книги / Прочность и колебания элементов конструкций

зовем вынужденными колебаниями. Остальная часть третьего члена нашего общего интеграла представит собой свободные колебания стер­ жня, возникающие при приложении силы Фп.

Если при колебаниях стержень встречает сопротивления, про­ порциональные первой степени скорости, то в уравнении (4) приба­

вится член, пропорциональный скорости <р„, и в общем решении чле­ ны, представляющие свободные колебания стержня, будут заключать множитель, убывающий со временем. Свободные колебания постепен­ но затухают, и практически придется иметь дело лишь с вынужден- ними колебаниями, амплитуда которых поддерживается переменной действующей силой.

Заметим здесь, что в тех случаях, когда легко находится част­ ное решение уравнения (4), нет надобности пользоваться общим ин­ тегралом (5), так как это частное решение и представит нужные нам

вынужденные колебания системы.

§ 2. Прогибы рельса от переменной во времени поперечной силы

Рассмотрим случай, когда стержень, лежащий на сплошном уп­ ругом основании и опирающийся по концам (рис. 1), изгибается переменной силой Р, приложенной

вляться так: 6(pn-sin (плс/1). Соответствующая работа внешних сил

3 6 4 К ВОПРОСУ О ВИБРАЦИЯХ РЕЛЬС

Третий член общего интеграла (5) дает в этом случае такой ре­ зультат:

Если соединим эти два члена и раскроем неопределенность, по­ лучающуюся при условии (а), то получим

sin (sin со/—ш/ cos со/)-

Будем иметь колебания, амплитуда которых растет пропорци­ онально времени.

Заметим здесь, что наше заключение относительно вынужденных колебаний бесконечно длинного стержня на упругом основании может быть получено и из основного уравнения для поперечных ко­ лебаний призматических стержней. Уравнение это при наличии упругого основания напишется так:

(10)

Вынужденные колебания при действии силы Р0 sin a>t предста­ вятся таким образом: у= Х sin со/, где X — функция только от х. Вставляя выражение для вынужденных колебаний в уравнение (10), получим для функции X такое уравнение:

£УХ1У+ ( k — ^ ) х = 0,

т. е. уравнение для изогнутой оси стержня, лежащего на сплошном упругом основании, жесткость которого характеризуется коэффи­ циентом ki= k—pa>*/g.

Результат этот совершенно совпадает с тем, что мы нашли выше, пользуясь бесконечными рядами.

§ 3. Вынужденные колебания рельса при постоянной поперечной силе

Рассмотрим теперь вопрос о вынужденных колебаниях, возни­ кающих в стержне под действием постоянной силы Р, перемещающей­ ся по рельсу с постоянной скоростью о. Будем отсчитывать время с момента вступления силы на стержень; тогда расстояние точки при­

ложения силы от опоры в момент t будет равняться vt. Работа этой силы на перемещении, соответствующем приращению б<р„координа­ ты <р„, будет равна Р sin (rmvt/l) 6<pn.

Обобщенная сила, соответствующая координате <р„, напишется так: Ф„—Р s\n(nnvt/l).

Вставляя это выражение в основное уравнение (4), получаем частное решение этого уравнения в таком виде:

После подстановки этого результата в общее выражение (2) для прогиба получим для вынужденных колебаний в рассматриваемом случае такой бесконечный ряд:

Как и в предыдущем случае, мы можем легко перейти от задачи динамики к соответствующей задаче статики, нужно только первый член в уравнении (4) положить равным нулю или, что все равно, по­ ложить в вышеполученном решении (11) t>=0, vt=c.

Таким путем получаем известное уже выражение для статиче­ ского прогиба

Динамический прогиб отличается от статического тем, что в зна­ менатель каждого члена ряда входит добавочное слагаемое —пН)гр12/ /gEJn2. Благодаря этому динамический прогиб получается большим, нежели прогиб статический. Чтобы иметь возможность в каждом частном случае оценивать разность между динамическим и статиче­ ским прогибами, выгодно представить решение (11) в замкнутой форме. Оказывается, в этом случае динамическому прогибу можно подыскать соответствующую статическую модель, в которой дина­ мический эффект движущейся силы заменяется статическим эффек­ том некоторых добавочных сил, надлежащим образом подобранных.

Для получения такой статической модели решим предварительно вопрос о прогибе стержня с опертыми концами, лежащего на сплош­ ном упругом основании и сжимаемого двумя силами S (рис. 3). Мы уже указывали, что для решения вопросов статики можно пользо­ ваться уравнениями динамики, нужно только в них ускорения еде-

366 К ВОПРОСУ О ВИБРАЦИЯХ РЕЛЬС

лать равными нулю. Воспользуемся этим приемом в рассматривае­ мом случае.

