книги / Системы экстремального управления

В частном случае одномерного объекта (п = 1) эти усло­ вия превращаются в известное правило:

§ 12.2. Задачи оптимизации при наличии ограничений

Ограничения, налагаемые на оптимизируемые пара­ метры xt, ., хп могут иметь вид равенств и неравенств. В первом случае ограничения представляются в виде

гДе ëi (•) — заданные функции. Будем называть такого рода ограничения ограничениями первого рода.

Ограничения второго рода представляют собой нера­ венства вида

М * ) > 0 (1 = 1, р). (12.2.2)

[Рассмотрим, как решать задачу оптимизации для каж­ дого из этих ограничений.

А. Ограничения первого рода. Ограничения (12.2.1) накладывают к дополнительных связей на свободу выбора переменных и, по сути дела, снижают размерность опти­ мизируемой функции качества. Действительно, разрешим уравнения (12.2.1) относительно первых к переменных

Однако практическое осуществление такой операции по­ нижения порядка связано с серьезными аналитическими трудностями получения выражений (12.2.3). И лишь в простейших случаях удается совершить такую подста­ новку.

Проиллюстрируем применение метода подстановки на простом примере. Нужно минимизировать функцию

Из равенства получаем (12.2.3)

х2 = Х1 + !•

Подставляя это выражение в минимизируемую функцию, получаем функцию меньшей размерности

Q (xj) = 3x1 + 4xt -f 2.

Минимизируя ее стандартным приемом, находим положе-

Заметим, что указанный прием понижения порядка при решении экстремальных задач с ограничениями пер­ вого рода, применим лишь при наличии аналитических выражений функции качества и ограничений. Поэтому для практических целей следует найти более удобный алгоритм.

Такой алгоритм можно построить, если решать одно­ временно две задачи оптимизации:

а решение первой определит положение экстремума при выполнении ограничений.

Блок-схема реализации такого способа решения пока­ зана на рис. 12.2.1. Здесь параллельно работают два опти­ мизатора АО. Первый поддерживает G(X) = 0, а второй

например так: X = Хх + Х2. Очевидно, что для эффектив­ ной работы такого алгоритма необходимо, чтобы контур минимизации Q1(X) работал более интенсивно, чем кон­ тур минимизации Q (X). Без этого условия второй контур будет нарушать работу первого и условие G (X) = 0 не будет выполняться.

Б. Ограничения второго рода. Учет ограничений вто­ рого рода (12.2.2) алгоритмически не столь прост. Дело в том, что решение

задачи

Q(X)—>min; x<=s

S : H ( X ) ^ 0 (12.2.6)

может лежать как на границе ограничений, так и вне их. Для ре­ шения задачи (12.2.6) следует рассмотреть все случаи, когда решение может находиться на границе к<^п ограни­ чений (12.2.2). Если бы знать номера этих огра­ ничений, то задача (12.2.6)

рассмотренной задаче с ограничениями первого рода. Однако этой информации, как правило, нет и ее приходится искать. Алгоритм решения поставленной задачи можно представить в виде последовательности следующих операций.

1. .& = 0. Решить задачу Ç(X)—unin.

Если полученное решение X* удовлетворяет ограниче­

2. к Ф- 1. Решить задачу с ограничениями первого рода

Q(X)—» min; ^ : Ы Х ) = 0. xeSj

Если ее решение X* и H (X*) О, то это и есть решение исходной задачи (12.2.6). В противном случае следует перейти к следующему ограничению i —>■i + 1 и так для

подва, каждый раз проверяя для каждого полученного ре­

для всех возможных сочетаний из р ограничений по к. Если эта задача не имеет удовлетворительного решения для к = п — 1, то следует проверить совместимость огра­

Следует отметить, что рассмотренный выше алгоритм решения экстремальных задач с ограничениями типа не­ равенств практически реализуем лишь для малого числа

ограничений и при аналитической форме функции ка­ чества и ограничений. Это обстоятельство сужает его применение и заставляет обращаться к другому, более эффективному методу.

§ 12.3. Метод штрафных функций

Суть этого метода заключается в построении новой функции качества, экстремум которой соответствует ре­ шению задачи оптимизации при выполнении наложенных ограничений.

