ветствующей ему матрицы ковариаций помимо априорной инфор мации в виде матриц Ф,-, Г; , и Q( используется только оценка и матрица ковариаций ее ошибок, полученные на предыдущем шаге, а при нахождении очередной оценки и соответствующей ей мат рицы ковариаций - лишь результаты, полученные в блоке прогно за, само текущее измерение и априорная информация в виде мат риц Я, и R,. Несмотря на использование только очередного из мерения, получаемая в результате оценка является оптимальной (минимизируют критерий (3.2.25)) по всему набору измерений, и в блок-схеме сохранена зависимость оценок от соответствующих наборов измерений.
В англоязычной литературе для соотношений (3.2.30) обычно используются термины state estimate observational update или просто state estimate update, а для (3.2.32) error covariance update [111, С.112]. Матрица Kt называется матрицей коэффициентов усиления ФК (Kalman gain matrix) или просто коэффициентом усиления ФК.
Как и в подразделе 2.4.3, можно показать, что для матриц Kh Р,
будут также справедливы следующие, удобные в некоторых прак тических приложениях представления:
Kt =P,H]Rtl \
(3.2.33)
Pi=(Pi-/l_] +HjRJ-lHi)-x
(3.2.34)
Вычисление коэффициента усиления и матрицы ковариаций в соответствии с выражениями (3.2.31), (3.2.32) предпочтительнее в тех случаях, когда т « п , в то время как при п « т и диагональ ной матрице /?,• удобнее использовать выражения (3,2.33), (3.2.34).
Следует обратить внимание на тот факт, что матрицы ковариа ций ошибок оценок Р{ не зависят от измерений, а определяются только матрицами ковариаций Q, и К,-, характеризующими свой ства порождающих шумов и ошибок измерения, и матрицами на блюдения Н; .
Таким образом, все вычисления, связанные с нахождением мат риц ковариаций и коэффициента усиления, могут быть в принципе выполнены заранее. Иногда блок, реализующий эти вычисления, называют ковариационным каналом, а блок, реализующий вы-
351
числения оценок (3.2.30) - оценочным каналом. Весьма сущест венно, что алгоритм ФК является линейным относительно измере ний, а коэффициент усиления также зависит лишь от матриц Qj, R; и Н, и, следовательно, не зависит от измерений.
Впервые соотношения для ФК были приведены и доказаны в знаменитой работе Калмана [116]. Доказательство проведено на основе использования свойства ортогональности.
После выхода в свет этой публикации появились различные ва рианты доказательства оптимальности оценок, получаемых с по мощью ФК.
Важно еще раз обратить внимание на тот факт, что здесь рас сматривается задача получения оценок, оптимальных в классе ли нейных, при этом каких-либо предположений о законах распреде ления случайных последовательностей не вводится. Если предпо ложить гауссовский характер распределений, то оказывается, что приведенный выше алгоритм будет обеспечивать получение опти мальных байесовских оценок, т.е. оценок, которые минимизируют среднеквадратический критерий типа (3.2.4) без ведения ограни чений на класс используемых оценок.
Таким образом, один из вариантов доказательства может быть основан на получении рекуррентного алгоритма вычисления оп тимальных байесовских оценок рассматриваемой задачи в предпо ложении гауссовского характера вектора начальных условий, по рождающих и измерительных шумов. Этот вариант доказательства и представлен в подразделе 3.3. Там же обсуждаются и свойства оптимальных оценок.
Важно подчеркнуть, что алгоритм ФК определяет не только удобную процедуру вычисления самих оценок, что обеспечивает решение задачи синтеза алгоритма оценивания случайной по следовательности, но и процедуру вычисления расчетной матри цы ковариаций, характеризующей текущую точность алгоритма оценивания, что важно при решении задачи анализа точности оценивания случайной последовательности.
В частности, диагональные элементы определяют расчетные дисперсии ошибок оценивания, которые в свою очередь опреде ляют расчетные СКО ошибок оценивания для всех компонент век тора состояния.
Сформулированная задача и представленные соотношения све дены в табл. 3.2.1.
Соотношения для алгоритма дискретного фильтра Калмана
Уравнение для векто ра состояния
Измерения
Начальные условия
Порождающие шумы
Шумы измерения
Взаимная корреляция
Матрицы
Прогноз
Матрица ковариаций ошибок прогноза
Оценка
Коэффициент
усиления
Матрица ковариаций ошибок оценивания
Постановка задача фильтрации
* /= ф 1 * м +гМ-
yi = HjXj + V,
о*1 II о
W,- = 0, М {WjWj } = 8jjO;
v,-=0,M{vivTj} = 8 ijRi
M \X0WJ ]= 0 ; Af\w'Vj |= 0 ;M^c0vJ ]= 0 Ф,-,-n x n , Г,- - n x p , Qt px p
Hi - m x n , Rf -mx-rn
Минимизируемый критерий
Решение задачи фильтрации
v . = ф л - .
/?/;_, = Ф Л -1 Ф ;+ Щ Г 7
Je. = Je.,. t +K . ( y . - H Jc . l. ,)
K; = Pu,.\ftj(ffiPm-iff! + Ri)~l
вариант /
K j =PiHJЛ,”1
вариант 2
Pi ~{E - K(Hi )Pf / /.
