книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Наибольшее применение при решении задач обработки избы­ точной навигационной информации получила рекуррентная схема. Суть этой схемы заключается в том, что искомая оценка получает­ ся не в результате обработки всего набора измерений, а формиру­ ется путем последовательной обработки каждого имеющегося из­ мерения и результатов, полученных на предыдущем шаге обработ­ ки. Соответствующие алгоритмы получили название рекуррент­ ных алгоритмов.

Идею получения таких алгоритмов легко пояснить на простей­ шем примере оценивания скалярной величины по скалярным из­ мерениям

y t = x + vr

Если считать, что ошибки измерения представляют собой не­ коррелированные случайные величины с одинаковыми диспер­ сиями, то в этом случае оценку, соответствующую, например, ОМНК можно определить в виде среднего арифметического нако­

i

По аналогии получим рекуррентный алгоритм применительно к рассмотренной в предыдущем подразделе задаче, полагая, что из­ мерения от каждого датчика поступают в схему обработки после­ довательно. Введем оценку и матрицу ковариаций ее ошибок, со­ ответствующую обработке i -1 -го измерения в виде

из которых с очевидностью вытекают искомые рекуррентные со­ отношения:

Важно подчеркнуть, что эти соотношения носят рекуррентный характер как для оценки, так и для матрицы ковариаций. Если вве­ сти матрицу

Принимая во внимание выражения (1.4.25), (1.4.27), матрицу ковариаций ошибок оценивания Р( и матрицу К; можно вычис­ лять как

P i = P,_, - Pi~\Hj (H HJ +Riy lHiPi_l = ( E - K tHt)Pi_l ,(2.6.27)

Как будет показано в следующей главе, фактически это есть со­ отношения фильтра Калмана для рассматриваемой здесь задачи оценивания постоянного вектора.

2.6.5. Разностная схема обработки

При решении задач обработки навигационной информации не­ редко приходится сталкиваться с задачами, отличительная особен­ ность которых заключается в том, что ошибки используемых из­ мерений содержат одинаковую для всех систематическую состав­ ляющую. При решении задач такого рода нередко используют раз­ ностную схему обработки, суть которой заключается в преобразо­ вании исходных измерений таким образом, чтобы исключить эту составляющую ошибки. Типичным примером здесь являются сформулированные в 2.1.5 и 2.1.6 задачи определения координат места по точечным ориентирам и спутниковым данным. Проана­ лизируем возможные пути решения задач, особенность которых заключается в наличии систематической ошибки измерения с ис­ пользованием рассмотренных в предыдущих разделах методов, и сопоставим получающиеся при этом алгоритмы с теми, которые применяются на практике. Будем полагать, что требуется найти оценку п-мерного вектора х по скалярным измерениям

случайной величины d с дисперсией o d и некоррелированных между собой и от d центрированных случайных величин с одина­

ковыми дисперсиями rf = г2, г = 1 .т Задача такого рода уже рас­ сматривалась ранее в подразделах 2.2 (задача 2.2.6), 2.3 (задача 2.3.1), 2.5 (задачи 2.5.3, 2.5.4). Обсудим здесь более подробно воз­ можные подходы к получению алгоритмов нахождения вектора х .

В а р и а н т 1. Один из возможных подходов основан на расширении вектора состояния X =(xl,x2,x3)Т =(xT,d)T, т.е.

на включении d в состав отыскиваемых параметров. В этом слу­ чае задача сводится к оцениванию вектора X по измерениям

Уг =Si(X) + V;,i = \.m,

где Sj (X ) = Si (x) +d . При построении алгоритма можно исходить,

например, из идеологии метода наименьших квадратов. Учитывая введенные предположения и вводя предположение о случайном характере систематической составляющей ошибки, при нахожде­ нии вектора X можно использовать критерий смешанного типа, который относительно систематики соответствует ММНК

Алгоритм, получаемый в результате минимизации этого крите­ рия, обеспечит нахождение как оценки х , так и оценки d

Если ввести предположение о случайном характере вектора х, полагая его некоррелированным с v и для определенности цен­

трированным с матрицей ковариаций Рх =а$Е2, то при построе­ нии алгоритма разумно исходить из минимизации критерия, соот­ ветствующего ММНК по всем компонентам X

j “ ( х ) = 4 + 4 + 4 + -V Ê о-, - s, « - d? °d r f=i

Введение предположения о случайном характере х позволяет получать алгоритмы в рамках байесовского подхода. В частности, если условия задачи обеспечивают возможность применения алго­ ритмов, основанных на линеаризации, то, проведя такую линеари­ зацию, нетрудно их конкретизировать, например, в виде одного из алгоритмов калмановского типа.

