
книги / Системы экстремального управления
..pdfВ частном случае одномерного объекта (п = 1) эти усло вия превращаются в известное правило:
если |
|
[> 0, |
то |
это |
минимум; |
если |
ô2Q |
^А |
то |
это |
максимум. |
|
<[ 0, |
§ 12.2. Задачи оптимизации при наличии ограничений
Ограничения, налагаемые на оптимизируемые пара метры xt, ., хп могут иметь вид равенств и неравенств. В первом случае ограничения представляются в виде
**(*) = 0 (1 = 1, |
* < » ) , |
(12.2.1) |
гДе ëi (•) — заданные функции. Будем называть такого рода ограничения ограничениями первого рода.
Ограничения второго рода представляют собой нера венства вида
М * ) > 0 (1 = 1, р). (12.2.2)
[Рассмотрим, как решать задачу оптимизации для каж дого из этих ограничений.
А. Ограничения первого рода. Ограничения (12.2.1) накладывают к дополнительных связей на свободу выбора переменных и, по сути дела, снижают размерность опти мизируемой функции качества. Действительно, разрешим уравнения (12.2.1) относительно первых к переменных
X1 = |
fl fof+l> |
*£|с+2> |
хп)I |
(12.2.3) |
X%= |
/2 {Xi(+J, |
|
xn)t |
|
|
• • |
|
|
|
xh ~ fh Ofy+l, |
xk+2> |
xn) |
|
|
и подставим эти выражения в |
функцию |
качества Q — |
||
= Q (X). В результате получим функцию п — к перемен |
||||
ных |
|
|
хп). |
(12.2.4) |
Q = F (хн+1, хк+ч , |
Однако практическое осуществление такой операции по нижения порядка связано с серьезными аналитическими трудностями получения выражений (12.2.3). И лишь в простейших случаях удается совершить такую подста новку.
Проиллюстрируем применение метода подстановки на простом примере. Нужно минимизировать функцию
с ограничениями |
первого рода |
|
|
Q (а?!, |
хг) = х\ + 2x1 |
mm |
|
S : g (xv |
х2) = хг — х2 + |
ап, X, е S |
(*) |
1 = 0. |
|
Из равенства получаем (12.2.3)
х2 = Х1 + !•
Подставляя это выражение в минимизируемую функцию, получаем функцию меньшей размерности
Q (xj) = 3x1 + 4xt -f 2.
Минимизируя ее стандартным приемом, находим положе-
* |
2 |
* |
х2 |
1 |
ние экстремума: хг = — g- ; |
|
= -g-. |
Заметим, что указанный прием понижения порядка при решении экстремальных задач с ограничениями пер вого рода, применим лишь при наличии аналитических выражений функции качества и ограничений. Поэтому для практических целей следует найти более удобный алгоритм.
Такой алгоритм можно построить, если решать одно временно две задачи оптимизации:
|
Q(X) —» min, |
|
х |
|
(12.2.5) |
Ç1(X) = |G(X)|“^ m m (= 0 ), |
|
k |
X |
|
|
где | G (X) |2 = 2 |
S* (^)* Тогда решение второй задачи из |
г=1 |
к выполнению ограничений (12.2.1), |
(12.2.5) приведет |
а решение первой определит положение экстремума при выполнении ограничений.
Блок-схема реализации такого способа решения пока зана на рис. 12.2.1. Здесь параллельно работают два опти мизатора АО. Первый поддерживает G(X) = 0, а второй
минимизирует |
Q (X). Их выходы воздействуют на блок |
F, который |
образует вход объекта X — F (Хг, Х9), |
например так: X = Хх + Х2. Очевидно, что для эффектив ной работы такого алгоритма необходимо, чтобы контур минимизации Q1(X) работал более интенсивно, чем кон тур минимизации Q (X). Без этого условия второй контур будет нарушать работу первого и условие G (X) = 0 не будет выполняться.
