книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Редактирование рисунка. В меню File, Show Graphics Property Editor. Вставка рисунка, построенного в Matlab в документ редактора Word. Войти в рисунок, построенный в ППП MATLAB5. Войти в опцию Edit и скопировать рисунок (copy Figure). Вставить рисунок (Cntr V) в документ. Затем выделить рисунок, щелкнуть правой клавишей мыши, войти в формат объекта и в опции «Положение» убрать «Поверх текста».

♦ Пример П1. Построить функции в нескольких окнах.

Решение subplot(2,2,l),fplot(,sin(x)',[-3 3]) subplo^^^ezplotCexpCx)1,!-1 2])

subplot(2,2,3),ezplot('x*exp(-0.5*xA2),,[-l 2]) subplot(2,2,4),ezplot(’erf(x)',[-2 2])

exp(x)

♦ Пример П2. Построить на одном рисунке несколько графиков, соот­

личными математическими ожиданиями ( je =0, 1 и 3) и а = I и 3.

Решение xl=-10:0.2:20;a=0;s=l;yl=(l/(sqrt(2*pi)*s))*exp(-0.5*((xl-a).A2)/(2*s.A2)); x2=-10:0.2:20;a=3;s=1.5;y2=(l/(sqrt(2*pi)*s))*exp(-0.5*((x2-a).A2)/(2*s.A2)); x3=-10:0.2:20;a=6;s=3;y3=(l/(sqrt(2*pi)*s))*exp(-0.5*((x3-a)A2)/(2*s.A2));

plot(xl ,у 1 ,х2,у2,хЗ,уЗ)

172.2. Построение двухмерных графиков в Matlab

Здесь приведены правила и примеры построения двухмерных графи­ ков с использованием Matlab. В табл. П2.2.1 приведено описание функ­ ций, полезных при построении двухмерных графиков [64].

meshc(x,y,z)

То же, что и в предыдущем случае, но добавляются проекции равного уровня

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей книге изложены основные принципы и подходы к построению алгоритмов оценивания, рассматриваемые в контексте применения к задачам обработки навигационной информации. Центральное место среди них занимает байесовский подход, в рамках которого наиболее последовательно и логично удается ре­ шить задачи синтеза алгоритмов и анализа их точности. Отличи­ тельная особенность представленного материала, касающегося байесовского подхода, заключается в том, что рассматривается два варианта построения алгоритмов. В одном из них при решении задачи минимизации среднеквадратического критерия вводится ограничение на класс используемых алгоритмов, т.е. предполага­ ется, что оценки линейным образом зависят от измерений. В дру­ гом - при минимизации критерия ограничения на класс исполь­ зуемых оценок не вводятся. Такое изложение, в частности, позво­ ляет акцентировать внимание на очень важном свойстве ФК - его оптимальности при решении линейных задач в классе оценок, ли­ нейным образом зависящих от измерений. В публикациях иногда можно встретить ошибочное утверждение о том, что причиной расходимости алгоритмов, основанных на использовании ФК для решения линейных задач, может служить негауссовский характер порождающих и измерительных шумов. На самом деле это не так. Если при построении алгоритма фильтрации для линейной систе­ мы использованы адекватные характеристики, задаваемые в виде математических ожиданий, матриц ковариаций и корреляционных функций, то соответствующий им ФК расходиться не может, по­ скольку он будет обеспечивать получение оптимальных линейных оценок. Именно это важное свойство наряду с удобной вычисли­ тельной структурой и обусловило успешное применение ФК при решении прикладных задач.

Следует иметь в виду, что настоящая книга является лишь вве­ дением в обсуждаемую тему. Действительно, многие вопросы, с которыми приходится сталкиваться разработчикам конкретных систем, остались за рамками представленного материала. Доста­ точно упомянуть проблему выбора моделей, адекватно описы­ вающих поведение ошибок измерительных систем, проблему чув­ ствительности алгоритмов к выбираемым моделям, вопросы сни­ жения объема вычислений при разработке субоптимальных алго­ ритмов фильтрации за счет сокращения размерности самого оце­ ниваемого вектора, упрощенного описания моделей ошибок изме­ рений и порождающих шумов, вопросы вычислительной устойчи­ вости предлагаемых процедур и т.д. Ответы на некоторые из пере­ численных вопросов заинтересованный читатель может найти, на­ пример, в работах [15, 22, 33, 67, 69, 71, 81, 88, 105, 109, 111, 112, 120, 129].

