книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdfВ блоке 1 осуществляется моделирование используемых в (2.5.33), (2.5.34) реализаций оцениваемого параметра и вектора измерений. Это делается на основании имеющейся априорной ин формации (блок 2) в виде совместной ф.п.р.в. / (х, v) и соотноше
ний (2.1.21) с помощью соответствующего датчика случайных чи
сел. При этом, как правило, сначала формируются |
xJ , а затем |
т |
|||
независимых между собой случайных величин v/ |
Компоненты |
||||
вектора |
измерений |
YJ, = ()’{,—.у/,,)Т |
формируются |
как |
у{ - s(xy ) + v/ , / = 1 .in , j =1 .L. Далее каждый набор измерений
Ytl , y' = l.I, поступает в блоки 3 и 4, соответствующие субопти
мальному и оптимальному алгоритмам. В этих блоках отыскива ются оценки (Yj:) и диагональные элементы расчетных матриц
ковариаций P^(YJ ). С использованием оценок вычисляются их
m
ошибки £^(Yj) —xJ —x^(Yj) , которые затем совместно с
P^(YJ ) поступают в блоки 5 и б для проведения осреднения со гласно соотношениям (2.5.33), (2.5.34). В результате на выходе
получаем Gsub[/c,A:], Gopl[/c,/c] и Р^\к,к\, \\ =opt,sub Иногда при
анализе эффективности алгоритмов используют нижнюю границу точности, которая вычисляется в блоке 7 , так как это описано в следующем подразделе. В зависимости от вида исследуемого ал горитма некоторые блоки могут быть не задействованы. Так, к примеру, для линейного оптимального и линеаризованного алго ритмов достаточно один раз вычислить расчетную дисперсию, по скольку их характеристика точности от измерений не зависит, т. е. рпш (уу ) _ рлин (;м) , = что является следствием
линейной зависимости этих оценок от измерений.
♦ П р и м е р 2.5.3. Проведем согласно описанной методике сопос тавление рассмотренных ранее различных алгоритмов применительно к
задаче оценивания частоты по измерениям: ^ =sin(jc^) + v/ , z=l . m,
при тех же предположениях о свойствах ошибок измерения и неизвест ной частоты ш = х , что и в примере 2.5.2.
Конкретизацию алгоритмов калмановского типа легко провести, если учесть, что s(x) = (sin(AT1),...,sin(xf„,))T, R = r 2Em, Рх =а^ . При полу
чении линеаризованного и итерационного алгоритмов в соотношениях (2.5.24), (2.5.25) следует учесть, что
(я *1)1 = [cos(**V1),...,c o s (*% I )]r
рй _ |
2 |
2 |
а 0’ |
|
т
г2 + aj) jT co s2 *^- /=1
При этом в линеаризованном алгоритме |i = лин необходимо принять
хЛ1Ш= х , а в итерационном - для каждой у-й итерации Xм = х ^ , у = 0,1,2,... £(0) = х Величины (2.4.23)-(2.4.25), необходимые для реа
лизации линейного оптимального алгоритма, с учетом равномерного ха рактера распределения х могут быть вычислены в этом примере анали тически. В частности, для компонент у будем иметь
ли" - i - Y si**., Яг= 1 COsix™ ,‘) - |
J |
, / = тЛП, |
||
^ -vmin |
^ I |
*i |
|
|
где Д = л'тах - л*т1п |
Аналогичным образом могут быть получены выра |
жения и для остальных величин.
При проведении расчетов реализации xJ е [-vmin,-cmax] моделирова лись в соответствии с равномерным законом распределения, а ошибки измерения, как гауссовские, т. е. vj e N ( v t ;0, г 2). Компоненты вектора
измерений Yjt = ( у { 9....yfn) T формировались, как |
у / = sin(x-,'f/) + v /, |
|
i = l.m , j = l . L . Расчетные характеристики точности |
(ам(ш)); |
) |
вычислялись для всех алгоритмов.
