книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdf3.2.5.Динамика изменения матрицы ковариаций
иустановившийся режим в задаче фильтрации
Немаловажным при исследовании поведения ошибок ФК явля ется вопрос о характере изменения соответствующих матриц кова риаций во времени. Выше при рассмотрении скалярных примеров, уже отмечалось, что дисперсия ошибки фильтрации может дости гать некоторого установившегося значения. Обсудим этот вопрос более подробно.
Анализ уравнения (3.2.32) для матрицы ковариаций показывает,
что в ней имеются два слагаемых. Первое слагаемое |
|
^ //w -Ф ^ м Ф / +Г,0,Г/т |
(3.2.45) |
отражает факт изменения матрицы ковариации ошибок оценива ния при вычислении оценки прогноза, обусловленный, в частно сти, наличием порождающих шумов. Чтобы проанализировать ха
рактер этого изменения, |
введем матрицу |
и |
представим ее в виде |
\ + Д/ f 1* Из |
результатов подразде |
ла (3.1.5) и уравнения (3.2.45) следует, что матрица ковариаций ошибок прогноза Рщ .\ может как «возрастать» по сравнению с матрицей ковариаций ошибок /)_[ на предыдущем шаге, так и «убывать». Убывание в принципе возможно, если матрица кова риаций (дисперсии) самой оцениваемой последовательности уменьшается. Однако при решении прикладных задач, как прави ло, происходит возрастание матрицы ковариаций ошибок оцени ваемой последовательности. Это, в частности, означает, что дис персии ошибок оценок каждой компоненты, определяемые диаго нальными элементами, могут лишь увеличиваться или, в крайнем случае, сохраняться на прежнем уровне. Такое поведение обуслов лено тем, что значение вектора состояния изменяется в соответст вии с уравнением формирующего фильтра (3.1.11), в правой части которого присутствует порождающий шум, увеличивающий неоп ределенность в знании вектора состояния на каждом шаге. Даже в случае, если значение вектора состояния в какой-то момент време ни было известно точно, например Р;_\ - 0 , то при прогнозе соот
ветствующая матрица ковариаций Рщ -\ - Г)0,-Г,? возрастает
и становится отличной от нуля, поскольку TjQiTj > 0 при О > 0. Более подробно это обсуждается далее в примере 3.2.6.
Второе слагаемое в выражении для матрицы ковариаций, отра жающее влияние очередного (текущего) измерения, может быть представлено в виде
^ <2) = Рш-1 -Р , = Рш-1» ! ( В Д , Х + Ъ Т 'Н А п - х ■
Так как справа стоит неотрицательно определенная матрица, то - P j > 0 и, следовательно, /) < /}/,_,, т.е. матрица ковариа ций ошибок оценок при обработке очередного измерения может
лишь уменьшиться или сохраниться на прежнем уровне по срав нению с матрицей ковариаций ошибок прогноза. Это соотношение представляется вполне логичным, поскольку использование новой измерительной информации не должно снижать точность оцени вания.
Таким образом, для матрицы ковариаций можно записать
Ясно, что при равенстве между собой слагаемых А Р ^ и АР^2)
матрица ковариаций ошибок фильтрации не будет зависеть от времени, т.е. будет постоянной. В этом случае говорят об устано вившемся режиме задачи фильтрации. В частности, такой ре жим может иметь место при решении задач фильтрации, в которых все используемые в соотношениях фильтра Калмана матрицы (Ф,Г, H , Q , R ) являются постоянными. На существование уста
новившегося решения уже обращалось внимание, когда приводи лись результаты моделирования задач фильтрации винеровской и экспоненциально-коррелированной последовательностей по их измеренным на фоне белого шума значениям в примерах 3.2.3, 3.2.4. Очевидно, что для того чтобы имел место установившийся режим, необходимо решение следующего уравнения:
р£ =ФР*ФТ +rg rT - (Ф/^'ФТ+ro rT)Hj((ФР^ФТ+г о г т)я / +л,-)4 х( 3 2 46)
Х#,(Ф /^'Ф Т+Г 0Г Т).
