книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdfНиже приведены графики реализации такой последовательности при
а = 0,1, ст = 1м , для трех случаев: стационарный случай, при выполне
нии условий |
ОдФ2 + Г 2 =с?о, а = а 0 = 1 м (рис. 3.1.7); нестационар |
||||||
ный |
случай |
с возрастающей дисперсией при выполнении условий |
|||||
а 0Ф |
+ Г |
><Т0 , с г > а о =О |
(рис. 3.1.8, а), нестационарный случай с |
||||
убывающей |
дисперсией при |
2 |
2 |
+ Г |
2 |
2 |
|
выполнении условий а 0Ф |
|
|
< а 0 ’ |
||||
а < а 0 = 3 м |
(рис. ЗЛ.8, б). На графиках представлены как сами значе |
||||||
ния реализаций, так и соответствующие им утроенные расчетные значе
ния СКО в виде ± 3(а,- = .
Рис. 3.1.7. Реализация экспоненциально коррелированной последовательности
|
|
|
|
|
(стационарный случаи) |
|
а) |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
!-------------------- |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
f |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J ч |
|
|
...................... |
•».................... |
|
|
1 i*/. |
Ai |
|
|
|
|
|
т |
A |
t V |
, |
||
|
|
* \ |
" |
у |
|
|
|
|
* |
....... |
i....................... |
\ ...................... |
|
|
...................... ....................... |
|
:....................... |
i . |
|
|
|
|
: |
: |
|
||
-З1— |
|
|
|
! |
i |
■■J |
|
--------- |
|
1---------- |
1- - |
||
V |
|
|
|
|
|
|
О |
20 |
40 |
60 |
го |
100 |
|
Рис. 3.1.8. Реализации экспоненциально коррелированной последовательно сти и соответствующие утроенные расчетные значения СКО
(нестационарный случай)
Задача 3.1.3. Покажите, что эволюция во времени математиче ского ожидания и матрицы ковариаций для последовательности (3.1.11) определяются соотношениями (3.1.15), (3.1.16):
|
*/ = ф /*ы ; |
р, |
-х,)(х, - г ,) т}=Ф,/>,_,Ф1 +г(0г7 |
Р е ш е н и е . Первое соотношение непосредственно следует из (3.1.11) , поскольку
М {х,} = М {ф,х(Ч + Г)wt}= Ф,*м
Принимая во внимание это выражение, а также факт некорре лированности Wj и хм , можем записать
Р( =м )(Ф ,х,._, |
+ Г > ,. - Ф ,* ы )(Ф/Х,_, + Г)IV; - Ф ,х ,_ ,) т }= |
=м [ ф / (Х1._, - |
Хм ) +Г,• W;)(Ф ,• (х ,_ ,-ГМ)+Г,.(,,.)Т } = Ф ^ _ 1Ф [ +Г,е,Г,т |
Задача 3.1.4. Рассчитайте матрицу ковариаций для случайного
|
I |
вектора, формируемого согласно выражению х,- = |
Wj, в кото- |
;=i
ром Wj, j = 1 - некоррелированные между собой центрирован ные случайные векторы с одинаковой матрицей ковариаций Q для каждого момента времени.
Р е ш е н и е . Эта последовательность может быть сформирова на с использованием формирующего фильтра (3.1.20), в котором Р0 = 0. Используя (3.1.16), получаем Р,- = iQ.
Задача 3.1.5. Рассчитайте матрицу ковариаций для случайного I
вектора, формируемого согласно выражению х, = ^ Wj, в кото-
/=1
ром для всех j = 1./, Wj =w - один и тот же центрированный слу чайный вектор с матрицей ковариаций Q
Р е ш е н и е . Поскольку в данном случае справедливо соотно шение xf = iw, то согласно определению матрицы ковариаций, по
лучаем P,- = }= i2Q
Задача 3.1.6. Получите правило нахождения матрицы ковариа
ций Рх‘ составного вектора Х ( = (JCJ ,JC1T,...,JC*)T, компоненты ко
торого описываются соотношениями (3.1.11), (3.1.12). Найдите эту матрицу для случая i = 1.
Р е ш е н и е . Для получения матрицы ковариаций введем со
ставной вектор г, |
размерности n + ip и учтем, |
||
что Xj = Т;Г' , где матрица 7} |
размерности |
(i + 1)и х (и + ip) имеет |
|
следующий вид: |
|
|
|
Е |
0 |
0 |
0 |
Ф, |
г, |
0 |
0 |
Ф2Ф] |
Ф2Г, |
Г2 |
0 |
|
|
|
0 |
_Ф,Ф<_,...Ф„ |
Ф(ФМ ...Ф2Г, |
|
Гi |
Для нахождения искомой матрицы ковариаций используем пра вило
p*i = т.РпТ?,
где Рп - блочно-диагональная матрица вида
/'о |
0 |
0 |
0 |
0 |
а |
0 |
0 |
рп = |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
См |
0 |
0 |
0 |
0 |
Q, |
Для случая 1 = 1, Х х= (xJ,x1T)T нетрудно получить
Р =
Ро
ФА Ф ^ о Ф ^ Г , ^
Задача 3.1.7. Получите выражение для ф.п.р.в. составного век
тора Xj |
для гауссовской марковской последова |
тельности, задаваемой (3.1.11)—(3.1.14). |
|
Р е ш е н и е . |
Учитывая гауссовский характер составного век |
тора X j , для получения соответствующей ему ф.п.р.в. достаточно найти его математическое ожидание и матрицу ковариаций с ис пользованием соотношения Х { - Tjij, учитывая известные значе
ния Tj =(XQ ,0Д...0)Т и Р Г/
Кроме того, ф.п.р.в. можно получить, используя следующее выражение
f(*i) = Я * О ) П f(xj !Xj-1) = ci ехр | - \ JiI .
