Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги / Системы экстремального управления

..pdf
Скачиваний:
33
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
33.28 Mб
Скачать

В частном случае одномерного объекта (п = 1) эти усло­ вия превращаются в известное правило:

если

 

[> 0,

то

это

минимум;

если

ô2Q

то

это

максимум.

 

<[ 0,

§ 12.2. Задачи оптимизации при наличии ограничений

Ограничения, налагаемые на оптимизируемые пара­ метры xt, ., хп могут иметь вид равенств и неравенств. В первом случае ограничения представляются в виде

**(*) = 0 (1 = 1,

* < » ) ,

(12.2.1)

гДе ëi (•) — заданные функции. Будем называть такого рода ограничения ограничениями первого рода.

Ограничения второго рода представляют собой нера­ венства вида

М * ) > 0 (1 = 1, р). (12.2.2)

[Рассмотрим, как решать задачу оптимизации для каж­ дого из этих ограничений.

А. Ограничения первого рода. Ограничения (12.2.1) накладывают к дополнительных связей на свободу выбора переменных и, по сути дела, снижают размерность опти­ мизируемой функции качества. Действительно, разрешим уравнения (12.2.1) относительно первых к переменных

X1 =

fl fof+l>

*£|с+2>

хп)I

(12.2.3)

X%=

/2 {Xi(+J,

 

xn)t

 

• •

 

 

 

xh ~ fh Ofy+l,

xk+2>

xn)

 

и подставим эти выражения в

функцию

качества Q —

= Q (X). В результате получим функцию п к перемен­

ных

 

 

хп).

(12.2.4)

Q = F (хн+1, хк+ч ,

Однако практическое осуществление такой операции по­ нижения порядка связано с серьезными аналитическими трудностями получения выражений (12.2.3). И лишь в простейших случаях удается совершить такую подста­ новку.

Проиллюстрируем применение метода подстановки на простом примере. Нужно минимизировать функцию

с ограничениями

первого рода

 

 

Q (а?!,

хг) = х\ + 2x1

mm

 

S : g (xv

х2) = хг — х2 +

ап, X, е S

(*)

1 = 0.

 

Из равенства получаем (12.2.3)

х2 = Х1 + !•

Подставляя это выражение в минимизируемую функцию, получаем функцию меньшей размерности

Q (xj) = 3x1 + 4xt -f 2.

Минимизируя ее стандартным приемом, находим положе-

*

2

*

х2

1

ние экстремума: хг = — g- ;

 

= -g-.

Заметим, что указанный прием понижения порядка при решении экстремальных задач с ограничениями пер­ вого рода, применим лишь при наличии аналитических выражений функции качества и ограничений. Поэтому для практических целей следует найти более удобный алгоритм.

Такой алгоритм можно построить, если решать одно­ временно две задачи оптимизации:

 

Q(X) —» min,

 

х

 

(12.2.5)

Ç1(X) = |G(X)|“^ m m (= 0 ),

k

X

 

где | G (X) |2 = 2

S* (^)* Тогда решение второй задачи из

г=1

к выполнению ограничений (12.2.1),

(12.2.5) приведет

а решение первой определит положение экстремума при выполнении ограничений.

Блок-схема реализации такого способа решения пока­ зана на рис. 12.2.1. Здесь параллельно работают два опти­ мизатора АО. Первый поддерживает G(X) = 0, а второй

минимизирует

Q (X). Их выходы воздействуют на блок

F, который

образует вход объекта X — F (Хг, Х9),

Рис. 12.2.1. Блок-схема решения эк­ стремальной задачи с ограничения­ ми типа равенств.

например так: X = Хх + Х2. Очевидно, что для эффектив­ ной работы такого алгоритма необходимо, чтобы контур минимизации Q1(X) работал более интенсивно, чем кон­ тур минимизации Q (X). Без этого условия второй контур будет нарушать работу первого и условие G (X) = 0 не будет выполняться.

