Для определения элементов схемы замещения линии Предварительно находим:
при отсутствии потерь [r~ g = 0) волновое сопротив ление
/Т = У зЖ1о^=273
икоэффициент распространения/х 0_00,293
Ч = У х Ь = ; Y 0 , 2 9 3 - 3 , 9 3 - 1 0 ' “ = 1 ,0 7 • 1 0 ' * 1{ к м ;
эти же величины с учетом г, выраженные в оператор ной форме и в относительных единицах, можно предста вить следующим образом:
w(p) |
+ 2х Р ) — 2\Ь\ Ч " 2-0,293 р) ~ |
= 1,26(1+0,036р)
и
Y(Р) ~ Т ( р + - 4 ) = 1.07 (р + 0,036) • 10-М //ш .
Для схемы замещения |
линии в |
операторной форме |
имеем: |
|
|
z(p) — w {р) th [Y (p) (If2)] = |
1,26(1 + |
0,036/?) tli [1,07 (p + |
+ 0,036) 10-3 (//2)]; |
у (P) ” |
sh IT(P) |
= |
=T f W sl,l1'07^ + 0-036)10')/l'
Включаемое напряжение в операторной форме и от носительных единицах выражается так:
V(P)
где а —фаза включения.
Нетрудно видеть, что результирующее операторное со противление zz (р) схемы рис. 18-2 представляется сложным
трансцендентным выражением. Следовательно, первые существенные трудности, которые возникают на пути строгого решения, состоят в нахождении корней характе-
рйстического уравнений:
2, {р) = 0.
Для цепи с г, L, С корни характеристического урав нения определяют частоты и коэффициенты затухания (или обратные им величины — постоянные времени) сво бодных токов и напряжений.
Рис. 18-3. Графическое решение уравнения (18-1).
После ряда преобразований и исключения членов вто рого и более высоких порядков малости мнимая часть характеристического уравнения, которая определяет соб ственную частоту Юл, может быть представлена в виде
U)n |
ао>п = т tgkmn, |
(18-1) |
|
|
а действительная часть, определяющая коэффициент зату
хания, |
в виде |
|
|
|
v„ = |
l1 + jF(t0"> sin 2fe(on)], |
(18-2) |
где a, |
m, k — коэффициенты, определяемые только пара |
метрами схемы.
Левая часть выражения (18-1) представляет собой уравнение гиперболы, а правая — уравнение тангенсои ды; их аргументами является искомая свободная часто та. Решения (18-1) проще всего найти графическим по строением соответствующих кривых (рис. 18-3); точки пе-
ресечения определяют неизвестные корни. Как видно, чи сло собственных частот неограниченно велико. При этом важно заметить, что при смещении гиперболы вверх или вниз, что имеет место соответственно при увеличении и уменьшении степени продольной компенсации линии, су щественно меняется только первая низшая собственная частота он, в то время как высшие собственные часто ты иг, шз... изменяются незначительно.
Зная корни (18-1), можно по формуле включения (или формуле разложения) перейти от изображения к оригиналу, т. е. получить временную зависимость для собственно аварийной составляющей тока в рассматри ваемой схеме. Эта зависимость, очевидно, выражается суммой принужденного незатухающего синусоидального тока и затухающих гармонических свободных токов раз ных собственных частот; так, для фазы а
ia (0 = /cos(/-)-a)-f 2/„<? Vn< cos (ш„/+ ап). (18-3)
При этом
tg ап=©п tga.
Напомним, что в данном случае при принятом допу щении (н = 0) принужденный ток равен начальному пе реходному току или, иными словами, начальному значе нию периодической слагающей тока синхронной частоты.
Начальные амплитуды свободных токов, разумеется, зависят от фазы включения со. При этом оказывается, что амплитуда свободного тока низшей частоты (o)i<l) имеет наибольшую величину при со=0 (или а = я), т. е. когда напряжение предшествующего режима в точке К в момент короткого замыкания проходит через нулевое значение. Амплитуды всех свободных токов высших ча стот (сога>1) достигают своих наибольших значений, напротив, при а= ± я /2 . Отношение наибольшей и наи меньшей возможных амплитуд свободного тока низшей частоты составляет:
|
11маКе______ |
(18-4) |
|
1 1МИН |
® 1 * |
|
то же токов высших частот |
|
|
|
- ; маКс |
=■ », |
(18-5) |
|
* ПМИН |
|
|
где |
п= 2, 3 .. |
|
в долях юо- |
а>ь |
ч>п— собственные частоты, выраженные |
Амплитуды свободных токов высших частот по знаку совпадают с амплитудой периодической слагающей то ка синхронной частоты, в то время как амплитуда сво бодного тока низшей частоты противоположна им по зна ку. При отсутствии продольной компенсации свободный ток низшей частоты вырождается в обычную апериоди ческую слагающую тока.
