4.1.1. Задание к -1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её движения

Дано: точка В движется в плоскости XOY. Закон движения точки задан уравнениями: x=f₁(t), y=f₂(t) (табл. К -1), где x и y выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Указания: задача К1 относится к кинематике точки; скорость и ускорение точки в декартовых координатах определяются по формулам координатного способа задания движения точки, а касательное и нормальное ускорения точки - по формулам естественного способа задания её движения.

По предпоследней цифре шифра зачетной книжки выбирается уравнение, задающее изменении координаты X(t), а по последней – Y(t).

В задаче все искомые величины следует определить для момента времени t₁=1с.

Таблица К-1

№№ п/п	x=f1(t)	y=f2(t)
		Для строк 0-2	Для строк 3-6	Для строк 7-9
0	6cos(πt/6) – 3	12sin(πt/6)	2t2+ 2	4cos(πt/6)
1	4cos(πt/6)	-6cos(πt/3)	8sin(πt/4)	6cos2(πt/6)
2	2 – 3cos(πt/6)	-3sin2(πt/6)	(2+t)2	4cos(πt/3)
3	t-4	9sin(πt/6)	2t3	10cos(πt/6)
4	4-2t	3cos(πt/3)	2cos(πt/4)	-4cos2(πt/6)
5	2-t	10sin(πt/6)	2 - 3t2	12cos(πt/3)
6	2t	6sin2(πt/6)	2sin(πt/4)	-3cos(πt/6)
7	8sin(πt/6) – 2	-2sin(πt/6)	(t+1)3	-8cos(πt/3)
8	12sin(πt/6)	9cos(πt/3)	2 - t3	9cos(πt/6)
9	4 – 6sin(πt/6)	-8sin(πt/6)	4cos(πt/4)	-6cos(πt/3)

4.1.2. Пример решения к-1

Дано: уравнения движения точки в плоскости XOY:

x=12sin(πt/6), y=4cos(πt/6), где x, y – в сантиметрах, t – в секундах.

Определить: уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1с найти скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение:

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из данных уравнений движения параметр t:

–уравнение траектории точки – эллипс с полуосями 12 см и 4 см (рис. К -1).

2. Определим положение точки на траектории в момент времени t₁=1с :

x₁=12sin(πt/6)=6(см), y₁= 4cos(πt/6)= 3,48 (см).

3. Скорость точки находим по её проекциям на координатные оси:

, при t₁=1с

4. Аналогично найдём ускорение точки при t₁=1с :

, при t₁=1с

5. Находим касательное ускорение точки, зная численные значения всех величин, входящих в правую часть выражения:

при t₁=1с

6. Нормальное ускорение точки определяем по формуле , подставляя известные численные значения. При t₁=1с получим

7. Определяем радиус кривизны траектории: ρ=v²/aⁿ при t₁=1с ρ₁=24,93 (см).

Ответ: v₁=5,56 (cм/c); a₁=1,89 (cм/c²); a_1τ=1,43 (cм/c²); a_1n=1,24 (cм/c²); ρ₁=24,93 (см).