В табл. 2.5.1 и на рис. 2.5.5 приведены результаты вычисления безус ловных среднеквадратических действительных и расчетных ошибок оце
нивания сти (/л ) = Л/ с м(/н) И G»(m) =yl?*(т) ( ц = opt,лин, iter, 1in ) |
для тех |
же условий, что и в примере 2.5.2, т. е. при времени наблюдения |
Т = 2 с |
с шагом 0,2 с ( пг = 25 ), /-1 рад/с. Число итераций у в итерационном ал
горитме равнялось 4. Величина L, определяющая число моделируемых реализаций, принималась равной 1000-3000.
Значения безусловных средиеквадратических действительных
(числитель) и расчетных и G,u ( знаменатель) ошибок оценивания в задаче определения частоты
N |
G0 , рад/с |
Ц = ЛИН |
р = iter |
ji = lin |
|i = opt |
|
|||||
1 |
г = 1,0 |
0,07/0,07 |
0,07/0,07 |
0,07/0,07 |
0,07/0,07 |
0,1 |
0,011/0,009 |
0,009/0,009 |
0,01/0,01 |
0,009/0,009 |
|
|
г = 0,1 |
||||
2 |
0,3 |
0,15/0,09 |
0,10/0,09 |
0,13/0,13 |
0,09/0,09 |
J |
1,0 |
0,99/0,09 |
1,02/0,09 |
0,58/0,58 |
0,24/0,24 |
Значения а "к'(/и) = o 0pt (ш), вычисляемые с помощью метода МонтеКарло, рассматривались как величины, характеризующие потенциальную
точность оценивания. Заметим, что результаты расчетов а Л1К(т) показа
ли также ее совпадение с с лк(т), т. е. <з‘ик(т) = о'"к(т), что служит до
полнительным обоснованием возможности использования <г’/А(м) в ка честве характеристики потенциальной точности.
Расчеты проводились при разных значениях а0: 0,1, 0,3, 1,0 рад/с. Из представленных результатов следует, что в рассматриваемом примере для принятых исходных данных все алгоритмы калмановского типа эф фективно работают при <т0 < 0,1 рад/с. При этом вырабатываемая в них расчетная характеристика точности практически адекватна действитель ным значениям среднеквадратических ошибок, т. е. <ту(ш) = стм(/«) =
с7opl (м), ц = лин, iter, lin . При увеличении уровня априорной неопределен
ности до с 0 = 0,3 рад/с эффективность линеаризованного алгоритма за
метно снижается, в то время как итерационный алгоритм все еще обеспе чивает точность, близкую к потенциальной. При дальнейшем увеличении
уровня |
априорной неопределенности возникают проблемы. Так, при |
G 0 = 1 |
Рад/С линеаризованный и итерационный алгоритмы в принципе |
оказываются неработоспособными - соответствующие им действитель ные среднеквадратические ошибки при увеличении числа измерений увеличиваются. При этом расчетные значения среднеквадратических ошибок уменьшаются почти на порядок и отличаются от действительных (рис. 2.5.5, а). В таких случаях говорят, что алгоритмы расходятся.
Факт неудовлетворительной работы линеаризованного и итерацион
ного алгоритмов при а 0 > (ОД - 0,3) рад/с является следствием многоэкс
тремального характера апостериорной плотности. По сути, эти алгорит мы направлены на поиск экстремума апостериорной плотности. При этом найденный экстремум может быть локальным, что и приводит в резуль тате к большим ошибкам.
Что касается линейного оптимального алгоритма, то и он при увели чении уровня априорной неопределенности а0 > (0,1 - 0,3) рад/с заметно
проигрывает но точности оптимальному алгоритму (рис. 2.5.4, б). Более того, при а0 = 0,3 рад/с он проигрывает по точности и итерационному
алгоритму. Однако в нем в отличие от линеаризованного и итерационно
го алгоритмов, как и следовало ожидать, a lin (т) - c lin(/и) вне зависимо
сти от величины а 0 , т. е. расчетная и действительная среднеквадратиче
ские ошибки между собой согласованы.
