книги / Прочность и колебания элементов конструкций

основании уравнения (е) получаем

Таким образом, нами определено уменьшение распора, происхо­ дящее от удаления среднего шарнира. Последний интеграл числи­ теля зависит от степени различия между осью арки и веревочной кривой.

•§ 6. Случай сосредоточенной силы

Определим теперь при помощи формулы (25) распор для случая загружения арки вертикальной сосредоточенной силой Р (рис. 10). Чтобы привести задачу к случаю симметричной нагрузки, для ко­ торой и выведена эта формула, к заданной силе Р добавим силу Р, расположенную симметрично и показанную на рис. 10 пунк­ тиром. Очевидно, что распор в этом случае симметричной на­ грузки будет равен 2Я . Вели­

чины Af„ N0 и Q0 в формуле (25) выражают изгибающий мо­ мент, нормальную и поперечную силы для случая, когда опорные шарниры могут свободно пере­ мещаться (рис. 7, Ь). В слу­ чае двух равных сил Р, сим­ метрично расположенных от­ носительно середины арки,

444 РАСЧЕТ УПРУГИХ АРОК

Подставляя эти величины в формулу (25), получим следующее выражение для ее числителя:

Это выражение имеет простое значение. Опираясь на формулу

(21)§ 4, мы заключаем, что оно представляет Pvh, где vh означает вертикальное перемещение точки К для случая, изображенного на рис. 10, b *).

Что касается знаменателя формулы (25), то он, согласно формуле (24), представляет собой —и'а. Таким образом, для распора, вызыва­ емого одной сосредоточенной силой Р, получаем выражение

2«в

Решение это можно было бы получить сразу, пользуясь сравне­ нием фактического состояния арки (рис. 10, а) с фиктивным (рис. 10, Ь) и применив теорему о взаимности перемещений Максвелла.

Та же теорема послужит нам при определении горизонтальной реакции Н в случае арки, подверженной действию сосредоточенной горизонтальной силы Р (рис. 11, а).

*) В случае, изображенном на рис. 10, Ь, опорные шарниры скользят по гори­ зонтальной прямой, точка К перемещается кверху, т. е. в сторону отрицательных у. Поэтому в* отрицательно и Рв* положительно.

Сравнивая фактическое состояние арки с фиктивным (рис. 11,6) и применяя теорему Максвелла, мы получаем уравнение

где и.а и ик означают горизонтальные перемещения точек А и. К относительно неподвижного сечения ключа С. Эти перемещения оп­ ределяются при помощи формулы (21):

— J gg-sin2 q>ds, 0

S.

— J~EFs*n2 ^ ^s'

Решая уравнение (b), получим для H выражение

ную составляющие и последо­ вательно определить распор от той и другой.

§ 7. Симметричная параболическая арка

Применим выведенные для распора формулы к случаю Рис. 11. симметричной параболической

арки. Этот элементарный случай легко исследовать, анализируя значения различных членов общих формул и вычисляя погрешности, сделанные при расчете распора по упрощенным формулам.

совокупность дает

Подставляя выражения (d), (e), (f), (g) в формулу распора (25'), получаем

где

где i — радиус инерции поперечного сечения в ключе.

Величина коэффициента р учитывает влияние сжатия, вызван­ ного нормальной силой, влияние кривизны арки-1) и влияние пере­ резывающей силы. Приводимая таблица I показывает, как изменя­ ется величина этих членов в зависимости от стрелы арки / н е» тол­ щины h. Первый столбец дает разные отношения стрелы арки к ее пролету. Три следующих столбца дают члены, из которых составля­ ется коэффициент р а). Четыре последних дают величины р, вычис­ ленные для разных отношений между толщиной арки в ключе h и ее пролетом I для прямоугольного сечения. Мы видим, что ртем больше, чем меньше кривизна арки и чем больше ее толщина. Для арок очень пологих, для которых коэффициент р имеет большое зна­ чение, его величина может быть получена с достаточным приближе-

г) Мы называем так для краткости влияние нормальной силы на изменение угла и изгибающего момента на сжатие продольной оси.

*) При вычислении влияния, производимого поперечной силой, полагаем

нием, если пренебречь влиянием Q и кривизны арки, которые дают члены, незначительные по абсолютной величине и противополож­ ные по знакам.

Когда распор найден, то легко можно определить напряжения, возникающие в арке при повышении температуры и изменении рас­ стояния между опорными шарнирами. Предельные напряжения в ключе определяются формулой

или, если заменить Н его величиной согласно формуле (31), форму­ лой

Из этого следует, что влияние температуры увеличивается вме­ сте с увеличением толщины арки и с уменьшением ее стрелы подъе­ ма. Увеличение расстояния между опорными шарнирами оказывает то же влияние, что и понижение температуры.

Определим теперь распор, вызванный вертикальной сосредото­ ченной силой Р (рис. 10, а). Для этого воспользуемся формулой (29), знаменатель которой для параболической арки, согласно формулам (d), (е), (f) и (g), имеет значение