Чтобы получить полный ток в любой ветви, доста точно, как известно, к найденной для нее собственно аварийной составляющей тока прибавить ее ток пред шествующего режима.
Теперь обратимся к табл. 18-1, где приведены резуль таты расчета схемы рис. 18-2 для указанных выше ва риантов. Расчет проведен для первых трех свободных токов, при этом во всех случаях принималась фаза включения а=0.
На основе этих результатов можно установить ряд положений и зависимостей, а также сделать некоторые существенно важные выводы.
Как видно, для каждой длины линии увеличение сте пени продольной компенсации приводит к значительному увеличению низшей частоты. В противоположность этому на высшие частоты продольная компенсация почти сов сем не влияет. Зато эти частоты сильно зависят от дли ны линии, уменьшаясь приблизительно обратно про порционально ее относительному увеличению, в то время как низшая частота при одной и той же степени компенсации сравнительно мало зависит от длины линии.
Указанный характер изменения частот свободных то ков можно объяснить, исходя из физических соображе ний. В самом деле, емкость для продольной компенса ции выбирается исходя из условий промышленной ча стоты. Для токов высших частот она представляет зна чительно меньшую реактивность, чем естественно рас пределенная индуктивность линии, а также индуктив ность остальных элементов цепи. Для токов низших ча стот имеет место обратная картина.
Рассмотрим теперь коэффициенты затухания. При введении продольной компенсации апериодический ток переходит в свободный гармонический ток низшей ча стоты и коэффициент затухания падает примерно в 2 ра за; далее он остается без изменения при любой степени компенсации.
Для объяснения этого обратимся к рис. 18-4. Здесь показаны часть кривой апериодического тока и часть кривой гармонического тока, затухающего с той же по стоянной времени. В соответствии с определением дей ствующего значения затухающего тока (§ 3-3) в произ вольный момент t имеем: для апериодического тока
Рис 18 4 К определению действую
щего значения апериодического и за тухающего гармонического токов
iat = /ai = /mt И ДЛЯ ГЭрмОНИЧеСКОГО тока I t = I m t l V 2(что соответствует синусоидальной кривой, проведенной пунк тиром).
При любой частоте средние за один период (в середине которого находится данный момент времени) потери мощ ности в сопротивлении г будут: при апериодическом токе
I2atr = I2mtr и при гармоническом токе / / = (/mt/j/2~ )2г = = (Г /)/2, т е. в 2 раза меньше, чем при апериодичес ком токе.
С увеличением частоты свободного тока коэффициент затухания возрастает и мало меняется с изменением как длины линии, так и степени ее продольной компенсации В пределе этот коэффициент стремится к значению, определяемому только активным сопротивлением и ин-
дуктивностью линии [соответственно в (18-2) отпадает второе слагаемое].
Обращаясь к сопоставлению начальных амплитуд свободных токов, замечаем, что амплитуда свободного тока низшей частоты значительно превышает амплитуды свободных токов высших частот, причем чем выше ча стота тока, тем меньше ее амплитуда. С увеличением длины линии амплитуды высших частот также увеличи ваются и очень незначительно падают с ростом степени компенсации.
Напомним, что приведенные в табл. 18-1 токи соот ветствуют условию образования наибольшей амплитуды свободного тока низшей частоты и наименьшим ампли тудам свободных токов высших частот. В соответствии с соотношениями (18-4) и (18-5) легко установить ве личины амплитуд этих токов при фазе включения а=
= ±-тг.Так, например, при /=400 км и степени компен
сации 50% искомые амплитуды будут:
Л = 0,55-1,52 = 0,84; /2=5,26-0,114=0,6
и / 3=11,78-0,024 = 0,28.
