книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания
.pdf3.1.2. Стационарные случайные последовательности. Дискретный белый шум
Рассмотрим некоторые наиболее распространенные типы слу чайных последовательностей. Зафиксируем моменты времени в порядке их возрастания и сопоставим им в соответствие значения последовательности xj,x2 ..... xk. . Важным классом случайных по
следовательностей являются стационарные случайные последо вательности.
Стационарной в широком смысле называется такая последо вательность, у которой математическое ожидание от времени не зависит, а корреляционная функция зависит от разности (г - j) :
Xj = х ;
k{i - j) = М{(ху - х,-)(xj - xj У }
Из последнего соотношения также следует независимость от времени дисперсии стационарной последовательности, поскольку
<т2 = / с ( 0 ) .
Если перечисленные свойства не выполняются, то последова тельность называется нестационарной.
Стационарной в узком смысле является такая последователь ность, для которой плотность /(Х ],,....хк) , введенная для любого конечного набора значений процесса, при одновременном измене нии всех моментов времени на некоторую величину ц не изменя ется, т.е. Д х ,,,....хк) = Д х 1+И „.... хА-+ц)
Последовательность, у которой математическое ожидание ну левое (х = 0), называется центрированной. Реализации, пред ставленные на рис. 3.1.1, соответствуют центрированной последо вательности. Пример реализации нецентрированной случайной последовательности приведен на рис. 3 .1 .2 .
Понятно, что нецентрированная случайная последовательность, у которой математическое ожидание непостоянно, является неста ционарной, так что реализация на рис. 3 .1 . 2 представляет собой пример нестационарной последовательности.
Рассмотрим последовательность, значения которой в разные моменты времени между собой независимы
к
/О ь* 2 > .... * * ) = П Я * у ) . |
(ЗЛ-7) |
Н
Рис. 3.1.2. Пример реализации нецентрированной случайной последовательности
Поскольку из условия независимости следует некоррелирован ность значений случайной последовательности, нетрудно понять, что корреляционная функция такой последовательности будет иметь следующий вид:
а д Л - o f S j, |
(3.1.8) |
где <,у - символ Кронеккера.
Последовательность, имеющая корреляционную функцию вида (3.1.8) называется дискретным белым шумом. Иными словами, дискретный белый шум это такая последовательность, значения которой в различные моменты времени между собой некоррелиро ванны. Если белый шум центрированный, а дисперсии для всех моментов времени одинаковы, то шум будет стационарным. При мер реализации такого шума представлен на рис. 3.1.3.
но определить ф.п.р.в. / ( х )5.... хк) для любого набора значений
последовательности в произвольные моменты времени, в том чис ле и для вектора, включающего значения последовательности во все предшествующие моменты времени. Иными словами, задание (3.1.1) и (3.1.3) обеспечивает полное описание его статистических свойств. Это есть следствие того факта, что гауссовская плотность полностью определяется двумя первыми моментами.
♦ П р и м е р |
3.1.1. Пусть для скалярной стационарной гауссовской |
|
последовательности заданы математическое ожидание х,- |
и корреляци |
|
онная функция |
k(i). Требуется записать плотность |
распределения |
f (Х[,х2,х 3 ) для вектора, составленного из значений последовательно
сти х = (х ,,х 2,х 3)т
Поскольку вектор х = (Х| ,х 2 ,х 3 )т гауссовский, то для отыскания со ответствующей ему ф.п.р.в. достаточно найти математическое ожидание
х = (xj, х 2, х3 )т и ковариационную матрицу |
|
|
|||
|
рх |
к( 0) |
k(tx - t 2) |
k(tx - t 3) |
|
|
k{t2 - t \ ) |
к(0) |
k(t2 - t 2) . |
||
|
|
||||
|
|
щ - h ) |
K t 2 - t 3) |
/с(0) |
|
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
Л |
х I :* 2>л'з) = N(xx,х 2, х 3 ;х ,, х 2, х3, Рх) |
♦ |
|||
3.1.3. Марковские последовательности |
|
|
|||
Рассмотрим |
скалярную последовательность х,- |
Зафиксируем |
моменты времени в порядке возрастания и сформируем вектор Х],х2.....хк . Для этого вектора может быть записана совместная плотность распределения вероятности / (Х],.... хк), для которой (см. задачу 3.1.1), как следует из формулы умножения плотностей вероятности (1.4.1), в общем случае справедливо представление
Л * i>....хк ) = Я хк 1 хк-\>хк-г,~х\)/(хк-\ /хк-2 ,хк-з.-х,)•••/(х,).(3.1.9)
При исследовании временных свойств последовательностей существенным является вопрос о зависимости статистических
дания и матрицы ковариаций для последовательности (3.1.11) оп ределяется с помощью рекуррентных соотношений:
* ,= ф л -,; |
(3.1.15) |
Р, - М |(х,- -* ,)(* , - * , ) Т} =Ф,Р^Ф] +Г(0,Г Л |
(3.1.16) |
позволяющих значения на текущем шаге вычислять с использова нием соответствующих значений на предыдущем шаге.
Из (3.1.15) с очевидностью следует, что последовательность, формируемая с помощью соотношения (3.1.11), при центрирован ном характере порождающих шумов будет центрированной, когда центрированным является вектор начальных условий.
