книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

ты матриц ковариаций ошибок оценивания будут характеризовать потенциальную точность для принятых моделей. Эти значения можно рассчитать, используя соответствующие ковариационные уравнения.

Для вычисления установившихся значений матрицы ковариа­

ций ошибок фильтрации следует решить уравнение (3.2.46).

Это может быть сделано численно с использованием рекуррентно­ го соотношения

- ковариационная матрица ошибок прогноза.

Для вычисления установившегося значения ковариационной матрицы ошибок сглаживания необходимо воспользоваться соот­ ношениями (3.4.8) (3.4.9), с помощью которых можно получить следующее рекуррентное соотношение, решаемое в обратном вре­ мени

Р Г =pî +Р«?Фт0Р„?)“1т а ~Р*)(Р£У'ФР*, (3.5.33) где рФ =ФрФф^ 4- О - ковариационная матрица ошибок прогно­

за (3.5.32) в установившемся реяшме. В качестве начального зна­ чения ковариационной матрицы ошибок сглаживания при реше­

нии в обратном времени следует принять р£

Погрешность решения рассматриваемой задачи оценивания существенным образом зависит от изменчивости поля ускорения силы тяжести вдоль траектории движения. Эта изменчивость мо­ жет характеризоваться величиной производной вдоль направления

чений среднеквадратических ошибок фильтрации и сглаживания, полученные в результате решения уравнений (3.5.31), (3.5.33) для

dg

ковариационных матриц при разных значениях — в предположе­

нии, что среднеквадратические ошибки измерения высоты и ско-

того, чтобы на расстояние в /=1 км приращение Ag винеровской

последовательности было бы равно а<*=— 1 Принимая во внима-

ние тот факт, что дисперсия приращения винеровской последовательности может быть определена в виде q9i , нетрудно, зная ско­

рость движения объекта Vn и величину At, найти необходимое

значение q : q =A g 4 ï, где i = U(AtVn ) , при / = 1 км.

Расчеты проводились для случая использования каждого типа измерений (высоты и скорости) по отдельности и при их совмест­

ной обработке, при скорости Vn -50 м/с (для малого самолета) и

четырех значении градиента dg

Из результатов, представленных в таблице, следует, что для принятых моделей и соответствующих им параметрам точность оценивания аномалий в режиме сглаживания повышается пример­ но в два раза по сравнению с точностью, достигаемой в режиме фильтрации.

С.К.О. фильтрации (числитель) и сглаживания (знаменатель) аномалии g

______________________________ (мГал)_______________________________

Кроме того, точность определения аномалий при совместной обработке измерений высоты и вертикальной скорости от СНС при заданном соотношении их погрешностей измерения практиче­ ски совпадет с точностью, достигаемой при использовании только измерений высоты, т.е. эффект от комплексирования этих измере­ ний незначителен.

В заключение целесообразно отметить следующее. Описанная процедура перехода от непрерывного описания (3.5.26) к дискрет­ ному аналогу (3.5.29), (3.5.30), по сути, есть ее простейший при­ ближенный вариант. Более точные методы, позволяющие без зна­ чительных погрешностей обеспечить переход от непрерывного описания к дискретному, будут рассмотрены во второй части кни­ ги. Ясно также, что полученные здесь результаты могут сущест­ венным образом поменяться, если будут приняты другие модели для описания аномалий и ошибок используемых измерителей. Во­ прос выбора адекватных моделей вообще и в рассматриваемой за­ даче в частности представляет собой отдельную проблему, которая заслуживает специального рассмотрения. Цель же данного подраз­ дела проиллюстрировать на методическом примере возможность использования аппарата теории фильтрации и сглаживания в зада­ че авиационной гравиметрии.

Задачи к разделу

Задача 3.5.1. Сформулируйте задачу фильтрации при ком­ плексной обработке измерений координат и скорости от СНС и ИНС применительно к слабосвязанной схеме комплексирования.

Задача 3.5.2. Сформулируйте задачу фильтрации при ком­ плексной обработке измерений псевдодальностей и псевдоскоро­ стей и данных ИНС применительно к сильносвязанной схеме ком­ плексирования.