Б. Ограничения второго рода. Учет ограничений вто рого рода (12.2.2) алгоритмически не столь прост. Дело в том, что решение
задачи
Q(X)—>min; x<=s
S : H ( X ) ^ 0 (12.2.6)
может лежать как на границе ограничений, так и вне их. Для ре шения задачи (12.2.6) следует рассмотреть все случаи, когда решение может находиться на границе к<^п ограни чений (12.2.2). Если бы знать номера этих огра ничений, то задача (12.2.6)
рассмотренной задаче с ограничениями первого рода. Однако этой информации, как правило, нет и ее приходится искать. Алгоритм решения поставленной задачи можно представить в виде последовательности следующих операций.
1. .& = 0. Решить задачу Ç(X)—unin.
Если полученное решение X* удовлетворяет ограниче
ниям, т. |
е. H (X*) > |
0, |
то этим задача (12.2.6) реше |
|
на. |
Если |
же хотя |
бы |
одно ограничение нарушается, |
то |
см. п. |
2. |
|
|
2. к Ф- 1. Решить задачу с ограничениями первого рода
Q(X)—» min; ^ : Ы Х ) = 0. xeSj
Если ее решение X* и H (X*) О, то это и есть решение исходной задачи (12.2.6). В противном случае следует перейти к следующему ограничению i —>■i + 1 и так для
всех i — 1, |
., р. Если среди этих задач не найдется ни |
|||||
одной, |
решение |
которой |
удовлетворяет H (X*) > |
0, то |
||
см. п. |
3. |
|
Решить |
задачу с |
ограничениями |
первого |
3. |
к — 2. |
|||||
рода |
Q(X) -> min; |
: h4 (X) = 0, hk (X) = О |
|
|||
|
|
|||||
для |
всех |
возможных |
сочетаний |
из р ограничений |
подва, каждый раз проверяя для каждого полученного ре
шения |
X* удовлетворение условий H (X*) > |
0. |
Если |
|
такого |
решения не найдется, то см. |
п. 4 |
и |
т. д. |
h — 1. |
(к<^п). Решить ,задачу |
|
|
|
|
\ К { Х ) = |
о |
|
|
|
<?(X)-*min; |
|
|
|
|
[fyk(X) = |
0 |
|
|
для всех возможных сочетаний из р ограничений по к. Если эта задача не имеет удовлетворительного решения для к = п — 1, то следует проверить совместимость огра
ничений |
(12.2.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим пример применения этого метода. Пусть |
|||||||||||
необходимо |
решить задачу |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Q (ях, |
з^) = я? + 2а2 |
min; |
|
(**) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
*i, x t е S |
|
|
|
|
S |
: h (жц |
х2) = |
|
+ |
хя — 1 > |
0. |
|
|
||
Сначала |
решаем задачу |
при |
к |
= |
Ï O х{ |
— х*2 |
= |
0 . Но |
|||
h(0, 0) |
0. Следовательно, это решение не удовлетворяет |
||||||||||
ограничению. Пусть к = |
1; решаем задачу с ограничением |
||||||||||
типа равенства |
Q (ж1э х2) = |
ж* + |
2х\ |
min; |
St: —хх + |
||||||
+ х2 — 1 = |
0, |
решение |
которой |
хх = — |
и |
= -|- |
|||||
является |
искомым. |
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что рассмотренный выше алгоритм решения экстремальных задач с ограничениями типа не равенств практически реализуем лишь для малого числа
ограничений и при аналитической форме функции ка чества и ограничений. Это обстоятельство сужает его применение и заставляет обращаться к другому, более эффективному методу.
§ 12.3. Метод штрафных функций
Суть этого метода заключается в построении новой функции качества, экстремум которой соответствует ре шению задачи оптимизации при выполнении наложенных ограничений.