где
Jj —XQ/ g”1JC0 + Ÿ J(xJ - Ф j X j ^ y {г]QjTj) \ Xj -ФjXj_l),
7=1 |
|
|
|
, ч /1(1+1) |
l |
i . |
,_I |
с,. = (2л)-— Ы |
“ |
П |Г ,т0уГу| 2 |
|
|
|
7=1 |
|
Задача 3.1.8. Пусть в предыдущей задаче |
/ = 1, и Г, = Е , т.е. |
||
X] =Ф]А'0 + и/j. Учитывая, что, |
ф.п.р.в. для |
составного вектора |
|
X J = (л-g,xj )т может быть представлена в виде (см. задачу 3.1.6)
f ( X l) = N(X];0,P]), |
(1) |
|
где |
|
|
Г Р0 |
Р0Ф] |
1 |
|_ф ,ро ф ,р 0ф ; + 0 I J ’
убедитесь, что представление (1) для ф.п.р.в. идентично тому, ко торое получено в предыдущей задаче.
Пояснение. Раскройте выражение (1) и при вычислении P f 1
воспользуйтесь правилом обращения блочных матриц (см. Прило жение П1.1).
Задача 3.1.9. Получите выражение для корреляционной функ ции центрированной винеровской последовательности, для кото рой начальное условие нулевое, а порождающий шум имеет оди
наковую дисперсию д2 Р е ш е н и е . Используя выражения (3.1.3), (3.1.21) и принимая
во внимание, что для центрированной последовательности началь ное значение равно нулю, можно записать
k(i,J)-M ^iX j}=M \ X w/ X wfc \ = q2min(/,y).
/=1 k=1
Контрольные вопросы
1.Дайте определение случайной последовательности, поясните, что такое математическое ожидание, дисперсия и корреляцион ная функция для случайной последовательности. Приведите примеры скалярных случайных последовательностей.
2.Поясните, что такое центрированная, стационарная и гауссов ская случайные последовательности.
3.Дайте определение дискретного белого шума. Может ли дис кретный белый шум быть нестационарным и л и негауссовским?
4.Введите понятие марковской последовательности. Поясните, что такое формирующий фильтр, приведите примеры.
5.Получите рекуррентные соотношения для нахождения матема тического ожидания и матрицы ковариаций марковской после довательности, заданной с помощью формирующего фильтра.
6.Что такое вннеровская последовательность, каковы ее свойст ва? Является ли вннеровская последовательность марковской?
7.Поясните, почему при постоянных матрицах Ф ,Г ,Q в соот
ношениях (3.1.11), (3.1.12) и невыполнении равенства (3.1.28) последовательность не является стационарной? Проиллюстрируйте это на примере.
3.2. Оптимальные линейные алгоритмы фильтрации случайных последовательностей
В главе 2 применительно к задаче оценивания вектора постоян ных параметров были подробно рассмотрены возможные варианты построения алгоритмов в зависимости от уровня предполагаемой априорной информации. При рассмотрении задач оценивания по следовательностей, описывающих изменяющиеся во времени па раметры, в настоящей главе будем исходить из предположения о том, что они носят случайный характер, и, таким образом, задача может быть сформулирована в рамках байесовского подхода как задача нахождения оптимальных в среднеквадратическом смысле оценок. В частности, в настоящем разделе речь пойдет о построе нии линейных алгоритмов. Основное внимание уделяется задаче рекуррентной фильтрации случайных последовательностей, задан ных с помощью линейного формирующего фильтра, при наличии измерений, линейным образом зависящих от оцениваемой после довательности, и ее решению в виде соотношений дискретного фильтра Калмана. Однако в целях установления преемственности рассматриваемой в настоящем разделе задачи с задачей оценива ния постоянного вектора рассмотрим сначала постановку и алго ритм решения задачи нерекуррентного оценивания.
3.2.1. Постановка ирешение задачи нерекуррентного оптимального линейного оценивания случайных последовательностей
Рассмотрим следующую простейшую задачу оценивания слу чайных последовательностей.
Предположим, что с помощью корреляционных и взаимно кор реляционных функций заданы статистические свойства двух ска лярных случайных последовательностей X/ и у , , / = 1,2 ..:
(3.2.1)
(3.2.2)