а) |
б) |
Рис. 2.5.5. Действительные и расчетные среднеквадратические ошибки оценок для линеаризованного и итерационного алгоритмов (а) и оптимального
и линейного оптимального алгоритмов (б)
Увеличение ошибки оценивания при использовании линейного опти мального алгоритма по сравнению с нелинейным обусловлено, вопервых, заменой нелинейной функции линейной, а во-вторых - появле нием дополнительной ошибки измерения, обусловленной такой заменой. На рис. 2.5.6 представлены примеры графиков нелинейной функции sin (7 л;) и соответствующих линейных аппроксимаций у(Т) + Н(Т)(х-х) для двух различных моментов времени проведения измерения Т. Здесь же указаны среднеквадратические значения дополнительной ошибки изме-
рения |
= 4 р ^ |
Рис. 2.5.6. Нелинейная функция (7) и ее линейное представление (2) при разных значениях Т
Из этих графиков следует, что возможны случаи, при которых значе ние Н(Т) становится равным нулю, что в принципе делает невозможным уточнение при использовании такого рода линейных измерений.
П р и м е р 2.5.4. Проанализируем эффективности использования ал горитмов калмановского типа применительно к навигационной задаче определения координат по точечным ориентирам. Постановка и различ ные варианты решения этой задачи уже обсуждались в подразделах 2.1.5-2.1.8, 2.2.5, 2.2.6 и 2.3.4. Ранее при ее формулировке при введении измерений (2.1.16) предполагалось наличие в общем случае m ориенти ров, причем считалось, что до каждого из них проводится по одному из мерению. Здесь будем полагать, что ориентиров всего два, а величина m
определяет число пар измерений до этих ориентиров. При сделанных предположениях для измерений удобно ввести следующие обозначения:
Уис= Sik( * ) + Vik= Ах\ ~Х\] +{2~xl f + Vik.
где i = l.m, x f , x f - координаты точечных ориентиров; к = 1,2, х 15х 2 -
неизвестные координаты объекта.
Будем полагать, что х - центрированный гауссовский вектор с мат
рицей ковариаций |
Р х =<з\Ег , а ошибки измерения v,- =[v,-j, |
]т |
цен |
трированные гауссовские, некоррелированные между собой и от |
х |
слу |
|
чайные векторы с |
матрицами ковариаций р = г 2Е-,. При выполнении |
расчетов предполагалось, что объект находится в окрестности начала координат, а координаты точечных ориентиров определены как:
xl = [p50]г , л*2 = [о, p]r , при этом величина p принималось равной 3000 м, а г = 30м (0,01 р).
Конкретизацию линеаризованного и итерационного алгоритмов легко провести, если учесть выражения (2.1.28)-(2.1.31) и соотношения из примера 2.2.9. Число итераций в итерационном алгоритме равнялось 5-10. Величины (2.4.23)-(2.4.25), необходимые для реализации линейно го оптимального алгоритма, вычислялись с использованием метода Мон те-Карло с числом реализаций L UK= 3000. Оптимальная оценка (2.5.2)
также отыскивалась методом Монте-Карло, при этом LytK=106 Число реализаций, используемых для осреднения при получении диагональных элементов безусловных расчетных и действительных матриц ковариаций, равно 500-100. При сопоставлении алгоритмов вычислялись диагональ ные элементы расчетных и действительных матриц ковариаций в соот ветствии с описанной выше процедурой. При синтезе алгоритма в той или иной задаче всегда оказывается полезным анализировать возможное поведение апостериорной плотности. В рассматриваемом случае эта плотность конкретизируется к виду
д х / ут} = е*р{Л*Л,)Я-У)} ; | ехр{/(х, Y„, )f(x)}dx
1 |
ut |
2 |
где Дх,Ут) = ~ ^ |
^ |
( у 1к - s ik(xl,.x2))2 f(x) = N(x;0,croE2). |
2 ' - |
ы |
A-=1 |
На рис. 2.5.7 приведены графики апостериорной плотности для раз ных уровней априорной неопределенности 500 и 1400 м в предположе нии, что проведено одно измерение. Из представленных рисунков следу ет, что в зависимости от уровня априорной неопределенности задача оп ределения координат по точечным ориентирам может быть отнесена либо
к задачам с несущественными нелинейностями (при а 0 = 500 м апостери
орная плотность одноэкстремальна), либо к задачам с существенными
нелинейностями (при с 0 =14000 м апостериорная плотность имеет два
экстремума).