Рассмотрим сначала ограничения первого рода. В этом случае новую функцию качества можно представить, например, в виде суммы исходной функции и так называ емой «функции штрафа»:
к
|
■Гл (X) = |
Q (X) + 3 |
е д } (X ), |
(12.3.1) |
|
|
|
|
*= 1 |
|
|
где А = |
(а15 а2, |
., |
аь.) — вектор достаточно |
больших |
|
весовых |
коэффициентов. |
|
|
||
Как видно, при несоблюдении хотя бы одного из огра |
|||||
ничений, |
т. е. при gi (X) Ф 0, |
вводится «штраф» в виде |
увеличения исходной функции качества на величину,
пропорциональную нарушению g? (X ) с весами При выполнении всех ограничений, т. е. при gt (X) — 0, штраф равен нулю и
JA (X ) = Q (X ). |
(12.3.2) |
Пусть X* — решение исходной задачи, а Х \ — реше ние задачи минимизации функции со штрафом Jа (X).
Как легко заметить, функция со штрафом (12.3.1) имеет A-мерный овраг, дно которого имеет уравнение
gi(X) = 0 (1 = 1, |
.,А). |
(12.3.3) |
На дне этого оврага J (X) ж Q (X). Однако при конеч
ных значениях а* оптимум Х \ не совпадает с оптимумом X*. Покажем это на рассмотренном в § 12.2 примере (*). Минимизируемая функция в этом случае принимает вид
штрафом, прежде всего, приводит к минимизации штрафа, т. е. к выполнению ограничений, а затем к минимизации ис ходной функции качества. Обозначим положение минимума
функции (12.3.6) через Хд. В общем случае при конечных значениях bj эта точка может не совпадать с искомой X*, т. е.
Хв ф X. |
(12.3.7) |
Очевидно, что при возрастании коэффициентов bt эти точки сближаются и в пределе
lim Х'в = Х \ |
(12.3.8) |
£- *о о
т.е. решение задачи со штрафом в точности совпадает с решением исходной задачи оптимизации при В -> оо.
|
|
|
|
Проиллюстрируем ска |
|||||
т2 |
|
|
|
занное |
на |
рассмотренном |
|||
ш ь о |
|
|
выше, |
в |
§ 12.2, |
приме |
|||
|
7 ^ r - X * |
ре (**). «Оштрафованная» |
|||||||
|
1 iyCr T \ |
функция |
в |
этом |
случае |
||||
7 |
1i |
1t Tvlj__ |
имеет |
|
вид |
(рис. 12.3.2) |
|||
|
^- •- — |
Jв (ж*, |
х2) |
= х\ + |
2х\ — |
||||
'J |
|||||||||
7 |
м \ ч |
— b ( |
х |
2 — хх — 1) [1—sign |
|||||
|
|
|
гт—r \4 " |
||||||
|
7 |
: |
(ж, - |
*! - |
1)1. |
(12.3.9) |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
Ху |
Исследуем поведение этой |
|||||
Рис. 12.3.2. |
Рельеф штрафной |
функции в районе точного |
|||||||
минимумa |
|
3 |
|
||||||
функции |
при |
ограничении типа |
* |
* |
|||||
|
= — Y >хг = |
||||||||
|
неравенства. |
= |
|
Проведем |
вокруг |
||||
|
|
|
|
|
этой точки окружность с малым радиусом Ô и определим, как ведет себя показатель качества оштрафованной функ ции (12.3.9) на этой окружности. Каждую точку окружно сти будем определять углом наклона ф ее радиуса к оси Xj. Тогда координаты этой окружности принимают вид
з
Жю = — -Tj- + ÔCOS ф,
#20 = + àSin ф.
Подставляя эти выражения в (12.3.9) и пренебрегая
членами с Ô2, получим поведение разности
А = JВ(*10, *20) — Q(*1, х1) = |
|
|
|
Ô ---- 26j (sin ср — cos ср) |
п р и -----|- |
я <: ср ^ ~ , |
|
ô (sin ф— cos ф) при |
^ |
ф <1 |
я, |
которая соответствует превышению функции JB над эк |
|||
стремальным значением Q* = Q (х[, |
х*г). |
Если всюду |
|
А > О, то Х*в = X*, если же найдется ф, |
при котором |
А < О, то Х в =jt=X*. Исследуем все возможности.