На рис. 18-5 показаны кривые изменения аварийных составляющих токов при /= 400 км и степени компенса
ции 50% для двух |
значений фазы |
включения: а = я |
и |
а = я/2. Как видно, |
кривая фазного |
тока при а= я/2 |
су |
щественно искажена резко возросшими свободными тока ми высших частот. Однако ее максимальное мгновенное значение (или ударный ток) меньше, чем при а= я . При этом следует обратить внимание на то обстоятельство, что максимальное мгновенное значение тока наступает при мерно через один период синхронной частоты, т. е. че рез интервал, который почти в 2 раза больше, чем при наличии только свободного апериодического тока.
Для однократных несимметричных коротких замыка ний аналогичный расчет можно выполнять, используя соответствующую комплексную схему в операторной форме, как это указывалось в § 14-7. Дополнительные затруднения здесь возникают лишь с учетом изменения параметров нулевой последовательности линии, посколь ку активное сопротивление и индуктивность нулевой по-
следовательности линии зависят от частоты тока1, при чем особенно сильно это проявляется в составтяющсн активного сопротивления, обусловленной потерями актив ной мощности в земле.
Помимо изложенного способа применения к данному расчету операторного метода имеются другие предло жения.
18-3. Упрощенное решение
Сделанные выше обобщения и выводы позволяют принять ряд существенных упрощений, если от проводи мого расчета не требуется большой точности и нужна оценка интересующих величин лишь в первом прибли жении.
Прежде всего, имея в виду относительную малость свободных токов высших частот, можно ограничиться учетом только одного свободного тока низшей частоты, причем последнюю можно определить из схемы, в кото рой отброшены поперечная емкость линии и компенси рующие реакторы, а также исключены все активные со противления. При таких условиях относительная величи на свободной низшей частоты определяется как
где Хс — реактивность установки продольной компенса ции,
x'z— суммарное индуктивное сопротивление схемы
до места короткого замыкания, генератор вве ден реактивностью х'а (см. также § 18-4).
Начальная амплитуда этого тока для наиболее тя желых условий может быть принята равной и противо положной по знаку начальной амплитуде аварийной со ставляющей синхронной частоты.
Коэффициент затухания (или постоянная времени, которая является обратной величиной этого коэффици ента) свободного тока низшей частоты
т е , как отмечалось ранее, он в 2 раза меньше, чем для апериодической слагающей
1 С м |
в ы р аж ен и я (12 12), (12 16) и (12-21) |
31— 2498 |
4 6 9 |
Следует оговориться, что при решении вопросов ре лейной защиты и автоматики часто требуется знать так же свободные токи нескольких высших частот. Очевид но, принятые здесь допущения в этом случае неприем лемы.
Что касается определения периодической слагающей тока синхронной частоты, то Н. Н. Щедрин [Л. 12] впер вые обосновал и показал, что при отсутствии условий самовозбуждения эта слагающая тока подчиняется тем же закономерностям, что и в чисто индуктивной цепи с соответственно уменьшенной (за счет введенной в цепь емкости) внешней индуктивностью. Другими словами, установку продольной компенсации можно учитывать, вводя в схему соответствующую отрицательную реактив ность. Так, согласно (9-18) постоянная времени зату хания свободного переходного тока синхронной частоты для машины без демпферных обмоток будет:
Т *= ТЬ Т = Тх с- ' |
(18-8) |
т. е. включение емкости ускоряет протекание переход ного процесса.
18-4. Влияние несимметрии ротора
До сих пор в данной главе предполагалось, что ротор синхронного генератора в обеих осях симметричен и при переходном процессе генератор без демпферных обмо ток характеризуется своей реактивностью х'ф Отсутст вие такой симметрии вносит некоторые дополнительные особенности в протекание переходного процесса, на ко торых следует остановиться.
Как было показано ранее (в гл. 9), при несимметрич ном роторе анализ переходного процесса целесообразно вести, разлагая ток, напряжение и другие величины на продольные и поперечные составляющие. Для генерато ра, внешняя цепь которого состоит из последовательно соединенных элементов с г, L и С, можно составить в операторной форме уравнения электромагнитного рав новесия в продольной и поперечной осях ротора подоб но тому, как это сделано в § 9-2 (см. уравнения (9-5) и (9-6)]. Их характеристическое уравнение имеет уже пя-
