гдемногочленот переменныхи, т.е. сумма членов вида ,.

Число называетсястепенью члена , где .

Наивысшая степень членов многочлена называется степенью этого многочлена. Например, степень многочлена равна 7.

Порядком алгебраической линии, заданной уравнением , называется степень многочлена.

Из школьного курса известно, что прямая линия является линией первого порядка, а окружность, гипербола и парабола – линиями второго порядка.

Рассмотрим на плоскости прямую линию. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой будем обозначать через. Прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов. Любые два из них коллинеарны (рис. 54).

Прямая на плоскости однозначно задается точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Выведем несколько уравнений прямой на плоскости в аффинной системе координат .

1. Каноническое уравнение прямой.

Пусть прямая задана точкойи направляющим вектором(рис. 55). Этот факт будем обозначать так:.

Если точка принадлежит прямой , то. Находим координаты вектора. Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в координатах (см. § 5, свойство координат векторов 5⁰):

, если ;

, если ;

, если .

Если, то ||. Следовательно,

, если ;

, если ;

, если .

И

так, доказано, что точкапринадлежит прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

(если ); (10)

(если ); (11)

(если ). (12)

Каждое из уравнений (10), (11) и (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.

В уравнениях (10)-(12)  координаты фиксированной точки прямой; координаты направляющего вектора прямой ; текущие координаты произвольной точки прямой .

2. Параметрическое уравнение прямой.

Пусть прямая задана точкойи направляющим вектором.

(рис. 54) (по теореме о коллинеарных векторах).

З

аписывая это условие в координатном виде, получаем:

или (13)

Система уравнений (13) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости. Действительное число называетсяпараметром. Геометрический смысл параметра состоит в следующем: для любой точкисуществует единственный параметр , удовлетворяющий уравнениям (13), и обратно,и.

3. Уравнение прямой, заданной двумя точками.

Пусть (рис. 56). Тогда в качестве направляющего вектора прямойможно взять вектор, т.е.

.

Т

аким образом, прямаязадана точкойи направляющим вектором. Применяем каноническое уравнение прямой (10) (см. пункт 1):

(14)

Уравнение (14) называется уравнением прямой, заданной на плоскости двумя точками и .

Заметим, что если или, то применяем частные случаи (11) или (12) канонического уравнения прямой.

4. Уравнение прямой в «отрезках».

Пусть прямаяпересекает осьаффинной системы координатв точке, ось в точке , где(рис. 57).

Применяя уравнение прямой, заданной двумя точками А и В, получим:

;

; ,

откуда получаем уравнение:

(15)

Уравнение (15) называется уравнением прямой «в отрезках».

Геометрический смысл а и в в уравнении прямой «в отрезках»: а – это абсцисса точки пересечения прямой с осью,в – ордината точки пересечения прямой с осьюаффинной системы координат.

5. Уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.

Пусть прямая, не параллельная оси (рис. 58), направляющий вектор прямой . Так как||, а, то||. Следовательно,||. Поэтому(см. условие коллинеарности векторов в координатах).

Число называетсяугловым коэффициентом прямой .

Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора этой прямой (попробуйте доказать это самостоятельно).

Замечание. Если прямая задана в прямоугольной системе координат, тоимеет простойгеометрический смысл: , где угол наклона прямой к оси, т.е. направленный угол(рис. 59).

Пусть прямая задана точкойи угловым коэффициентом. Запишем каноническое уравнение прямой:

и преобразуем его: ;; учитывая, что, получим:

(16)

Уравнение (16) называется уравнением прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.

6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть  угловой коэффициент прямой . Применяя уравнение (16), получим:, т.е.

. (17)

Уравнение (17) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

В уравнении (17) в – это ордината точки пересечения прямой с осью.