книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

где аа, ba, с — индикаторы типа граничных условий, принимающие значения 0 или 1 (например, при Ьа = 0 из (2.10.173) получаем «силовые» граничные условия (2.10.48), а при ba = 1 — последнюю группу условий (2.10.45)); ао, Ьо, CQ — размерные константы.

По аналогии с вариационной постановкой трехмерной задачи МДТТ (см. п. 2.4.2), назовем набор величин Ua, 7ск, W кинематически допустимыми обобщенными перемещениями оболочки, если они удовлетворяют «кинема­ тическим» граничным условиям в системе (2.10.173):

на L: aa(Ua - К ) = 0, Ьа (7а - 7еа = 0, c(W - We) = 0. (2.10.174)

Если какие-либо из параметров аа, Ьа, с равны нулю, то соответствующее граничное условие в (2.10.174) отсутствует.

Действительными обобщенными перемещениями оболочки назовем та­ кой набор функций U 7ск, W, который удовлетворяет всей замкнутой систе­ ме уравнений теории оболочек Тимошенко (см. п. 2.10.8) и всем граничным условиям (2.10.74) на контуре L.

Введем лагранжиан для оболочки Тимошенко по аналогии с (2.4.10):

П= ( У^ Taaeaa+ 'y^j Маанаа+ 2Т\2в\2+ 2М\2К\2 + У ^ ^ аеа^ A iA ^dX 1d X 2,

O L = \ а=\ а=\

2 2

Ле — ( Е ( 1 “ a O T L U a + Е С - М К с Л а + (1 ~ c ) Q e W ) d s ,

Тогда имеет место вариационный принцип Лагранжа для оболочек Тимо­ шенко: среди всех кинематически допустимых обобщенных перемещений оболочки Uа, 7ск, W действительные обобщенные перемещения отличаются тем, что для них и только для них лагранжиан оболочки имеет стационарное значение: dL(Ua,~fa,W ) = 0, которое можно записать в виде следующего

вариационного уравнения Лагранжа в теории оболочек:

2.10.16. Вариационный принцип Хеллингера — Рейсснера для оболочек

Как и в трехмерной теории упругости (см. и. 2.4.3), для оболочек можно сформулировать и другие вариационные принципы, а не только принцип Лагранжа. Приведем вывод принципа Хеллингера — Рейсснера, который является весьма эффективным для конечно-элементного решения задач в теории оболочек Тимошенко.

Запишем кинематические соотношения (2.10.26) и (2.10.27) оболочки с использованием матричной формы (2.10.177) обобщенных деформаций и пе­ ремещений в следующем виде:

где [L] — матрица дифференциальных операторов в криволинейной ортого-

8x5

—коэффициенты, зависящие от геометрии оболочки.

Определяющие соотношения для оболочек (2.10.43) также запишем в виде

обобщенных соотношений между координатными столбцами {Т} и {е}:

Размерности матриц и координатных столбцов в дальнейшем указывать не будем.

Подставим (2.10.181) в (2.10.179) и добавим к нему нулевое слагаемое (второй интеграл):

Далее полагаем, что {ад} и {е} — независимые системы функций, т. е. соотношение (2.10.181) не выполняется, а имеются отдельные системы {е} и [£]{«}. Тогда (2.10.185) является новым самостоятельным уравнением.

Заменив в (2.10.185) столбец {Т} согласно (2.10.183), получим

Тогда вариационный принцип Хеллингера — Рейсснера для оболочек имеет вид

Поскольку <5{г^} и 5{е} — независимые вариации, то из (2.10.188) получа­ ем систему двух вариационных уравнений:

7J{e}T[G\ [L\ 5{и}(П: - 5Ае = 0,

J 1 Д е } ’ И ( И { » } - { « } ) <iS = 0.

<So

Это и есть окончательные уравнения, для численного решения которых обыч­ но применяют метод конечных элементов.

§ 2 . 1 1 . Д и н а м и ч е с к и е з а д а ч и л и н е й н о й т е о р и и у п р у г о с т и

2.11.1. Классификация динамических задач линейной теории упругости

Рассмотрим динамические задачи линейной теории упругости для изо­ термических процессов (2.6.60) или для адиабатических процессов (2.6.86),

В силу линейности задачи (2.11.1), возможны комбинации различных классов решений. Какие из волн будут реализовываться в конкретной дина­ мической задаче (2.11.1) — зависит от внешних данных задачи: начальных функций UQ, VO, граничных функций t ne, ue, плотности массовых сил f.

Динамические задачи линейной теории упругости рассматривают также и для областей, содержащих бесконечную точку, и для всего безграничного пространства 8 %. В последнем случае вместо (2.11.1) имеем

В этой постановке вместо граничных условий рассматривают условия жест­ кого закрепления в бесконечности. Обычно при этом полагают выполненны­ ми условия согласования начальных и граничных условий:

2.11.2. Волны слабого разрыва

Рассмотрим волны слабого разрыва в безграничном пространстве 8 $. Со­ гласно определению, данному в п. 2.11.1, для такого решения задачи (2.11.2) существует подвижная поверхность S(t), являющаяся поверхностью слабого разрыва, уравнение которой, согласно теории, изложенной в т. 2, § 4.2, можно записать либо в аналитической форме:

о

где D — нормальная скорость движения поверхности S(t).

Введем кроме исходного декартова базиса ё^ и декартовых координат хг

Включим теперь время t в число неизвестных и рассмотрим преобразова­ ние координат к новым координатам Х°,Х>:

Рассмотрим скачок [fi\. Поскольку на поверхности S(t) слабого разрыва по определению функции щ и их производные непрерывны, то

Из первых двух соотношений (2.11.10) следует, что и все производные по координатам Х °,Х г непрерывны на поверхности S(t)\

Кроме того, на S непрерывны и вторые производные йк\$т и йцпт. Действительно, если записать соотношения (2.11.22) в координатах Х ° , Х г (уравнение поверхности S(t) в этих координатах имеет вид Х ° = 0), то после дифференцирования их по Х г получаем

Учитывая (2.11.21)—(2.11.22а), из (2.11.10), (2.11.12) и (2.11.14) находим

и используется для определения единственных отличных от нуля вторых производных компонент вектора перемещений [u|oo]-

А. Изотропные среды

Для изотропных сред тензор 4С имеет вид (2.6.28). Подставляя это выражение в (2.11.18), с учетом того, что п • Е = п, п • n = 1 и

п • А • п = ^щ (6гк6^1+ 5г15^к)щек ® еj = ^(n ® n + Е),

получаем

det ((pD2 —А2)Е —(Ai + A2)n 8 n ) = det ((pD2 —А2)5^ —(Ai + А2)пгп^) =

= (pD2 - (А! + 2А2 ))(°рЬ2 - А2)2 = 0. (2.11.25)

О

Отсюда находим возможные значения D: