книги / Прочность и колебания элементов конструкций

372 ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ОСАДКИ ШПАЛЫ НА ИЗГИБ РЕЛЬС

Для функций т| и т)х, входящих в формулы (1) и (4), имеются го­ товые таблицы, при помощи которых расчет рельса на прочность сильно упрощается.

Формулами (1) и (4) воспользуемся для приближенного решения вопроса о том, какое влияние на напряжения в рельсе окажет не­ которая начальная осадка одной из шпал.

§ 2. Статическое нагружение

Решим сначала соответствующую задачу статики, для чего пред­ положим, что действующий на рельс груз переходит из одного поло­ жения в другое с бесконечно малой скоростью. Давление R, переда­ ющееся на какую-либо шпалу, отстоящую от начала координат на х, легко получить при помощи формулы (1). Нужно только соответ­ ствующий этой шпале прогиб помножить на величину D, характе­ ризующую жесткость шпалы. Таким путем находим

Предположим теперь, что рассматриваемая шпала имеет неко­ торую начальную осадку, и пусть эта осадка настолько значительна, что шпала вовсе не поддерживает рельса.

Устранение шпалы, очевидно, окажет на изгиб рельса такое же влияние, как и приложение к рельсу в сечении х системы сил, урав­ новешивающих реакцию R. Приложим в сечении х направленную вертикально вниз силу Р. Сила эта при правильной подбивке всех шпал вызовет со стороны находящейся под ней шпалы реакцию

D-Pa/2k.

Подберем Р таким образом, чтобы

В таком случае сила Р и соответствующая ей реакция уравнове­ шивают реакцию R, вызываемую в рассматриваемой шпале подвиж­ ной нагрузкой Q, и условия изгиба нашего рельса, расположенного на правильно подбитых шпалах, будут такие же, как и рельса с осевшей шпалой, нагруженного только силой Q. Влияние на изгиб рельса осадки шпалы эквивалентно влиянию силы Р, определяемой формулой

Р а

12k

иприложенной в сечении х, соответствующем неправильно подбитой шпале.

Дополнительный прогиб под грузом Q, обусловленный нали­ чием в сечении х осевшей шпалы, равняется прогибу точки касания колеса под действием фиктивной силы Р, приложенной в сечении х.

Полный прогиб под грузом Q представится так:

Так как функция rj представляется волнообразной линией, от­ клонения которой от оси х быстро затухают с возрастанием х, то влияние начальной осадки шпалы на прогиб под грузом сказыва­ ется лишь с приближением груза к месту осевшей шпалы. Для по­ яснения на рис. 1 графически представлено изменение прогибов /

Рис. 1.

при прохождении грузом Q части рельса у места осевшей шпалы. При вычислениях мы выбрали участок, простирающийся на 150 см в обе стороны от осевшей шпалы и положили: Q=10 т, D =10 т/см, а/2&=0,5-10~4 см/кг, 1 = 75 см.

В таком случае а=1/75 см~1, а£>/2£=0,5, т = 1 и выражение для статического прогиба (7) перепишется так:

/ = ! ? < ! +Л->.

Полученные отсюда прогибы отложены по ординатам на рис. 1. При выбранных соотношениях величина наибольшего прогиба в два раза превосходит ту осадку рельса под колесом, которая полу­ чается при правильной подбивке шпал.

Для оценки влияния осадки шпалы на величину наибольшего изгибающего момента в рельсе воспользуемся формулой (4).

Так как{т]1)х=0= 1,то изгибающий момент под грузом от давле­ ния Q будет равен Q/4а.

Дополнительный изгибающий момент от фиктивной силы Р, компенсирующей осадку опоры, будет равен Рщ/Аа. Вставляя

дополнительной силы Р, определяемой равенством

r { l - w ) - b D -

В таком случае формула (7) для прогиба под грузом напишется так:

Db \

Соответственно этому для изгибающего момента под грузом по­ лучим выражение

Формулами (7') и (8') нужно пользоваться лишь тогда, когда рас­ стояние точки касания колеса от осевшей шпалы удовлетворяет ус­ ловию (9).

