книги / Эконометрика. Начальный курс
.pdfУпражнения |
261 |
10.5.Пусть Ьп(в) — функция правдоподобия. Докажите, что
10.6.Пусть yi,..., у„ — независимые, одинаково распределенные слу чайные величины, равномерно распределенные на интервале (0, 20). По кажите, что:
а) оценка максимального правдоподобия есть в = maxyi/2;
б) 0 является смещенной, но асимптотически несмещенной;
в) У(в) асимптотически равна 02/(4п2).
10.7. (Продолжение упражнения 10.6) Рассмотрим альтернативную
оценку: |
___ |
|
О= (min yi + 2maxyj)/5. |
а) Покажите, что V(0) асимптотически равна 02/(5п2).
б) Покажите, что 0 более эффективна, чем 0.
в) Противоречит ли это асимптотической эффективности оценки максимального правдоподобия?
10.8. Дана линейная модель у = Х(3 + и, и ~ N(0,a2I u). Покажите, что
LM = TI(ESSR —ESSUR)/ESSR, LR = nln(ESSR/ESSpR),
W = n(ESSR - ESSUR)/ESSUR.
Покажите, что выполняются неравенства LM ^ LR ^ W.
10.9. Представим стандартную линейную модель в следующем виде:
1/1 |
Xi' |
0 + |
«1 |
Уъ |
= х 2 |
«2 |
|
.Уз. |
Х3 |
|
£з |
где Ух>£% — п< х 1 векторы, X i — щ х к матрицы, /3 — к х 1 вектор, векторы Si имеют нормальное распределение N (0,<т2/ ni) и независи мы. Вектор Уз представляет собой пропущенные наблюдения зависимой переменной, а матрица Х г — пропущенные наблюдения независимых переменных.
262 |
Гл. 10 Метод максимального правдоподобия в моделях регрессии |
Вычислите следующие оценки вектора 0 и сравните их свойства:
а) МНК-оценка только по полным наблюдениям y ltX \\
б) МНК-оценка при замене матрицы Х 2 на нулевую и исключении наблюдений у 3,Ху,
в) МНК-оценка по всей модели при замене у3,Х 2 на соответственно нулевой вектор и нулевую матрицу;
г) оценка максимального правдоподобия, предполагая у 3, Х 2 неиз вестными параметрами наряду с 0.
10.10. Известно, что в модели множественной регрессии у = Х 0 + е имеется гетероскедастичность, причем
V(et) = <7?, |
* = 1,...,пь |
V(et) = о\, |
t = ni + 1,...,П | + п2 (n = n i+ n 2), |
E(etea) = 0, |
t ф s. |
В предположении нормальности вектора ошибок постройте тест отно шения правдоподобия (LR-test) для проверки гипотезы Но: — о\.
10.11. Дана линейна?! модель у = Х 0 + е, где у — n х 1 вектор, 0 — к х 1 вектор, е — п х 1 вектор, X —п х к матрица, е ~ N(0,0 ) и
oVn, |
0 |
0 |
0 |
<^J„a . |
0 |
|
|
щ + т Н------К пг = п |
0 |
0 |
.. o2h |
(групповая гетероскедастичность). Как выглядит LR-тест (тест отно шения правдоподобия) для проверки гипотезы Но'- = о\ = • • • = а2"*. Указание. Рекомендуется получить ответ в терминах ML-оценок дис персий а2.
10.12. Пусть р —вероятность выпадения орла при бросании монеты. Из
п= 100 испытаний х = 42 раза выпал орел и 58 — решка. Тестируйте на 5%-ном уровне значимости гипотезу Но : р = 0.5:
а) при помощи теста Вальда (W);
б) при помощи теста множителей Лагранжа (LM); в) при помощи теста отношения правдоподобия (LR).
Упражнения |
263 |
10.13. Имеется 80 наблюдений пуассоновской случайной величины X. Их среднее значение равно х = 1.7. Тестируйте на 5%-иом уровне зна чимости гипотезу Но : А = 2.0:
а) при помощи теста Вальда (W);
б) при помощи теста множителей Лагранжа (LM);
в) при помощи теста отношения правдоподобия (LR).
