книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Из приведенного определения следует, что операция умножения кор­ ректна только в случае, когда число столбцов матрицы, стоящей в произ­ ведении на первом месте, равно числу строк матрицы, стоящей на втором месте, т.е. когда

V___

Будем говорить, что в этом случае размерности матриц согласова­ ны. В результате умножения 1 х п строки ат на /г х 1 столбец b получа­

ределениями нормы вектора, а также нормы матрицы можно ознакомить­ ся в работе [8].

В общем случае операция умножения матриц некоммутативна, т.е.

А В ф ВА.

Если операция перестановки справедлива, то матрицы называют коммутативными.

Из сказанного с очевидностью следует, что ата = Sp(aaT) .

При выполнении операций умножения блочных матриц можно ис­ пользовать правила для обычных матриц, т.е.

Здесь важно иметь в виду, что при выполнении этих операций раз­

ка п - 1, получаемые вычеркиванием 1 -й строки и j -го столбца и умно­

жением на ( - 1)!+7

Аналогичное представление может быть получено для произвольной /-й строки

ем i -й строки и j -го столбца и умножением на (—l)1^

К примеру, для двухмерной матрицы легко получить

Квадратная матрица называется невырожденной или несингуляр­ ной, если ее определитель отличен от нуля, т.е.

det(y4) = |д| * 0.

В противном случае матрица называется вырожденной или сингу­ лярной.

Введем сокращенное обозначение для определителей, составленных из элементов прямоугольной п х m матрицы

Наибольший из порядков, отличных от нуля миноров, порождаемых матрицей, называется рангом матрицы. Если г - ранг прямоугольной

Заметим, что для обратной матрицы

А 1А =Е , т.е. прямая и обратная матрицы коммутативны. Ортогональная матрица. Квадратная матрица А называется орто­

гональной при условии, что

Характеристическим многочленом квадратной матрицы А называ­

К примеру, для двухмерной матрицы этот многочлен имеет вид

Характеристическое уравнение определяется как р(Х) = det(/J - XE) = 0 .

Собственные значения матрицы. Собственными значениями квад­ ратной матрицы А размерности п называются п корней ее характери­

Совокупность всех п собственных чисел называется спектром мат­

рицы.

Собственным вектором квадратной матрицы А называется такой

Это равенство означает, что умножение матрицы на такой вектор не меняет его направления. Поскольку характеристическое уравнение мат­ рицы размерности п имеет п корней, соответственно для каждого корня (собственного числа) будет свой собственный вектор. Таким образом, матрица имеет п собственных чисел и собственных векторов. Сущест­ венно, что некоторые из собственных чисел могут между собой совпа­ дать, а одному и тому же собственному значению может соответствовать несколько различных собственных векторов. Задача их нахождения из­ вестна как проблема собственных чисел.

Преобразование подобия. Пусть заданы две квадратные п х п мат­

рицы А и С , причем матрица С не вырождена. Определим квадратную

Матрицы В и А называются подобными матрицами, а матрица С преобразованием подобия. Нетрудно убедиться в том, что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены. Действи­ тельно,

det(5 - ХЕ) = det(G4C-1 - ХСС~х) = det(^ - ХЕ) det(C) det(C“‘) = = det(i4 - ХЕ) det(CC-1 ) = det(y« - ХЕ).

Отсюда вытекает, что подобные матрицы имеют одинаковые собст­ венные числа. Можно показать, что собственные векторы таких матриц будут также совпадать между собой.

Легко убедиться в том, что определитель и след квадратной матрицы

А могут быть представлены с использованием собственных чисел, т.е.

/=1

Отсюда следует, что определители и следы подобных матриц одинаковы. Диагонализацпя симметричных матриц. Симметричная матрица А всегда с помощью ортогонального преобразования подобия может быть приведена к диагональному виду, т.е. всегда можно найти такую ортого­

нальную матрицу

где hj jj y j = 1 .п - собственные числа и собственные векторы матрицы

Последнее условие означает дополнительное требование, наклады­ ваемое на значение модулей собственных векторов, т.е. их модули долж­ ны быть равны единице.

Важно заметить, что возможность преобразовать матрицу к диаго­ нальному виду в общем случае, когда матрица не является симметрич­ ной, существует не всегда. Однако произвольную квадратную матрицу можно преобразовать к другим матрицам специального (говорят еще нормального или канонического) вида, таким, например, как матрица Жордана, матрица Фробениуса и т.д. [3,8].

Квадратичная форма. Пусть заданы квадратная матрица А и вектор х размерности п . Квадратичной формой называется выражение

Квадратичная форма называется положительно определенной в случае, если при любых отличных от нуля значениях вектора х величина квадратичной формы положительна, т.е.

Матрицу А в этом случае называют положительно определенной. Если знак строгого неравенства заменить на > , то тогда квадратичная

форма и соответствующая ей матрица будут называться неотрицательно определенными.

Если знак в неравенстве заменить на противоположный, то получим отрицательно определенную квадратичную форму и матрицу.

Матричные неравенства. Говорят, что квадратная матрица А боль­ ше другой квадратной матрицы В при условии, если неравенства

или хт {А - В)х > 0 справедливы при отличных от нуля значениях вектора а* Аналогично можно ввести и другие типы неравенств.

Можно показать, что в случае, когда выполняется какое-то неравенст­ во для матриц, то такое же неравенство будет справедливо и для их соб­ ственных чисел. Так, если все собственные числа квадратной матрицы А положительны или неотрицательны (отрицательны или не положитель­

ны), т.е. Ху >0 или Ху >0 (Ху <0 или Ху <0), j =l./z, то соответ­

ствующие неравенства будут справедливы и для самой матрицы, т.е. А > 0 или А > 0 ( А <0 или А < 0 ).

Функции от матриц. Некоторые функции от квадратных матриц мо­

гут быть введены с помощью степенных рядов. Матрица Ат степени т определяется как

4-----V 1"1

т

Используя это определение, можно ввести, например, матричную

Функции f(A) от симметричных матриц могут быть введены и ина­

че. Для этого сначала матрицу А с помощью ортогонального преобразо­ вания сводят к диагональному виду, т.е. получают представление

T A T T =K = \^J \ j = U ,

из которого следует, что А = ТТАТ Далее f(A) определяют как

где /(Л ) = {дА.у)} у' = 1 .//

Можно показать, что введенное таким образом определение будет совпадать с определением с помощью разложения в ряд [8 , 2 0 ].

Производная и интеграл матрицы, элементы которой зависят, на­ пример, от времени, т.е. A(t) = {я,у(/)},/ = 1 ji,j =1./;?, представляют собой

ментов исходной матрицы.

Можно также ввести производную скалярной функции s(x) но векторному аргументу

где Р А Ру , Рху - п х п , т х т и п х т матрицы, причем для Рх

рУ существуют обратные матрицы. В этом случае обратная матрица Р -1 определяется как

где

р х _ р х у ^ р у j 1р у х

В = - р х - р*У[ру )~’ РухJ ' р ху(ру )-1

С= \рУ —Рух{р х)-1 Рху1 1

Справедливы также следующие соотношения:

л = (р *)- 1 + (р х) '1р ^ с р - >а(рЛ')“ 1

В= -АР" (р- )■' = ~(рх)'' РхуС ,

С= [ру )“l + (p-v)_1 Р ухАРху (Ру )_1

Втабл. П1.1.1 представлены некоторые полезные матричные соотно­ шения. В частности, так называемая лемма об обращении матриц [50, с. 216]

Последнее соотношение легко получается, если принять Р _| =г2Е, Я = [1,1...1], R~l =q2