Рассмотрим сначала ограничения первого рода. В этом случае новую функцию качества можно представить, например, в виде суммы исходной функции и так называ­ емой «функции штрафа»:

к

увеличения исходной функции качества на величину,

пропорциональную нарушению g? (X ) с весами При выполнении всех ограничений, т. е. при gt (X) — 0, штраф равен нулю и

Пусть X* — решение исходной задачи, а Х \ — реше­ ние задачи минимизации функции со штрафом Jа (X).

Как легко заметить, функция со штрафом (12.3.1) имеет A-мерный овраг, дно которого имеет уравнение

На дне этого оврага J (X) ж Q (X). Однако при конеч­

ных значениях а* оптимум Х \ не совпадает с оптимумом X*. Покажем это на рассмотренном в § 12.2 примере (*). Минимизируемая функция в этом случае принимает вид

штрафом, прежде всего, приводит к минимизации штрафа, т. е. к выполнению ограничений, а затем к минимизации ис­ ходной функции качества. Обозначим положение минимума

функции (12.3.6) через Хд. В общем случае при конечных значениях bj эта точка может не совпадать с искомой X*, т. е.

Очевидно, что при возрастании коэффициентов bt эти точки сближаются и в пределе

£- *о о

т.е. решение задачи со штрафом в точности совпадает с решением исходной задачи оптимизации при В -> оо.

этой точки окружность с малым радиусом Ô и определим, как ведет себя показатель качества оштрафованной функ­ ции (12.3.9) на этой окружности. Каждую точку окружно­ сти будем определять углом наклона ф ее радиуса к оси Xj. Тогда координаты этой окружности принимают вид

з

Жю = — -Tj- + ÔCOS ф,

#20 = + àSin ф.

Подставляя эти выражения в (12.3.9) и пренебрегая

членами с Ô2, получим поведение разности

А < О, то Х в =jt=X*. Исследуем все возможности.

На рис. 12.3.3 показано поведение А/ô для различных значений 6. Как видно, А !> Опри 6 > 2/3, и в этом слу­

чае Х в = X*, т. е. экстремумы совпадают. При 6 2/3 получаем Х в ф X*, т. е. экстремумы не совпадают.

Следовательно, применяя метод штрафных функций при ограничениях типа неравенств, следует иметь в виду,

где веса А и В достаточно велики. В общем случае поло-

жение экстремума этой функции Х а в не совпадает с иско­ мым экстремумом X*, но в пределе при А, В оо они совмещаются:

может быть достаточно хорошей оценкой положения эк­ стремума X* исходной функции Q (X):

X* ~ Хав. (12.3.12)

Это обстоятельство и яв­ ляется исходным для при­ менения метода штрафных функций при решении за­ дач оптимизации много­ параметрических объектов с ограничениями различ­ ного вида.

На рис. 12.3.4 показа­ на блок-схема применения метода штрафных функ­ ций. Здесь блок управле­ ния Б У образует векторы А и В программным или адаптивным образом (в по­ следнем случае необходи­ мо реализовать пунктир-

ные связи). Автоматический оптимизатор АО, миними­ зируя J, решает поставленную задачу.

Программный алгоритм образования векторов штрафа А и В предполагает их увеличение (точнее, увеличение штрафов ai и bj) с определенной интенсивностью, которая зависит от специфики задачи оптимизации. Но во всяком случае программы А (<) и В (t) могут быть представлены в виде

причем начальные штрафы А0> 0 и В0^>0.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОИСКОВЫХ МЕТОДОВ

ОПТИМИЗАЦИИ

Предполагая, что функция качества Q = Q (X) из­ вестна, можно при определенных ограничениях, как по­ казано в предыдущей главе (см. (12.1.2)), решение задачи ее минимизации свести к решению системы из п очевидных уравнений:

Рассмотрим математические методы решения этой системы на примерах моделей, рассмотренных в § 11.4.

Обратимся сначала к квадратичной модели (11.4.20), для которой система (13.0.1) линейна.

§ 13.1. Метод итераций

Пусть решаемая система линейных уравнений имеет вид

~fa^ ~ Л 11Х 1 4 “ а 12ж 2 Ч " • • • Ч " а 1пх п — &1 = 0 ,

Разрешим первое уравнение относительно хх, второе — относительно х2 и т. д. (диагональные члены здесь пред­ полагаются не равными нулю, т. е. ati Ф 0):