вариант 1
Pi=(Pr/)_l - Hj RTlHj )_1
вариант2
Поскольку с помощью ФК в рамках рассмотренной постановки отыскиваются оценки, оптимальные в классе линейных, можно говорить о том, что с помощью ФК рассчитывается потенциаль ная точность оценивания случайной последовательности (3.2.21) по измерениям (3.2.22) с использованием линейных оценок.
Конкретизируем приведенные соотношения алгоритма ФК на простейших примерах.
♦П р и м е р 3.2.2. Получим выражения для фильтра Калмана в за
даче оценивания скалярного параметра Xg =
= х по скалярным изме
рениям у g = x + vh B которых
х s л'о - центрированная случайная вели-
~
2
не зависящий от
х центрированный дис-
чина с дисперсией
сг0 ; у,- -
2
кретный белый шум, т.е. M{VjVj} = ô (y/'•
В данном случае Ф - H - \ , T = Q = 0. Поскольку оцениваемый па
раметр не меняется, блок прогноза существенно упрощается:
-^71-1 = ?i-\•
Таким образом, выражения для оценки примут вид:
х. = Je. , + К . ( у . —х. ,).
I
1 - 1
I ' - ' I
i - i '
Для вычисления коэффициента усиления и дисперсии ошибки опти мальной оценки здесь удобно использовать выражения (3.2.33), (3.2.34):
/ „
7 »
3 -1 + ';
3 = № ' + ^ ) ' ' = - ^ Ч . З > = < 4 •^7-1 U
Если предположить, что дисперсии всех измерений одинаковы, т.е.
i f - г 2 , то легко убедиться в том, что
V
Pi =
"о + и
Отсюда следует, что в условиях, когда априорная дисперсия сущест-
2
венио больше дисперсии измерений, т.е. при PQ » г , выражения для
коэффициента усиления и апостериорной дисперсии могут быть опреде-
1
г2
1
лены как К( =- ,
Р/
, и таким образом, х. = х._х+ —{у( ~
i
l
i
Как и следовало ожидать, последнее выражение в этом случае пред ставляет собой рекуррентную формулу вычисления среднего арифмети ческого (2.6.20).
На рис. 3.2.3 приведены реализации ошибок фильтрации и соответст
вующие утроенные расчетные значения ее СКО в виде ± 3 (а , =т[Р(),
2
2
= 1.
для случая Р0 = O Q = l y г
Рис. 3.2.3. Реализации ошибок фильтрации и соответствующие утроенные значения СКО при оценивании постоянной величины
Как следует из графика, величина СКО ошибки оценивания неограни ченно уменьшается, в данном случае на рассматриваемом интервале вре мени, достигая уровня примерно 0,1.
П р и м е р 3.2.3. Пусть требуется решить задачу фильтрации вине-
ровской последовательности xi = + wi по измерениям y i = xf + vf-,
2
в которых XQ - центрированная случайная величина с дисперсией а 0 ;
Wj, vf- - независящие друг от друга и от XQ центрированные дискретные
белые шумы такие, что М {v,Vy} = 8уГ2 , M {w (Wj} = b^q2 [50, с. 215].
В данном случае Ф = Я = 1, Г = 1. Несмотря на то что оцениваемый параметр здесь изменяется, выражения для оценок будут иметь тот же вид, что и в предыдущем примере, т.е.
Je... ,
= Je. . ;
Je. =
Je. , +
К.(у. -
Je. ,) .
i / 1 — 1
I —1 5
l
1 - 1
l
1 - 1 '
Для дисперсии ошибок прогноза и дисперсий ошибок оценок будем иметь следующие выражения:
Pm-X -
Pi- 1 + я ‘
(
P
^
f
Pi - PiH-1
J
r f/M
или /*/
+ ^ 2 ]
Рщ~\
J
^•_1 + 9 2 + r 2
На рис. 3.2.4 представлены результаты решения задачи фильтрации винеровской последовательности на интервале 20 с при q =1, 2 г= 4 в виде реализации ошибок фильтрации и соответствующих утроенных значений СКО (±3(а; = при разных значениях Р0 = CTQ .
а- стационарный случай, дисперсия ошибки постоянна; б - дисперсия ошибки увеличивается и выходит на установившееся значение; в - дисперсия ошибки
уменьшается и выходит на установившееся значение
♦
П р и м е р 3.2.4. Получим соотношения ФК для рассмотренной в примере 3.2.1 задачи фильтрации скалярной стационарной экспоненци ально-коррелированной последовательности, имеющей корреляционную
функцию k(i - j ) = o 2e~a\l~^ [14, с.4.16].
С учетом примера 3.1.6 уравнения (3.2.21), (3.2.22) в данном случае конкретизируется следующим образом: лг£- = Фхм + ws ; ух = + vi ,
где Ф = е ~а , х 0 - центрированная случайная величина с дисперсией
PQ = а~ , a Wj, Vj —независящие от xQ центрированные дискретные бе
лые шумы с дисперсиями q 2 = сг2( 1 —е~2а)и г 2 соответственно.