§ 3. Динамическое нагружение

Обратимся теперь к задаче динамики и выясним, как изменятся обстоятельства изгиба рельса, если принять в расчет конечную ско­ рость движения колеса по рельсу. Для приближенного решения этого вопроса воспользуемся обычными упрощениями: будем счи­ тать рельс невесомым и давление, передаваемое колесному скату через рессоры, постоянным. В таком случае при определении дина­ мического прогиба придется принять в расчет лишь силы инерции, соответствующие вертикальным перемещениям колесного ската. Если через q обозначим вес колеса и неизменно с ним связанных ча­ стей и через Q — статическое давление колеса на рельс,то прогиб f под колесом должен удовлетворять дифференциальному уравнению

( Ю )

где последний член в правой части представляет собой реакцию рель­ са, пропорциональную прогибу f. При расположении рельса на од­ нообразном упругом основании коэффициент р остается постоянным, и колесо будет совершать в вертикальном направлении простое гар­ моническое колебание, определяемое начальными значениями ве­ личин f и dfjdt.

376 ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ОСАДКИ ШПАЛЫ НА ИЗГИБ РЕЛЬС

Если начальное значение / равно Qa/2k и начальная скорость df/dt равна нулю, траектория точки касания колеса с рельсом пред­ ставит собой прямую линию.

Иные условия мы будем иметь при наличии осевшей шпалы. Предположим, что одна из шпал не поддерживает рельса. В таком случае зависимость между давлением на рельс и соответствующим прогибом определяется формулой (7), и дифференциальное уравнение (10) перепишется так:

Обозначая через v поступательную скорость колеса и принимая во внимание, что

dt3d4 = о» #dx3L ’

представим уравнение (10') в таком виде:

Решение этого уравнения и даст нам закон изменения прогибов / при прохождении колеса над осевшей шпалой. Если положить в уравнении и=0, то мы придем к прежней формуле (7) для статиче­ ского прогиба. При малых скоростях мы для оценки динамиче­ ского эффекта можем применить тот же способ, которым пользо­ вался Р. Виллис х) при изучении действия катящегося груза на про­ гиб балки с опертыми концами. Для этого положим в левой части уравнения (11) / равными статическому прогибу, определяемому из формулы (7), тогда для динамического прогиба получим выражение

Наибольший прогиб при таком способе расчета получится в момент нахождения колеса над осевшей шпалой, т. е. при х=0, когда

т)' = 0, ц" = —2а* и т)= 1.

Вставляя это в уравнение (12), найдем

*) W i l l i s Robert. Report of the Commissioners appointed to inquire into the application of Jron to Railway Structures, London, 1849, 435 p. Appendix B: «Experi­ ments for determining the effect produced by causing weights to travel over bars with different velocites, made in Portsmouth Dockyard and at Cambridge by the Rev. Robert Willis, F. R. S., Jacksonian Professor, etc.; Captain Henry James, R. E., F . R. S., and Lieutenant Douglas Galton R. Е.» pp. 181—263,

3 7 8 ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ОСАДКИ ШПАЛЫ НА ИЗГИБ РЕЛЬС

статического прогиба, тогда из уравнения (11) найдем для начального момента /J=0. Величину первой производной f'0мы при­ няли для начального момента также равной нулю. Возьмем теперь положение колеса, соответствующее перемещению точки касания на величину одного промежутка Ах, и для нового положения вы­ числим значения величин /Дх, f \ x и f \ x. Так как мы приняли для на­ чального момента f'a=0, то в качестве первого приближения мож­

но ПОЛОЖИТЬ f A x — fo-

Вставляя это значение /д* в уравнение (11), мы найдем первое приближение для /д*. Пользуясь им, можно получить более точ­ ные значения нужных нам величин по формулам

f k x = j ( 0 + fix )Д*; !ь х = ^ Ф + Г ах)Ь * + / о-

Вставляя полученное значение /Дл в уравнение (11), найдем второе приближение для /д*. Теперь мы можем перейти к вычисле­ нию величин /гдя./гдхи/^д*. Первое приближение для f'tAx получим из формулы

Пах= 0+Гах-2Ах,

тогда первое приближение для /,Дх напишется так:

/гд* — / AJC + Y ( /аДж+ /д*) Д*»

Вычислив первое приближение для /2Д* и вставив его в уравнение (11), найдем первое приближение для fiAx- Для получения второго приближения воспользуемся формулами

/* А х — / А х + у (Г а х + /* Д х) A *; f t A x — / А х + ~2 ( / А х + f t Ах) Д *-

Вставляя новое значение для /2д*в уравнение (11), получим вто­ рое приближение для [1ах- Теперь мы можем, пользуясь прежним путем, вычислить величины /зДж, f’tд„ /,д* и т. д.