Хотя основное внимание при изложении уделялось линейным задачам, обсуждены также и некоторые методы, используемые для решения нелинейных задач. Более подробно с ними можно озна­ комиться в работе [80]. Однако за последнее десятилетие получил значительное развитие ряд новых подходов и методов [107]. Здесь можно выделить два основных направления. Одно из них связано с новым подходом к построению алгоритмов калмановского типа, а другое - с так называемыми парциальными фильтрами (particle fil­ ters). Представленный в книге материал создает основу для пони­ мания принципов построения алгоритмов, предлагаемых в рамках этих двух направлений. Что касается алгоритмов калмановского типа, то, по сути, все они представляют собой экономичную в вы­ числительном плане реализацию линейных оптимальных алгорит­ мов, которые рассматривались в подразделах 2.4, 2.5 и 3.3. В част­ ности, сюда следует отнести так называемые фильтры UKP (un­ scented Kalman filter), сигма-поинт фильтры, регрессионные фильтры и т.п. [84, 115, 118, 119, 128, 130]. Эти алгоритмы могут быть эффективно использованы, в основном, для решения задач, определенных в настоящей книге, как задачи с несущественными нелинейностями, т.е. таких, в которых минимизируемый критерий или апостериорная плотность одноэкстремальны. Второе направ­ ление опирается на различного рода модификации метода МонтеКарло, основы которого обсуждались в подразделах 1.5, 2.5. Эти алгоритмы значительно более трудоемки при реализации, но могут

быть эффективно использованы в задачах с существенными нели­ нейностями при многоэкстремальном характере апостериорной плотности. С основными подходами к построению такого рода ал­ горитмов можно ознакомиться, например, в работах [106, 108, 110, 113, 117,123, 127].

В завершение хотелось бы отметить следующее. До недавнего времени необходимость решения задач оценивания, связанных с навигационной тематикой, возникала лишь при построении нави­ гационных систем для различного рода судов, летательных и кос­ мических аппаратов. Сейчас число объектов, для которых требует­ ся решать задачи навигации, резко возрастает [82]. Это обусловле­ но широким внедрением средств навигации в наземный, в первую очередь в автомобильный, транспорт. Кроме того, навигационные системы востребованы и самим человеком, а также активно вне­ дряемыми во все сферы его деятельности различного рода робота­ ми [118]. Несмотря на определенную специфику соответствующих задач, принципы построения эффективных алгоритмов оценивания сохраняются прежними. В этой связи весьма важно, чтобы опыт, накопленный в понимании этих принципов при разработке нави­ гационных алгоритмов для традиционных объектов, мог бы в пол­ ной мере быть использован при создании навигационных систем для объектов нового типа. Автор надеется, что предложенная кни­ га будет способствовать такому развитию событий.

1.Амиаитов И.И. Избранные вопросы статистической теории связи. М.: Сов. радио, 1971. - 416 с.

2.Анализ и статистическая динамика систем автоматического управле­ ния. Т. 3 / Под общ. ред. Н.Д. Егупова.- М.: МГТУ, 2000.

3.Андриевский Б.Р., Фрадков А Л . Избранные главы теории автома­ тического управления с примерами на языке MATLAJB.- СПб.: Наука, 1999.-468 с.

4.Анучин О.Н., Емельянцев Г.И. Инте1рированные системы ориента­

ции и навигации для морских подвижных объектов: Изд. 2-е, переработ. и дополн. / Под общ. ред. В.Г.Пешехонова. - СПб.: ЦНИИ «Элек­ троприбор», 2003. - 389 с.

5.Аоки М. Оптимизация стохастических систем. - М.: Наука, 1971 .-424 с.

6.Бабич О.А. Обработка информации в навигационных комплексах.- М.: Машинострение, 1991.

7.Балакришиан А.В. Теория фильтрации Калмана. - М.: Мир, 1988.

8.Беллман Р. Введение в теорию матриц.- М.: Наука, 1969.

9.Белоглазов И.Н., Джаиджгава Г.И., Чигнн Г.П. Основы навигации по геофизическим полям. - М.: Наука, 1985.- 328 с.

10.Блажнов Б.А. Кошаев Д.А., Степанов О.А. Исследование эффек­ тивности использования спутниковых измерений при определении ускорения силы тяжести на летательном аппарате // Гироскопия и на­ вигация. - 2002.- N3.- С. 33-47.

11.Богуславский И.А. Методы навигации и управления по неполной статистической информации. - М.: Машиностроение, 1970. - 253 с.

12.Богуславский И.А. Статистическая динамика и оптимизация управ­ ления летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1985.

13.Болдин В. А., Зубинский В. И., Зурабов Ю. Г и др. Глобальная спутниковая радионавигационная система ГЛОНАСС.- М.: ИПРЖР, 1998.- 400 с.

14.Брайсон А.Е., Хо Ю Ши. Прикладная теория оптимального управле­ ния. - М.: Мир, 1972. - 544 с.