Б. Ограничения второго рода. Учет ограничений вто­ рого рода (12.2.2) алгоритмически не столь прост. Дело в том, что решение

задачи

Q(X)—>min; x<=s

S : H ( X ) ^ 0 (12.2.6)

может лежать как на границе ограничений, так и вне их. Для ре­ шения задачи (12.2.6) следует рассмотреть все случаи, когда решение может находиться на границе к<^п ограни­ чений (12.2.2). Если бы знать номера этих огра­ ничений, то задача (12.2.6)

рассмотренной задаче с ограничениями первого рода. Однако этой информации, как правило, нет и ее приходится искать. Алгоритм решения поставленной задачи можно представить в виде последовательности следующих операций.

1. .& = 0. Решить задачу Ç(X)—unin.

Если полученное решение X* удовлетворяет ограниче­

ниям, т.

е. H (X*) >

0,

то этим задача (12.2.6) реше­

на.

Если

же хотя

бы

одно ограничение нарушается,

то

см. п.

2.

 

 

2. к Ф- 1. Решить задачу с ограничениями первого рода

Q(X)—» min; ^ : Ы Х ) = 0. xeSj

Если ее решение X* и H (X*) О, то это и есть решение исходной задачи (12.2.6). В противном случае следует перейти к следующему ограничению i —>■i + 1 и так для

всех i — 1,

., р. Если среди этих задач не найдется ни

одной,

решение

которой

удовлетворяет H (X*) >

0, то

см. п.

3.

 

Решить

задачу с

ограничениями

первого

3.

к 2.

рода

Q(X) -> min;

: h4 (X) = 0, hk (X) = О

 

 

 

для

всех

возможных

сочетаний

из р ограничений

подва, каждый раз проверяя для каждого полученного ре­

шения

X* удовлетворение условий H (X*) >

0.

Если

такого

решения не найдется, то см.

п. 4

и

т. д.

h — 1.

(к<^п). Решить ,задачу

 

 

 

 

\ К { Х ) =

о

 

 

 

<?(X)-*min;

 

 

 

 

[fyk(X) =

0

 

 

для всех возможных сочетаний из р ограничений по к. Если эта задача не имеет удовлетворительного решения для к = п — 1, то следует проверить совместимость огра­

ничений

(12.2.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим пример применения этого метода. Пусть

необходимо

решить задачу

 

 

 

 

 

 

 

 

Q (ях,

з^) = я? + 2а2

min;

 

(**)

 

 

 

 

 

 

 

 

*i, x t е S

 

 

 

S

: h (жц

х2) =

 

+

хя — 1 >

0.

 

 

Сначала

решаем задачу

при

к

=

Ï O х{

х*2

=

0 . Но

h(0, 0)

0. Следовательно, это решение не удовлетворяет

ограничению. Пусть к =

1; решаем задачу с ограничением

типа равенства

Q (ж1э х2) =

ж* +

2х\

min;

St: хх +

+ х2 — 1 =

0,

решение

которой

хх = —

и

= -|-

является

искомым.

 

 

 

 

 

 

 

Следует отметить, что рассмотренный выше алгоритм решения экстремальных задач с ограничениями типа не­ равенств практически реализуем лишь для малого числа

ограничений и при аналитической форме функции ка­ чества и ограничений. Это обстоятельство сужает его применение и заставляет обращаться к другому, более эффективному методу.

§ 12.3. Метод штрафных функций

Суть этого метода заключается в построении новой функции качества, экстремум которой соответствует ре­ шению задачи оптимизации при выполнении наложенных ограничений.

Рассмотрим сначала ограничения первого рода. В этом случае новую функцию качества можно представить, например, в виде суммы исходной функции и так называ­ емой «функции штрафа»:

к

 

■Гл (X) =

Q (X) + 3

е д } (X ),

(12.3.1)

 

 

 

*= 1

 

где А =

(а15 а2,

.,

аь.) — вектор достаточно

больших

весовых

коэффициентов.

 

 

Как видно, при несоблюдении хотя бы одного из огра­

ничений,

т. е. при gi (X) Ф 0,

вводится «штраф» в виде

увеличения исходной функции качества на величину,

пропорциональную нарушению g? (X ) с весами При выполнении всех ограничений, т. е. при gt (X) — 0, штраф равен нулю и

JA (X ) = Q (X ).

(12.3.2)

Пусть X* — решение исходной задачи, а Х \ — реше­ ние задачи минимизации функции со штрафом Jа (X).