Здесь Р$ определяет матрицу ковариаций ошибок фильтрации
для установившегося режима. При выполнении условия (3.2.46) матрица ковариаций ошибок прогноза и коэффициент усиления также сохраняются постоянными:
л ' Р М / м - - 4 = ^ - 1 |
///—1 |
> 0 |
|
|
|
||
А п - \ + г |
|
|
|
Если АР Ф < q 2 , то дисперсия ошибки |
на очередном шаге |
будет |
|
больше, чем на предыдущем, т.е. Р- |
и при увеличении |
числа |
|
измерений дисперсия ошибки будет возрастать. Если ДPj } > q , то
дисперсия ошибки при увеличении числа измерений будет уменьшаться:
Pi < Рг-1-
При Д/J^ = Др Ф дисперсия на текущем и предыдущем шагах будет
одинаковой, и ее значение при заданных q ~ |
и г можно найти путем |
решения уравнения |
|
( f t - i+ g 2)2 |
2 |
pi - \ + q 2 + r 2 |
|
Нетрудно убедиться в том, что решение этого уравнения будет совпа дать с решением уравнения вида (3.2.46), которое в данном случае запи сывается как
или
+ р£ я2 - д 2г 2 = 0 .
Решив уравнение, для установившейся дисперсии получим
4г '2
1 ± л +
Заметим, что рассматриваемое уравнение имеет два решения. В прин ципе необходимо проанализировать оба эти решения, если они положи тельны. Если одно из них отрицательно, то, поскольку дисперсия отрица тельной быть не может, естественно, используется только одно положи тельное решение. Если значение дисперсии в начальный момент времени
принять: a g = Pœ , то дисперсия будет неизменной, начиная с первого
сверху к установившемуся значению ст,- -> |
. Если 05 < Pœ , то дис- |
/—>00 |
|
Персия будет увеличиваться, приближаясь к тому же самому значению снизу. При наличии установившегося значения у дисперсии ошибки фильтрации коэффициент усиления и дисперсия ошибки прогноза будут также стремиться к установившимся значениям:
|
рф |
|
|
|
|
* 0 0 |
ГX) |
|
|
|
р"р = р£ + р 2 |
= |
|
|
|
||
Так, к примеру, полагая q 2 = 1, |
г 2 |
]_ |
|||
—2 , получаем Р(а= 1 и K œ |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
Таким образом, фильтр Винера будет иметь вид |
|||||
|
Л Л |
|
|
х. , + у. |
|
х. = 0,5л:. |
+ 0,5 у. = ——-----L, |
||||
I |
7 |
Ï—1 |
|
’ |
2 |
т.е. оценка на текущем шаге представляет собой среднее арифметическое между оценкой на предыдущем шаге и текущим измерением.
Как показано в задаче 3.2.6, при выполнении условия q « |
г |
можно |
|
записать : P £ = r q - t P:p = q( r + q); |
В случае |
же, |
когда |
q » r , P g = q 2>P ^ = 2 q 2, K „ = h |
) 2 |
|
|
U J |
|
|
|
Нетрудно конкретизировать уравнение (3.2.46) (см. задачу 3.2.7) и для установившегося режима задачи фильтрации экспо ненциально-коррелированной последовательности по измерениям на фоне белого шума.
3.2.6. Наблюдаемость в задачах оценивания случайных последовательностей
Из подраздела 3.2.5 следует, что поведение во времени матрицы ковариаций существенным образом зависит от характера изменчи вости оцениваемого вектора состояний, зависящего от матриц Ф(
и Г,-, а также от состава, используемых измерений и уровня их
ошибок, определяемых матрицами Я,- и R; . В этой связи интерес-
ным представляется вопрос о том, какова эффективность привле чения имеющихся измерений при оценивании той или иной после довательности. Ответ на это вопрос может быть дан с использова нием понятия наблюдаемости. Это понятие обсуждалось уже в подразделе 2.2.2 применительно к решению задачи оценивания постоянного вектора. Здесь смысл его тот же, что и ранее - опре делить, возможно ли при данном составе наблюдений и отсутст вии ошибок измерения восстановить точные значения оценивае мого вектора. Поясним это более подробно.