В а р и а н т 2. Этот вариант построения алгоритмов основан на том факте, что систематическая составляющая ошибки d явля­ ется мешающим параметром и получение его оценки интереса не представляет. В этом случае задача сводится к оцениванию векто­ ра х по измерениям у,• = s{(х) + s ,, / = 1 .т, где е,- = d + v,-.

Принимая во внимание соотношения (3) из задачи 2.3.1 и ори­

ентируясь на ОМНК при Q = (Re)~}, можем записать соответст­ вующий этому методу критерий в вид

который по понятным причинам совпадает с соотношением (6) задачи 2.3.1.

Легко показать, что оценки х, соответствующие критериям (2.6.30) и (2.6.31) между собой будут совпадать. Для этого необхо­ димо взять производную для (2.6.30) по л'3 = d , приравнять ее к

нулю, разрешить уравнение относительно d , подставить получен­ ный результат в критерий (2.6.30) и убедиться, что полученное выражение будет совпадать с критерием (2.6.31), см. задачу 2.6.6.

Далее будем полагать выполненным условие o 2d » г2 озна­

чающее, что априорной информацией о величине d можно пре­

или

вектора ошибок разностных измерений. Принимая во внимание соотношение (П 1.1.59), для матрицы, обратной (2.6.43), запишем равенство

с использованием которого критерий, соответствующий ОМНК для измерений (2.6.39), можно представить в виде

Возникает вопрос о взаимосвязи оценок, получаемых с исполь­ зованием преобразованных и исходных измерений. Разумно пред­ положить, что эти оценки эквивалентны, в чем можно убедиться путем преобразования критерия (2.6.44) к виду (2.6.31). Но эта эк­ вивалентность может быть установлена и из иных соображений, если учесть, что рассматриваемые алгоритмы вычисления оценок, не зависят от линейных невырожденных преобразований по отно­ шению к используемым измерениям (см. задачу 2.2.8).

Введем вектор преобразованных измерений в виде

Это преобразование не вырождено, причем (т -1) -я компонен­ та преобразованного вектора совпадет с вектором измерений (2.6.39), а последнее измерение

у,„ - s„Xx ) +уш+^

в (2.6.39) не используется; оно может рассматриваться как измере­ ние величины Л = (^,„(х) + v,„), фигурирующей в правой части каждой компоненты преобразованного вектора

Й= * /(* )-'П + V/,

сошибкой измерения, равной d , т. е.

Ут S Ут. =r\ + d .

299

измерение можно не учитывать.

Из сказанного следует, что решение задачи с использованием исходных измерений (2.6.29) можно рассматривать как решение задачи с использованием разностных измерений (2.6.45), получен­ ных из исходных измерений путем невырожденного преобразова­ ния. Отсюда и следует совпадение получаемых оценок.

Выше было показано, что решение исходной задачи с исполь­ зованием измерений (2.6.29) совпадает также с решением другой задачи - с использованием измерений (2.6.35), в которых ошибки измерения считаются между собой некоррелированными. Вместе с тем измерения типа (2.6.35) могут быть получены из исходных из-

ясно, что матрица ковариаций ошибок измерения, соответствую­ щая преобразованному вектору не будет диагональной, т.е. появ­ ляется зависимость компонент вектора ошибок преобразованных измерений. Возникает вопрос, почему при использовании таким образом преобразованных измерений тем не менее допустимо ис­ ходить из предположения о независимости ошибок измерения? Объясняется это тем, что рассмотренное преобразование является вырожденным. Учет этого обстоятельства при получении проце­ дуры оценивания и приведет в результате к алгоритму, соответст­ вующему использованию измерений (2.6.35). В этой связи можно отметить, что использование разностных измерений в виде (2.6.35) оказывается предпочтительнее в вычислительном плане, по срав­ нению со случаем использования измерений (2.6.39), поскольку не требуется обращения матрицы ковариаций.

♦ П р и м е р 2.6.2. Пусть требуется найти оценку скалярной вели­ чины х по измерениям

в которых х и d - центрированные некоррелированные между собой случайные величины с дисперсиями al и oj, a v;-, i = l.m - некоррели­ рованные между собой и от d и х центрированные случайные величины

с одинаковыми дисперсиями г 2