Как легко заметить, функция со штрафом (12.3.1) имеет A-мерный овраг, дно которого имеет уравнение

gi(X) = 0 (1 = 1,

.,А).

(12.3.3)

На дне этого оврага J (X) ж Q (X). Однако при конеч­

ных значениях а* оптимум Х \ не совпадает с оптимумом X*. Покажем это на рассмотренном в § 12.2 примере (*). Минимизируемая функция в этом случае принимает вид

Найдем ее минимум.

Он соответствует

*

2

*

1

2~

Х1А —

2~ ’

 

 

3+ ~ г

 

 

3+ т

Как видно, эти значения отличаются от оптимальных

илишь при а -*• оо совпадают с ними.

Всвязи с указанным имеет место следующее, довольно очевидное, положение:

lim Х а = X*,

(12.3.5)

А—*оо

 

т. е. решение задачи оптимизации штрафной функции

(12.3.1) совпадает с

решением исходной

задачи при

А

оо (точнее, аг

оо г = 1,

 

.,

Æ).

 

дОО-О

На рис. 12.3.1 для иллю­

страции показан рельеф задачи

 

(12.3.4) при а ф оо.

Хорошо

 

видно, что экстремум Х а не совпадает с точным значением X *, но близок к нему. Четко проглядывается овражность функции.

Теперь рассмотрим приме­ нение метода штрафных функций для ограничений второго рода (типа неравенств hj(X)> 0, ( / = 1 , ., р)). В

этом случае минимизируется функция со штрафом вида

р

/ утт^ $ г * Х ТУП

? \ 1

\\\ ''Jу / ч _'/

Рис. 12.3.1. Рельеф задачи с ограничением первого ро­ да при использовании ме­ тода штрафных функций.

Jа (X) = Q(X) - S bfc (X) [1 - sign ^ (X)], (12.3.6)

}=i

где В = (Ь1г ., Ьр) — вектор достаточно больших весовых коэффициентов. Как видно из конструкции этой функции, при нарушении хотя бы одного из ограничений, т. е. при h] (X) < 0, к показателю качества Q (X) до­ бавляется «штраф», равный —2bfa (X). Так как величина веса bj предполагается достаточно большой, то значения функции качества в этом случае сильно зависят от степени нарушения ограничений. Минимизация функции со

штрафом, прежде всего, приводит к минимизации штрафа, т. е. к выполнению ограничений, а затем к минимизации ис­ ходной функции качества. Обозначим положение минимума

функции (12.3.6) через Хд. В общем случае при конечных значениях bj эта точка может не совпадать с искомой X*, т. е.

Хв ф X.

(12.3.7)

Очевидно, что при возрастании коэффициентов bt эти точки сближаются и в пределе

lim Х'в = Х \

(12.3.8)

£- *о о

т.е. решение задачи со штрафом в точности совпадает с решением исходной задачи оптимизации при В -> оо.

 

 

 

 

Проиллюстрируем ска­

т2

 

 

 

занное

на

рассмотренном

ш ь о

 

 

выше,

в

§ 12.2,

приме­

 

7 ^ r - X *

ре (**). «Оштрафованная»

 

1 iyCr T \

функция

в

этом

случае

7

1i

1t Tvlj__

имеет

 

вид

(рис. 12.3.2)

 

^- •- —

(ж*,

х2)

= х\ +

2х\ —

'J

7

м \ ч

b (

х

2 хх — 1) [1—sign

 

 

 

гт—r \4 "

 

7

:

(ж, -

*! -

1)1.

(12.3.9)

 

 

 

 

 

Ху

Исследуем поведение этой

Рис. 12.3.2.

Рельеф штрафной

функции в районе точного

минимумa

 

3

 

функции

при

ограничении типа

*

*

 

= Y >хг =

 

неравенства.

=

 

Проведем

вокруг

 

 

 

 

 

этой точки окружность с малым радиусом Ô и определим, как ведет себя показатель качества оштрафованной функ­ ции (12.3.9) на этой окружности. Каждую точку окружно­ сти будем определять углом наклона ф ее радиуса к оси Xj. Тогда координаты этой окружности принимают вид

з

Жю = — -Tj- + ÔCOS ф,

#20 = + àSin ф.