Глава 11
Временные ряды
Во многих экономических задачах встречаются датированные (взятые в предыдущий момент времени) переменные. Например, Yt — выпуск предприятия в год t, может зависеть не только от инвестиций It в этот год, но и от инвестиций в предыдущие годы:
V t = а + Polt + Pih-i 4 ---------- |
1- fikh-k- |
Такие модели встречаются всякий раз, когда эндогенная пере менная с запаздыванием реагирует на изменения экзогенной пере менной. При этом в модели могут использоваться лагированные значения экзогенной или эндогенной переменной или одновремен но и те, и другие. Для статистического моделирования полезно различать два случая. Обе модели
Vt = Pi + foxt + /?3Zt-i + |
(11.1) |
Vt = 01 + thxt + 031/t-j + |
(11-2) |
включают в себя лагированные значения переменных, но суще ственно различаются с точки зрения статистического оценивания параметров. Действительно, в (11.1) регрессоры некоррелированы с ошибками (мы здесь предполагаем, что экзогенная переменная xt детерминированная). Поэтому (11.1) можно оценивать с помо щью МНК. В модели (11.2) j/t-i включает в себя £t-i> поэтому
264
Гл. 11. Временные ряды |
265 |
вектор ошибок е и матрица регрессоров X коррелированы. В этом случае оценки МНК, вообще говоря, не являются несмещенными (п.5.1).
Уравнение (11.1) является примером модели распределенных лагов (distributed lags), DL(1). В скобках указан порядок модели — максимальный лаг. Уравнение (11.2) является авторегрессионной моделью распределенных лагов, ADL(1,0). В скобках указаны мак симальные лаги эндогенной и экзогенной переменных.
Рассмотрим отклик зависимой переменной у на единичное приращение экзогенной переменной х. Отклик за один период (short run) равен 02 в обеих моделях. Суммарное влияние (long run) равно 02 + 0з в модели (11.1) и 02 + 0203 + 020з 4-----в мо дели (11.2). В самом деле, если yt- \ изменяется на 02 единиц, то yt изменится на 020з единиц, и т. д. Если выполнено неравенство \0з\ < 1, то ряд сходится к /Зг/(1 - 0з)- Условие \0з\ < 1 является условием устойчивости и встречается в том или ином виде во всех моделях с авторегрессионными членами.
Оператор сдвига
Для аналитических вычислений с моделями, включающими лаговые переменные, удобно использовать оператор сдвига (lag opera tor) Lxt = xt-i- Так, например, модель ADL(p,g)
Vt ~ c n y t - i---------- |
ОрУе-р |
|
=■5 + 0oxt + 0lXt- l + • ■■+ 0qxt- q + £t', |
t = l , . . . , n , (11.3) |
|
обобщающая модели (11.1) и (11.2), может быть записана в более компактном виде:
A(L)yt = S + B(L)xt + e t; |
t = l , . . . , n , |
(П-4) |
где A(L) и B(L) — полиномы от оператора сдвига:
A(L) = 1 - а \Ь -------- |
a pL»\ |
B(L) = 0о + 0\L 4- • • • + 0ЧЬч.
266 Гл. 11. Временные ряды
1 1 .1 . М од ел и р а сп р ед ел ен н ы х л а го в
Уравнение (11.4) в случае отсутствия авторегрессионных членов принимает вид
Vt = &+ A>xt + Pixt- 1 Ч------ Ь 0 q X t - q + еи t = l , . . . , n , (11.5)
и называется моделью распределенных лагов. Как и раньше, сум марное влияние равно 0 = 0o+0i -I-----1-/?,. Вклад отдельного лага s равен ws = 0s/0, 5Zfc=oWk = Функция целого аргумента w3 называется распределением лагов. Для того чтобы измерить ско рость реакции у на изменение х, можно ввести понятие среднего лага, равного kto*. Малые значения среднего лага соответ ствуют быстрой реакции у на изменения х, и, наоборот, большим значениям среднего лага соответствует замедленная реакция.