33.Зонов Н.И. Красильщиков М.Н. Система рекуррентных байесовских алгоритмов оценивания, адаптивных к разнородным неконтролируе­ мым факторам // Изв. РАН. Технич. кибернетика.- 1994.- № 4,6.

34.Интегрированные инерциально-спутниковые системы навига­ ции: Сб. статей и докл. (составит. О.А.Степанов) / Под общ. ред. акад. РАН В.Г.Пешехонова.- СПб.: ЦНИИ Электроприбор, 2001.- 234 с.

35.Казаков И.Е., Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. - М.: Наука, 1987. - 304 с.

36.Калман Р.Е., Быоси Р.С. Новые результаты в теории линейной фильтрации и предсказания // Теоретические основы инженерных расчетов .- 1961.-N 1.- Сер. Д.

37.Колмогоров А.Н. Интерполирование и экстраполирование стацио­ нарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. Мате­ матическая.- 1941.-N 5.

38.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работни­ ков.-М.: Наука, 1973.

39.Красовский A.À. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. - М.: Наука, 1973.

40.Красовский А.А. и др. Справочник по теории автоматического управления. - М.: Наука, 1987. - 712 с.

41.Красовский А.А., Белоглазов И.Н., Чигип Г.П. Теория корр­ еляционно-экстремальных навигационных систем.- М.: Наука, 1979.- 448 с.

42.Кузовков Н.Т., Салычев О.С. Инерциальная навигация и оптималь­ ная фильтрация. - М.: Машиностроение, 1982. - 216 с.

43.Куржа некий А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопреде­ ленности. -М.: Наука, 1977.

44.Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т 2. - М.: Сов. радио, 1966.

45.Леонов Г.А. Теория управления СПб.: СПбГУ, 2006.

46.Ли Роберт Оптимальные оценки, определение характеристик и управление.- М.: Наука, 1966.- 176 с.

47.Лившиц Н.А., Виноградов В.Н., Голубев Г. А. Корреляционная тео­ рия оптимального управления многомерными процессами. - М.: Сов. радио, 1974.

48.Лурье Б.Я., Энрайт П.Дж. Классические методы автоматического управления: Учебн. пособ. - СПб.: БХВ, 2004.- 624 с.

49.Малышев В.В., Красильщиков М.Н., Карлов В.И. Оптимизация наблюдения и управления летательных аппаратов. М., Машинострое­ ние, 1989.

50.Медич Д*ж. Статистически оптимальные линейные оценки и упр­ авление. - М.: Энергия, 1973. - 440 с.

51.Методы теории автоматического управления. Цикл учебных пособий /Под общ. ред. К.А. Пупкова. - М.: МГТУ, 1997.

52.Мирошиик И.В. Теория автоматического управления. Линейные сис­ темы (2005). Нелинейные системы (2006). - СПб.: Питер.

53.Мирош11ик И.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами.- СПб.: Наука, 2000.

54.Небылов А.В. Гарантирование точности управления. М.: Наука, 1998,-304 с.

55.Никулин Е.А. Основы автоматического управления. Частотные мето­ ды анализа и синтеза систем: Учебн. пособ,- СПб.: БХВ, 2005.

56.Острей КЛО. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

57.Парусников Н.А., Морозов В.М., Борзов В.И. Задача коррекции в инерциальной навигации.- М.: МГУ, 1982.- 176 с.

58.Первачев С.В., Перов АЛЛ. Адаптивная фильтрация сообщений. М.: Радио и связь, 1991. -160 с.

59.Первозванскнй А.А. Курс теории автоматического управления,- М.: Наука, 1986.- 616 с.

60.Перов А.И. Статистическая теория радиотехнических систем.- М.: Радиотехника, 2003,- 398 с.

61.Подчукаев В.А. Теория автоматического управления. Аналитические методы. М.: Физматлит, 2005.- 392 с.

62.Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.- 384 с.

63.Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление М.: Наука, 2002.-303 с.

64.Потемкин В.Г Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x. - М.: Диалог-МИФИ, 1999.

65.Пугачев В.С., Казаков И.Е., Евланов Л.Г. Основы статистической теории автоматических систем. - М.: Машиностроение, 1974.- 560 с.

66.Пупков К.А. Нсусыпин К.А. Вопросы теории и реализации систем управления и навигации. - М.: Биоинформ, 1997.

67.Ренин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априор­ ной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов. радио, 1977.

68.Ривкнн С.С. Метод оптимальной фильтрации Калмана и его приме­ нение в инерциальных навигационных системах. Ч. 1, 2 . - Л.: Судо­ строение, 1973.- 1974.