Уравнения для блока прогноза здесь могут быть записаны как:
=Ф* м ; Рш-\ = ф2ры +Ч2’
ауравнения для оценок и дисперсий их ошибок - в виде:
х. = Фх. , + К.(у. - Фх. ,)
I
1-1
1^1
1-1'
Pi =Г 1
-1
(
4-1
+ О
—
, где Kf = Д -
к.РШ-\
Г2 ;
\ф 2ъ-1+я2
rz
На рис. 3.2.5 представлен пример реализаций ошибок фильтрации экспоненциально-коррелированной последовательности и соответст
вующих им утроенных расчетных значений СКО в виде ± 3 (а/ = -/^ ~ ),
при а = 0,1, сг=1 м, q 2 = 1 ( 1 - е
О,2) = 0,2 м: и двух значениях диспер
сии ошибок измерения: г 2 = 1 м 2 (л) и г1 —(О Д )2 м 2 (б).
а)
6)
Рис. 3.2.5. Реализации ошибок фильтрации экспоненциально-коррелированной последовательности и соответствующих им утроенных расчетных значений СКО при разных уровнях ошибок измерения ♦
Как видно из графиков дисперсии достигают некоторых уста новившихся значений, величина которых существенным образом зависит от уровня ошибок измерения и порождающего шума. Причины и возможность наличия установившегося значения об суждаются далее.
Вычитая из уравнения формирующего фильтра (3.2.21) значе ния оценок (3.2.28), (3.2.30), нетрудно получить уравнения для ошибок прогноза и ошибок оценок, вырабатываемых ФК:
Из последнего уравнения, в частности, следует, что ошибка ли нейной оптимальной оценки является марковской последователь ностью и для нее справедливо следующее рекуррентное соотно шение:
в котором в правой части присутствуют как порождающие шумы, так и шумы измерения.
В том что для матриц ковариаций ошибок (3.2.35), (3.2.36) бу дут справедливы соотношения (3.2.29), (3.2.32) или что то же са мое (3.2.34), нетрудно убедиться непосредственно (см. задачу 3.2.1), используя выражение для коэффициента усиления (3.2.31).
Ясно также, что для оценок, отыскиваемых с помощью ФК, бу дет выполняться условие ортогональности (3.2.15)
(3.2.38)
Любопытно отметить, что (см. задачу 3.2.3)
Важную роль при анализе свойств оценок ФК играет невязка измерения, которая в рассматриваемом случае определяется как
ъ = у , - и ? ф - Ш -
<3-2 -40’
Эта последовательность обладает весьма важным свойством, заключающимся в том, что она представляет собой дискретный центрированный белый шум, т.е.
м { \ 1 щ } } = 6 у Ц ,
(3.2.41)
где
Z, = H iPi/i_iH j + R t .
(3.2.42)
Тот факт, что матрица ковариаций невязки определяется соот ношением (3.2.42), доказывается весьма просто (см. задачу 3.2.2).
Убедимся
в
справедливости
(3.2.41).
Поскольку
Т0"РИi <
‘
' ' м г , № - " л „ - д - . ) М = м г,_,м г , / г ,
_
, ° -
т.е.
М\
(3.2.43)
г||-1гУ/ }= 0, для у < /
Аналогично м|р,ру-1=0, для j < i
Если j
> i , то такое равен
ство легко
получить, убеждаясь в том, что
|= 0 . Таким
образом, последнее равенство справедливо для любых, несовпа дающих j и i , а следовательно, справедливо и (3.2.41). Из дока
занного утверждения в сущности вытекает, что случайная после довательность у,- с помощью соотношения (3.2.40) преобразуется в белый шум. В связи с этим такая операция называется иногда выбеливанием.
Из (3.2.40), (3.2.43) следует, что невязка, соответствующая те кущему моменту времени, ортогональна набору предыдущих из
мерений l^_i =(у1 )T,-i)
а текущее измерение может быть
представлено в виде суммы
у. = Н.х... (Y.
) + ц ..
* \
I t /f-1 ' 1-1 /
Г t
Заметим, что выражение для оценки, вырабатываемой в фильт ре Калмана, может быть записано как сумма двух слагаемых
(3.2.44)
одно из которых представляет собой линейную комбинацию набо
к J^_, Так как в этом векторе и содержится новая информация,
которой нет в Y{_ i , именно за счет использования р,- и происходит обновление информации, что и объясняет используемый для не вязки (3.2.40) термин - инновационная, или обновляющаяся по следовательность (innovations sequences [109, с.317]).
♦ П р и м е р 3.2.5. Конкретизируем приведенные уравнения для ошибок оценивания применительно к задаче фильтрации постоянной ве личины и винеровской последовательности.
Для постоянной величины:
~ s /-i ’
Для винеровской последовательности:
г ш-\ = s i~ \+lv/ ;
Любопытно отметить, что невязка измерения, формируемая как раз ность между измеренными значениями и текущей оценкой
в отличие от невязки, формируемой как разность между измеренными значениями и оценкой прогноза, уже не является белым шумом. ♦