Оценивание
В случае, когда х детерминированы, а ошибки et ~ iid(0,o2) независимые, одинаково распределенные с нулевым средним и дисперсией сг2 (independent identically distributed), модель (11.5) удовлетворяет услониям классической модели линейной регрессии (п. 3.1), однако на практике при ее оценивании могут встретиться трудности. Во-первых, может оказаться, что количество коэффи циентов q + 2 слишком велико, если по смыслу задачи ожидается влияние с большим запаздыванием. Во-вторых, в том случае, ес ли ряд xf имеет некоторую структуру, например, автокорреляцию или сезонность, матрица Х 'Х может оказаться близкой к выро жденной, и мы оказываемся в ситуации мультиколлинеарности (см. п. 4.1).
Для преодоления этих трудностей обычно предполагается та или иная форма «гладкости» распределения лагов ws. Это при водит к уменьшению числа оцениваемых параметров. Рассмот рим две популярные модели такого рода: полиномиальных лагов (метод Алмон (Almon)) и геометрических лагов (модель Койка (Коуск)).
11.1. Модели распределенных лагов |
267 |
Модель полиномиальных лагов
В этой модели зависимость /3» от г аппроксимируется полиномом некоторой степени г:
0i = 70 + 71* + ••• + 7r*r , |
г ^ q. |
(11.6) |
Таким образом, после подстановки (11.6) в (11.5) получаем мо дель, содержащую только г + 2 неизвестных параметров и имею щую вид:
yt = & + ЮШ + • • • + 7r® rt + £t, |
t = l , . . . , n , |
(11.7) |
где переменные х<),. .. , хг являются линейными комбинациями пе ременных Х ( ,... , xt- q.
Как определить порядок г полинома (11.6)? Для проверки адекватности модели (11.7) можно применить обычный F-тест (см. (3.44))
_ (ESSR - ESSUR)/(9 - г)
ESSUR/(n — q — 2)
(Здесь (11.5) — регрессия без ограничений, а (11.7) — регрессия с ограничениями.) В том случае, если значение F «достаточно мало» (меньше критического значения F -статистики), модель по линомиальных лагов адекватна данным. Как обычно, при прочих равных условиях, надо выбирать модель с наименьшим количе ством параметров.
Модель геометрических лагов
В этой модели предполагается, что влияние переменной х не за канчивается через время q, а продолжается бесконечно, убывая на один и тот же процент с каждым шагом по времени. Такая модель представляется достаточно правдоподобной в примере с выпуском и инвестициями в оборудование, приведенным в начале главы. Модель имеет вид:
yt =<S + /3xt + /3Axt_! 4-/3A2xt_2 + • • • +£t, |
t = l , . . . , n . (11.8) |
268 |
Гл. 11. Временные ряды |
Параметр Л (0 < А < 1) связал обратной зависимостью со ско ростью реакции; А = 0 означает мгновенную полную реакцию у на изменение х. Суммарное влияние равно £]^_0/?Afe = Р/0 - ~ Л). Распределение лагов имеет вид wa = (1 - А)А*.
Модель (11.8) содержит только три параметра {8,(3, А), одна ко ее оценивание затруднено тем, что она является нелинейной. Можно предложить эвристическую процедуру оценивания этой модели, подобную процедуре Хилдреда-JIy (п. 6.2). Перебираем с некоторым шагом значения А из интервала (0,1) и для каждого находим МНК-оценку уравнения (11.8). Затем выбирается значе ние А, соответствующее наименьшей сумме квадратов остатков.
Другой способ оценивания состоит в следующем: из уравнения (11.8) вычитается то же самое уравнение, сдвинутое по времени на один шаг назад, и умноженное на А:
t/t - Ayt-i = 5(1 - А) + (Зх^ + щ, |
t = 1 , ... ,п |
или
yt = 5(1 - А) + Ayt-i + (3xt + щ, |
t = 1 ,..., n. |
(11.9) |
Здесь щ = et - Aet_i. Уравнение (11.9) линейно по комбинаци ям параметров, через которые эти параметры можно выразить. Однако (119) содержит лагированную эндогенную переменную и ошибки, не удовлетворяющие условиям классической модели линейной регрессии. Поэтому можно показать, что МНК-оценки коэффициентов уравнения являются несостоятельными. Для по лучения состоятельных оценок можно применить метод инстру ментальных переменных (п.8.1), взяв, например, ®t-i в качестве инструмента для yt- i >или воспользоваться методом максималь ного правдоподобия (глава 10).