На рис. 2.5.8 и в табл. 2.5.2 приведены результаты расчета безуслов
ных среднеквадратических действительных а м(л;) и расчетных 5*1(ш)
ошибок оценивания, соответствующих оптимальному, линейному опти мальному, линеаризованному и итерационному алгоритмам, при различ ных значениях числа измерений для одной из компонент оцениваемого
вектора |
при разном уровне априорной неопределенности. Для второй |
компоненты они имеют аналогичный вид.
Рис. 2.5.8. Действительные и расчетные срсднеквадратические ошибки оценок при сг0 = 500 м для линеаризованного и итерационного алгоритмов (я)
и для оптимального и линейного оптимального алгоритмов (б)
♦
Результаты, полученные в рассмотренных примерах, позволяют сделать следующие выводы.
Алгоритмы калмановского типа, основанные на использовании того или иного линейного представления нелинейной функции могут быть эффективными лишь при решении задач с несущест венными нелинейностями, т. е. в тех случаях, когда апостериорная плотность одноэкстремальна. При этом наибольшую точность, близкую к потенциальной, обеспечивает, как правило, итерацион ный алгоритм. Его недостаток заключается в том, что вырабаты ваемая в таком алгоритме расчетная характеристика точности не всегда совпадет с действительной точностью. От этого недостатка свободен линейный оптимальный алгоритм, который, однако, по точности может уступать итерационному алгоритму. Отмеченные особенности создают предпосылки построения эффективных алго ритмов, основанных на комбинированном использовании линей ного оптимального и итерационного алгоритмов. Обсуждение возможных вариантов построения таких алгоритмов и анализ их эффективности выходит за рамки настоящей книга.
В задачах с существенными нелинейностями, т. е. при много экстремальном характере апостериорной плотности, порожденным
сложным нелинейным характером функции s(x) , алгоритмы калмановского типа значительно проигрывают в точности оптималь ному алгоритму, что вполне логично, поскольку эти алгоритмы основаны на замене этой нелинейной функции с помощью того или иного ее линейного представления.
При сопоставлении алгоритмов, как уже отмечалось, важным является объем вычислений, необходимый при их реализации. Цель этой книги - ознакомить с основными подходами к построе нию алгоритмов оценивания, и подробное обсуждение вопросов вычислительной сложности не предполагается. Тем не менее сле дует заметить, что с точки зрения объема вычислений при реали зации алгоритмов в порядке его возрастания можно следующим образом расставить алгоритмы: линейный, итерационный, опти мальный линейный, метод Монте-Карло, метод сеток.
В заключение еще раз отметим, что принципиальным моментом при решении задач оценивания в рамках байесовского подхода является тот факт, что при разработке алгоритмов появляется воз можность указать и определить «систему отсчета» для анализа их эффективности, в качестве которой выступает безусловная матри ца ковариаций, соответствующая оптимальной оценке и характе ризующая потенциальную точность. Это обстоятельство в полной мере проявилось и при рассмотрении приведенных выше приме ров.
2.5.7. Приближенные методы анализа потенциальной точности при решении нелинейных задач
Для сопоставления алгоритмов и решения задачи анализа по тенциальной точности требуется умение вычислять безусловную матрицу ковариаций (2.5.5), соответствующую оптимальной оцен ке. Непосредственное вычисление этой матрицы на основе метода статистических испытаний с использованием соотношения (2 .5 .3 3 ) представляет собой достаточно трудоемкую операцию, требую щую большого объема вычислений. В связи с этим в нелинейной задаче весьма важной оказывается возможность проводить при ближенный анализ точности с использованием более простых процедур. Одна из них основана на вычислении матрицы, характе ризующей нижнюю границу точности. Уместно заметить, что при