Мы здесь не задавались подробным выяснением степени точно­ сти полученных результатов при выбранных нами длинах проме­ жутков, но повторные вычисления с вдвое более длинными проме­ жутками дают основание полагать, что погрешность в величине вы­ численных прогибов вряд ли может превосходить 2%.

При таком способе вычислений мы получаем, кроме прогибов, таблицу значений при помощи которой легко определяются силы инерции колесного ската и динамического давления Qa колеса на рельс, которое вычисляется по такой формуле:

В нашем численном примере qv^Qg—900 и соответствующая кри­ вая динамических давлений представлена на рис. 3. Наибольшее давление получается уже после прохождения колесом осевшей шпалы.

Это наибольшее давление, как видно из рисунка, в полтора раза больше статического давления Q. Дальше начинается быстрое убы­ вание давления и при х=1,2 м оно составляет лишь 17% от статиче­ ского давления. При дальнейшем движении опять начинается нара­ стание давлений. Колесо, благодаря пробегу над осевшей шпалой,

С,/77

Рис. 3.

получает колебательное движение в вертикальном направлении. Период этих колебаний будет при наших числовых данных равен

Т = 2я /0,05/981 = 0,045 сек.

Этому промежутку времени при взятой нами скорости будет соот­ ветствовать перемещение точки касания колеса на 133 см.

Для получения динамических напряжений, возникающих в рель­ се, нужно составить выражение изгибающего момента под грузом. Очевидно, мы получим нужное нам выражение, если в формуле (8) вместо Q поставим величину <2Д, тогда

М д= ^ (1 + TlTllm)-

Закон изменения Мл для нашего численного примера представ­ лен графически на рис. 2.

Таким образом, все нужные для динамического расчета рельса элементы могут быть получены путем интегрирования уравнения (11), составленного в том предположении, что осевшая шпала вовсе не поддерживает рельса.

Без особых затруднений может быть исследован также тот слу­ чай, когда осадка шпалы невелика и шпала, начиная с некоторого определенного положения колеса, уже поддерживает рельс. Пока шпала не работает, т. е. пока динамический прогиб над шпалой меньше начальной осадки 6, нужно пользоваться уравнением (11). При дальнейшем движении зависимость между давлением коле­ са и прогибом рельса будет определяться формулой (7'). Прогиб

3 8 0 ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ОСАДКИ ШПАЛЫ НА ИЗГИБ РЕЛЬС

представится двумя слагаемыми. Первое слагаемое пропорциональ­ но давлению, а второе является известной функцией от х.

Следовательно, явление здесь будет происходить так же, как при пробеге колесом впадины определенного очертания. Подобную задачу мы подробно разобрали в нашей заметке х). Когда при даль­ нейшем движении колеса прогиб рельса над осевшей шпалой станет меньшим, чем б и шпала перестанет поддерживать рельс, мы вновь должны будем обратиться к интегрированию уравнения (И).

Из всего сказанного ясно, что тот прием расчета, когда рельс рассматривают как балку, лежащую на сплошном упругом основа­ нии, можно применять для изучения влияния начальной осадки шпа­ лы на величину статических и динамических прогибов рельса.

Если произвести вычисления для нескольких значений началь­ ной осадки б и для различных скоростей о, то из этих расчетов можно будет получить некоторые заключения относительно дополнитель­ ных напряжений, обусловленных начальной осадкой шпалы.

х) Т и м о ш е н к о С. П. К вопросу о прочности рельс. Издание Института инженеров путей сообщения, Петроград, 1915, тип. А. Э. Коллинса, 1915, 42 стр.