11 .2 . Д и н а м и ч еск и е м одел и
Рассмотрим особенности динамических моделей (содержащих да тированные эндогенные переменные в правой части) на простей
11 2. Динамические модели |
|
269 |
шем примере (11-2): |
|
|
J/t = Pi + P2%t + PzVt-x + £t> |
t = l , . . . , n . |
|
Запишем это уравнение в обозначениях (11.4): |
|
|
A(L)yt = Pi + B{L) i t + £t, |
t = l , . . . , n , |
(11.10) |
где A(L) = 1 - |
PzL и B(L) = 02Начнем с простейшего случая: |
|||
B(L) = Pi = 0 |
(опустим индекс у /Зз): |
|
|
|
J/t = P y t—i |
+ £t» |
fit ~ ud(0,<72), |
t = l , . . . , n . |
(11-11) |
Такой процесс называется авторегрессионным процессом первого порядка, AR(1). В главе 6 (п.6.2) мы рассматривали подобную модель для ошибок регрессии. Как и ранее, мы предполагаем, что |/?| < 1, тогда
Уг = £ ,Р % -„ E(yt) = 0 ; |
V(yt) = <г2/(1 —Р2)- |
(П-12) |
|
МНК-оценка параметра р равна: |
|
|
|
P = Y , |
+ |
i ) e‘- |
(И-!3) |
Поскольку t/t—1 /Л У з- I |
и £t зависимы при всех t < п, то оцен |
||
ка (11.13) является, вообще говоря, смещенной. Однако можно показать, что если |0| < 1 и существуют необходимые моменты распределения е, то оценка Р (11.13) является состоятельной и асимптотически нормальной:
y f r { p - p ) - L N ( 0 , l - p 2). |
(11.14) |
Итак, предыдущие аргументы показывают, что уравнение с авторегрессионными членами может быть оценено при помощи МНК. Существенными тут являются два условия. 1) Устойчи вость. Для уравнения (11.11) это означает' |0| < 1, лучше, ес ли значения параметров будут отстоять на некоторое расстояние от границы критической области. 2) Отсутствует автокорреляция ошибок et.
270 |
Гл. 11. Временные ряды |
Авторегрессионная модель при наличии автокорреляции ошибок
Усложним модель (11.11), добавив в нее автокорреляцию ошибок:
т = |
Pyt-i + Щ, |
t = 1,...,п, |
щ = |
рщ~\ 4- ги |
(11.15) |
et ~ iid{0,о2). |
Теперь мы имеем другую ситуацию: yt- i и щ коррелированы, так как обе эти случайные величины зависят от Щ-\. При выполнении условий устойчивости \Р\ < 1, |р| < 1 можно вычислить предел по вероятности МНК-оценки (11.13) параметра /3:
(11.16)
Таким образом, МНК-оценка коэффициентов регрессии оказыва ется несостоятельной в моделях с авторегрессионными членами и автокорреляцией ошибок. Можно показать, что оценка р, полу ченная из остатков МНК, также не является состоятельной:
(11.17)
Заметим, что именно для модели (11.15) не существует состоя тельного метода оценивания. В самом деле, вычитая умноженное на р датированное уравнение из исходного, получаем:
yt = (Р + p ) y t - i - Ppyt- 2 + fit, |
f = l , . . . , n , |
(11.18) |
т. e. параметры P и p неразличимы ((/?,p) = (0.1,0.2) и (P,p) = (0.2,0.1) порождают то же уравнение (11.15)) и уравнение неидентифицируемо.
Оценивание. Метод инструментальных переменных
Так же как и в главе 8 (п. 8.1), в случае корреляции регрессоров с ошибкой можно применить метод инструментальных переменных