При необходимости нетрудно, используя правила преобразова ния случайных векторов и соотношения (3.1.11), (3.1.12), получить
матрицу ковариаций />\ для составного вектора х ( -(.vo,.V|T,...,x/)T,
со значениями последовательности во все предшествующие мо менты времени, включая начальное значение (см. задачу 3.1.6).
Достоинство описания последовательностей с использованием формирующего фильтра (3.1.11) и соотношений (3.1.15), (3.1.16), заключается в том, что с их помощью рекуррентно может решать ся как задача формирования самой последовательности, так и за дача вычисления соответствующих ей расчетных статистических характеристик в виде математических ожиданий и матриц кова риаций. В частности, диагональные элементы матрицы ковариаций
определяют расчетные значения СКО ст;(у) = /)(У,у], / = 1.л для
каждой компоненты вектора состояния. С учетом сказанного фор мирующие фильтры (3.1.11) широко используются при решении прикладных задач для моделирования случайных последователь ностей. С этой целью необходимо, как это описано в разделе 1.5, с использованием датчика случайных чисел сформировать случай ный вектор л'0, векторы w,- и, привлекая рекуррентные соотноше ния (3.1.11), получать необходимые значения реализаций, форми руемых в общем случае с использованием соотношения
г/=Я,.лу. (3.1.17)
Далее, если это особо не оговаривается, при рассмотрении при меров получения реализаций с помощью формирующих фильтров для определенности предполагается, что используется датчики га уссовских случайных величин.
♦ П р и м e p 3.1.2. Частным случаем последовательности (3.1.11) является последовательность, в которой отсутствуют порождающие шу мы, т.е. последовательность вида
(3.1.18) Для определения ее математического ожидания необходимо исполь зовать (3.1.15), а матрица ковариаций в этом случае может быть найдена, если задаться матрицей ковариаций в начальный момент времени Р0 и
выражением Pj = O iPj_id>]
Если матрица Ф, - единичная, т.е. Ф,- = Е , то в результате получаем
последовательность |
|
*/ = х м , |
(3.1.19) |
представляющую собой постоянный вектор, с математическим ожидани ем х0 и матрицей ковариаций Р0 .
П р и м е р 3.1.3. Если в уравнении формирующего фильтра (3.1.11)
Ф, = Е и имеются порождающие шумы, причем Г, = Е , то тогда
Xj = + Wj (3.1.20)
Ясно, что такая последовательность может быть представлена в виде суммы двух некоррелированных между собой слагаемых, одним из кото рых является постоянный случайный вектор, а другим - сумма некорре лированных между собой значений дискретного белого шума от первого до текущего моментов времени, т.е.
|
/ |
|
х,- = х0 + |
Wj |
(3.1.21) |
|
7=1 |
|
Поскольку порождающий шум считается |
центрированным, то |
Xj = х 0, для любого i Соотношение (3.1.16) в данном случае конкрети
зируется как
Pj = Pj-\ + Q i .
Если матрицы ковариаций для порождающего шума постоянные, т.е.
Qi = Q , то это позволяет записать |
|
P i= P 0 +iQ |
(3.1.22) |
Из последних двух соотношений следует, что, несмотря на постоянст во матриц, определяющих формирующий фильтр, получающаяся после довательность не является стационарной, поскольку соответствующая ей матрица ковариаций при увеличении времени также увеличивается.
Последовательность (3.1.20) называется последовательностью с не коррелированными приращениями. Это определение есть следствие
того, что для нее приращения (х,- - Xj ) на непересекающихся интерва
лах времени между собой некоррелированны. В этом легко убедиться, поскольку на таких интервалах приращения определяются значениями белого шума, соответствующими различным моментам времени. Если все векторы гауссовские, то такие приращения будут между собой независи мыми, а последовательность (3.1.20) будет называться последовательно стью с независимыми приращениями.
В скалярном случае последовательность (3.1.20) называется винеровской последовательностью. В англоязычной литературе для нее исполь зуется термин (random walk - случайное блуждание).
П р и м е р 3.1.4. В разделе 2.1 главы 2 приводился пример описа ния изменения высоты за время проведения измерений в виде
hg = х 0 + Vtg, / = Ь Й , |
(3.1.23) |
где Xg, V - начальная высота и вертикальная скорость, полагаемая по
стоянной; /,• = (/ - 1)Дt - моменты времени от начала наблюдения.
В главе 2 такая модель изменения высоты сводилась к заданию двух неизвестных величин. Покажем, что эту модель можно получить и с ис пользованием формирующего фильтра. Введем вектор состояния
xi = 0/1 •xi2У |
= О / >*0Т |
(3 ! -24) |
||
Поскольку |
|
|
|
|
V |
‘1 |
At' |
A7-U |
|
-А"/2_ |
0 |
1 |
а7-,,2 _ |
|
где At - интервал проведения измерений, то при Г; = 0 , Н ( = [l,0], |
||||
Ф/ = |
'1 |
At' |
|
(3.1.25) |
О |
|
|
||
|
|
|
||
получим |
|
|
|
|
2/ = HjXi = [l,0]xf = hj. |
(3.1.26) |
Если задаться матрицей ковариаций для начального момента времени в виде
\ 2 |
л |
ио |
|
о |
|
то, используя (3.1.16), нетрудно убедиться в том, что
= /^[U] = erg + [(/ - 1)Д/]2 •