На рис. 12.3.3 показано поведение А/ô для различных значений 6. Как видно, А !> Опри 6 > 2/3, и в этом слу
чае Х в = X*, т. е. экстремумы совпадают. При 6 2/3 получаем Х в ф X*, т. е. экстремумы не совпадают.
Следовательно, применяя метод штрафных функций при ограничениях типа неравенств, следует иметь в виду,
что совпадение экстремумов Х% и X * |
может быть и при |
||
конечных весах |
В. |
|
|
Если в задаче имеются ограничения обрих типов, то |
|||
минимизируемая |
функция принимает |
естественный вид: |
|
|
к |
р |
|
J A B (X) = Q (X) + |
2 aigi (X) - |
2 |
( X) [1 - sign h ^ X ) ], |
где веса А и В достаточно велики. В общем случае поло-
жение экстремума этой функции Х а в не совпадает с иско мым экстремумом X*, но в пределе при А, В оо они совмещаются:
lim |
Хав = |
(12.3.11) |
|
оо |
|
т. е. определение Х а в |
при больших значениях А и В |
может быть достаточно хорошей оценкой положения эк стремума X* исходной функции Q (X):
X* ~ Хав. (12.3.12)
Это обстоятельство и яв ляется исходным для при менения метода штрафных функций при решении за дач оптимизации много параметрических объектов с ограничениями различ ного вида.
На рис. 12.3.4 показа на блок-схема применения метода штрафных функ ций. Здесь блок управле ния Б У образует векторы А и В программным или адаптивным образом (в по следнем случае необходи мо реализовать пунктир-
ные связи). Автоматический оптимизатор АО, миними зируя J, решает поставленную задачу.
Программный алгоритм образования векторов штрафа А и В предполагает их увеличение (точнее, увеличение штрафов ai и bj) с определенной интенсивностью, которая зависит от специфики задачи оптимизации. Но во всяком случае программы А (<) и В (t) могут быть представлены в виде
|dЛ. |
dB. |
dt |
dt |
причем начальные штрафы А0> 0 и В0^>0.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОИСКОВЫХ МЕТОДОВ
ОПТИМИЗАЦИИ
Предполагая, что функция качества Q = Q (X) из вестна, можно при определенных ограничениях, как по казано в предыдущей главе (см. (12.1.2)), решение задачи ее минимизации свести к решению системы из п очевидных уравнений:
^ |
= 0 (« - 1........ |
»). |
(13.0.1) |
Рассмотрим математические методы решения этой системы на примерах моделей, рассмотренных в § 11.4.
Обратимся сначала к квадратичной модели (11.4.20), для которой система (13.0.1) линейна.
§ 13.1. Метод итераций
Пусть решаемая система линейных уравнений имеет вид
~fa^ ~ Л 11Х 1 4 “ а 12ж 2 Ч " • • • Ч " а 1пх п — &1 = 0 ,
= |
^21*^1 Ч" 0>22х 2 Ч* • • • Ч* 0-2пх п — &2 = |
О, |
ал |
|
(13.1.1) |
|
|
|
f a — = |
a nlx l 4“ ап2ж2 Ч" • • • Ч* а ппхп — Ьп = |
0. |
Разрешим первое уравнение относительно хх, второе — относительно х2 и т. д. (диагональные члены здесь пред полагаются не равными нулю, т. е. ati Ф 0):
Х1 = |
^12^2 Ч" Ci3x3 4“ |
Ч- Стхп + |
|
Х2 = |
^21Х1 Ч" ^23X3 Ч- |
Ч~ ^2Т1ХП Ч~ d2, |
(13.1.2) |
|
|
|