Предположим, что с помощью формирующего фильтра задана п -мерная последовательность в виде х,- = Фх,_,, и имеются т - мерные измерения, связанные с этой последовательностью соот ношением у,- = HXj. В теории систем используется понятие пол ной наблюдаемости, которое в рассматриваемом контексте можно определить так. Последовательность х,- = Фхм называется полно стью наблюдаемой, если по некоторому набору измерений у, удается точно восстановить значение вектора состояния в произ вольный момент времени [50, с. 61]. Сформируем составной век тор измерений
,Vi |
ЯФх0 |
' ЯФ ' |
У2 |
ЯФ2х0 |
ЯФ2 |
— |
= |
(3.2.47) |
Уп. |
ЯФ"х0_ |
ЯФя_ |
и введем матрицу |
|
|
0 = [фтЯ т,(Фт)2Я т,..... (ФТ)" Я Т].
Умножая (3.2.47) слева на © , получаем 0@тхо = ©У„
Если 0 0 т не вырождена, имеем хо = ( 0 0 т)_10Г„.
Известно, что матрица 0 © т не вырождена, если ранг матрицы 0 равен п
ностыо восстановить значения высоты невозможно.
Условия полной наблюдаемости означают, что при отсутствии оши бок измерения и порождающих шумов можно безошибочно восстановить значения всех компонент вектора состояний. Таким образом, при умень шении СКО ошибки измерения расчетные значения СКО ошибки оцени вания для всех компонент вектора состояния при выполнении условия полной наблюдаемости должны уменьшаться.
Эти выводы вполне подтверждаются приводимыми ниже результата ми решения задачи фильтрации в виде реализаций ошибок координат и скорости и соответствующих им утроенных расчетных значений СКО,
задаваемых как ±3(сэд = ^*[1,1]) и ±3(aj/. = ^Р7[2,2]), при исходных
данных, соответствующих примеру 3.1.4, а 0 = 1 м> оу=0,01 |
м/с, q x = 0 , |
для случая измерения координаты с ошибкой r = 1 м (рис. |
3.2.7, а и б) |
и скорости с ошибкой г = 0,1 |
м/с (рис. 3.2.7, в и г). |
а) |
б) |
2)
|
|
I |
_____ - I |
|
2 |
|
|
.................... |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
: |
|
|
|
.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•2 |
|
|
|
|
-3 |
|
|
.................... |
|
■i |
40 |
ео |
30 |
1C |
20 |
||||
Ошибка координаты
Рис. 3.2.7. Реализации ошибок оценивания координат и скорости и соответствующих им утроенных значений СКО
при измерении координат (сверху) и скорости (снизу)
причем
(3.2.53) где Bj - матрица размерности и х т , передающая факт наличия статистической зависимости, т.е. корреляции w( и v; .
Для этой задачи можно получить (см. задачу 3.3.4) следующий набор соотношений, определяющих фильтр Калмана для случая коррелированных шумов измерений и порождающих шумов:
(3.2.54)
(3.2.55)
(3.2.56)
Нетрудно понять, как изменятся эти соотношения, если в рас сматриваемой задаче также предположить наличие входных воз действий и-,.
И наконец еще одна из возможных модификаций это задача дискретной фильтрации при наличии абсолютно точных из мерений, т.е. в условиях, когда V,- = 0. В этом случае можно пока
зать (задача 3.3.5), что выражения (3.2.28)-(3.2.32) для фильтра Калмана сохранятся прежними, но при вычислении коэффициента усиления и матрицы ковариаций с использованием соотношений (3.2.31), (3.2.32) следует положить R,-= 0. При этом очевидно, что соотношения (3.2.33), (3.2.34) использованы быть не могут, а при менение (3.2.31), (3.2.32) возможно в случае, если матрица
HjPjii^Hj не вырождена.
Особенности соотношений для фильтра Калмана при абсолют но точных измерениях, наличии или отсутствии входных воздей ствий и статистической зависимости (корреляции) между порож дающими шумами и шумами измерений отражены в табл. 3.2.2.