Подставляя эти выражения в (12.3.9) и пренебрегая

членами с Ô2, получим поведение разности

А = (*10, *20) — Q(*1, х1) =

 

 

 

Ô ---- 26j (sin ср — cos ср)

п р и -----|-

я <: ср ^ ~ ,

ô (sin ф— cos ф) при

^

ф <1

я,

которая соответствует превышению функции JB над эк­

стремальным значением Q* = Q (х[,

х*г).

Если всюду

А > О, то Х*в = X*, если же найдется ф,

при котором

А < О, то Х в =jt=X*. Исследуем все возможности.

На рис. 12.3.3 показано поведение А/ô для различных значений 6. Как видно, А !> Опри 6 > 2/3, и в этом слу­

чае Х в = X*, т. е. экстремумы совпадают. При 6 2/3 получаем Х в ф X*, т. е. экстремумы не совпадают.

Следовательно, применяя метод штрафных функций при ограничениях типа неравенств, следует иметь в виду,

что совпадение экстремумов Х% и X *

может быть и при

конечных весах

В.

 

 

Если в задаче имеются ограничения обрих типов, то

минимизируемая

функция принимает

естественный вид:

 

к

р

 

J A B (X) = Q (X) +

2 aigi (X) -

2

( X) [1 - sign h ^ X ) ],

Рис. 12.3.4. Блок-схема решения задачи экстремального управле­ ния методом штрафных функций.

где веса А и В достаточно велики. В общем случае поло-

жение экстремума этой функции Х а в не совпадает с иско­ мым экстремумом X*, но в пределе при А, В оо они совмещаются:

lim

Хав =

(12.3.11)

 

оо

 

т. е. определение Х а в

при больших значениях А и В

может быть достаточно хорошей оценкой положения эк­ стремума X* исходной функции Q (X):

X* ~ Хав. (12.3.12)

Это обстоятельство и яв­ ляется исходным для при­ менения метода штрафных функций при решении за­ дач оптимизации много­ параметрических объектов с ограничениями различ­ ного вида.

На рис. 12.3.4 показа­ на блок-схема применения метода штрафных функ­ ций. Здесь блок управле­ ния Б У образует векторы А и В программным или адаптивным образом (в по­ следнем случае необходи­ мо реализовать пунктир-

ные связи). Автоматический оптимизатор АО, миними­ зируя J, решает поставленную задачу.

Программный алгоритм образования векторов штрафа А и В предполагает их увеличение (точнее, увеличение штрафов ai и bj) с определенной интенсивностью, которая зависит от специфики задачи оптимизации. Но во всяком случае программы А (<) и В (t) могут быть представлены в виде

|dЛ.

dB.

dt

dt

причем начальные штрафы А0> 0 и В0^>0.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОИСКОВЫХ МЕТОДОВ

ОПТИМИЗАЦИИ

Предполагая, что функция качества Q = Q (X) из­ вестна, можно при определенных ограничениях, как по­ казано в предыдущей главе (см. (12.1.2)), решение задачи ее минимизации свести к решению системы из п очевидных уравнений:

^

= 0 (« - 1........

»).

(13.0.1)

Рассмотрим математические методы решения этой системы на примерах моделей, рассмотренных в § 11.4.

Обратимся сначала к квадратичной модели (11.4.20), для которой система (13.0.1) линейна.

§ 13.1. Метод итераций

Пусть решаемая система линейных уравнений имеет вид

~fa^ ~ Л 11Х 1 4 “ а 12ж 2 Ч " • • • Ч " а 1пх п — &1 = 0 ,

=

^21*^1 Ч" 0>22х 2 Ч* • • • Ч* 0-2пх п — &2 =

О,

ал

 

(13.1.1)

 

 

f a — =

a nlx l 4“ ап2ж2 Ч" • • • Ч* а ппхп Ьп =

0.

Разрешим первое уравнение относительно хх, второе — относительно х2 и т. д. (диагональные члены здесь пред­ полагаются не равными нулю, т. е. ati Ф 0):

Х1 =

^12^2 Ч" Ci3x3 4“

Ч- Стхп +

 

Х2 =

^21Х1 Ч" ^23X3 Ч-

Ч~ ^2Т1ХП Ч~ d2,

(13.1.2)