В отличие от предыдущей задачи, мы здесь имеем продольные сжимающие силы S. Предположим, что концы сжатого стержня при

Присоединяя это к энергии изгиба и энергии упругого основания (3), придем к такому выражению для полной энергии деформации:

Статический прогиб стержня представится в рассматриваемом случае бесконечным рядом:

Сравнивая этот результат с полученным вышединамическим про­ гибом (11), заключаем, что два эти изгиба можно привести к совпа­ дению надлежащим выбором продольной силы. Для этого нужно положить

Следовательно, динамический эффект движущейся силы экви­ валентен действию продольной сжимающей силы, определяемой ра­ венством (13). Это заключение, конечно, будет сохранять свою силу и в том случае, если мы будем беспредельно увеличивать длину на­ шего стержня. Динамический прогиб (11) для этого стержня беско­ нечной длины будет такой же, как для балки на сплошном упругом основании, сжимаемой силами S и изгибаемой силой Р. Уравнение изогнутой оси в этом случае легко представить в замкнутой форме. В самом деле, соответствующее дифференциальное уравнение рав­ новесия напишется так:

FJ — <?д2У уи

^ д х * ~ ^дх* к у '

или, принимая во внимание (13),

Решение этих уравнений не представляет, конечно, никаких затруднений. Для более наглядного представления получаемого при этом результата введем здесь понятие о критической скорости, ко­ торая будет играть такую же роль в задаче динамики, как критиче­ ская сжимающая сила в соответствующей задаче статики. Критиче­ ской сжимающей силой мы называем ту наименьшую силу, при ко­ торой прямая форма сжатого стержня перестает быть устойчивой. Прямой стержень, лежащий на упругом основании и сжимаемый силами S, может при некоторых определенных значениях S иметь не только прямую, но также и весьма близкую к ней искривленную форму равновесия. Полагая равным нулю знаменатель одного из членов ряда (12), мы получаем условие для определения нужных нам значений 5 в таком виде:

Здесь п — число полуволн, на которые стержень подразделяется при выпучивании и, следовательно, I : п=К — длина одной полувол­ ны. Из выражения (15) заключаем, что наименьшее значение сжимаю­ щей силы, при котором становится возможной искривленная форма равновесия, получается в том случае, когда

X*=n*V'EJlk.

Таким образом для критической сжимающей силы получаем вы­

ражение SKp = 2EJn*/№ — 2 VkEJ. Соответственно этому критиче­ ская скорость на основании (13) представится так:

Заметим, что величина окр получается для рельс весьма боль­ шой по сравнению с достигаемыми на практике скоростями поступа­ тельного движения поезда. В самом деле, полагая, например, k= =200 кг/см2, E J= 3-10* кг/см? и /7=0,5 кг/см, найдем икр«550 м/сек. При Л=100 кг/см2и прежних размерах рельса мы получили бы vKV«

«460 м/сек.

Интересно здесь же установить связь между критической ско­ ростью и длиной 2L тех волн, которые получаются при изгибе сосре­ доточенной силой бесконечно длинного стержня, лежащего на сплош­ ном упругом основании. Из соответствующего уравнения (8)

изогнутой оси находим 2L = 2я/а =

Таким образом, приходим к за­ ключению,что критическая скорость—

это та скорость, при которой длина волны 2L пробегается действующей рис. 4. силой за время, равное периоду соб­

ственных колебаний рельса. Возвратимся теперь к нашему уравнению (14). Обозначая

через е отношение критической скорости к скорости перемещения силы по стержню и полагая для краткости письма

Принимая во внимание, что на бесконечности у и его производные должны обращаться в нуль, и располагая координаты, как указано на рис. 4, найдем для правой половины балки уравнение

= е~^х (Л3 cos Ьх + А4 sin 6х).

Для левой половины балки соответствующее уравнение напишет­ ся так:

Уг= еУ*(Ахcos 6х + j4,s.in 8х).

В месте приложения силы, т. е. при х=0, должны быть выполнены такие условия: ух= уи у \^ у г,’ у{=у\, у ‘”—у 7 = P/EJ. Из этих ус­ ловий находим

Получаем таким образом кривую изгиба, симметричную отно­ сительно места приложения силы, причем

(|9)

Оценим теперь влияние скорости v перемещения силы на величину наибольшего прогиба, равного /г=/74£7у(Уа+ б а). На основании принятых обозначений имеем

Откуда, на основании (16), получаем

следовательно,

Так как е2 при практически встречающихся скоростях представ­ ляет собой большое число, то мы можем сделать такое заключение: при движении идеально правильного колеса по гладкому бесконеч­ но длинному рельсу, лежащему на сплошном упругом основании, величина поступательной скорости не оказывает заметного влияния на величину прогиба. Под движущимся колесом рельс изгибается примерно так же, как и под колесом, остающимся в покое. Это за­ ключение можно, конечно, перенести и на систему связанных между собой грузов.

§ 4. Действие на рельс переменной во времени силы, движущейся с постоянной скоростью

Выясним теперь вопрос о колебаниях, возникающих в стержне под действием переменной силы Р0cos со/, движущейся с постоянной скоростью v вдоль оси стержня. Если время отсчитывается от того момента, когда сила вступает на стержень, то обобщенная сила Ф„ будет равна Раcos со/ sin (tinvt/l). Вставляя это в дифференциальное уравнение (4), получим частное решение этого уравнения в такой