Задача 3.5.3. Сформулируйте задачу фильтрации при ком­ плексной обработке измерений псевдодальностей и данных ИНС применительно к сильносвязанной схеме комплексирования на основе использования измерений от СНС, из которых исключена ошибка часов приемника.

Задача 3.5.4. Сформулируйте задачу фильтрации, соответст­ вующую коррекции НС, по измерениям двух различных геофизи­ ческих полей, например поля рельефа местности и поля ускорения силы тяжести.

1.Имеются ли отличия в описании вектора состояния и вектора измерений при решении задач фильтрации и сглаживания?

2.Почему при рассмотрении задачи коррекции показаний навига­ ционной системы в линеаризованной постановке молено сфор­ мулировать задачу обработки, соответствующую инвариантной схеме?

3.Почему при рассмотрении задачи коррекции показаний навига­ ционной системы в условиях, когда линеаризация недопустима, не удается сформировать разностные измерения, обеспечиваю­ щие реализацию инвариантной схемы обработки?

4.Какое минимальное число спутников необходимо при реализа­ ции слабосвязанной схемы комплексирования данных ИНС и СНС?

5.Как изменится вектор состояния при постановке задачи ком­ плексной обработки измерений координат СНС и ИНС приме­ нительно к слабосвязанной схеме комплексирования по сравне­ нию со случаем использования данных о скорости?

6.Какие преимущества существуют у сильносвязанной схемы комплексирования по сравнению со слабосвязанным вариан­ том?

7.Относительно каких параметров рассмотренная в 3.5.5 схема комплексной обработки показаний гравиметра, данных о высо­ те и вертикальной скорости, является инвариантной?

3.6.Задания для моделирования с использованием Matlab

1.Промоделируйте т измерений в соответствии с соотноше­

ниями:

в которых X j , j = 0,1,2 - независимые между собой, центрирован­ ные гауссовские случайные величины с дисперсиями Оу, j = 0,1,2 ; V;, / = 1.т - независимые между собой и от X j, j = 0,1,2 ; центри­

/;■ =/*,/ = Гот в пределах 1-2, Г в пределах 1-100 с и m в пределах 20-200, при, At = 1.

2.Составьте программу получения оценок и соответствующих им матриц ковариаций с использованием ФК. Вычислите эти оценки для всех моментов времени для выбранных значений ис­ ходных данных.

3.Постройте графики истинных значений коэффициентов, ошибок их фильтрации и соответствующих им оптимальных сред­ неквадратических значений. Дайте пояснения к полученным ре­

зультатам.

Пример выполнения задания

clear; close all;

%Исходные данные s0=1;

s1 =1 ; s2=1; r=2; m=50; T=5;

dt=T/m;

R=rA2*eye(m);

“/((Формирование вектора оцениваемых параметров xO=random('NormariO,sO);

x1 =random('Normar,0,s1 ); x2=random(,Normal',0,s2); х=[хО; х1 ; х2];

%Формирование измерений t=0:dt:T-dt;

H=[ones(m,1) t' t'.A2J; v=normrnd(0,r,m,1 ); y=H*x+v;

%Начальное состояние ФК xo=[0; 0; 0]; %априорная оценка P=diag([sOA2; s1A2; s2A2]);

%априорная матрица ковариаций вектора состояния

Fi=eye(3); %переходная матрица

“/((Инициализация массивов для записи результатов

“/((Моделирования

X=2eros(3,m);

Xo=zeros(3,m);

%Процедура ФК fork=1:m

xp=Fi*xo;

S=Fi*P*Fi'; K=S*H(kl:)'*(H(kl:)*S*H(k,:),+rA2)A-1; xo=xp+K*(y(k)-H (k, :)*xp ); P=(eye(3)-K*H(k,:))*S;

X(:,k)=x;

Xo(:,k)=xo;

sko(:,k)=sqrt(diag(P));

end;

“/((Построение графиков figure; plot(t,Xo(1,:)); hold on; plot(t,X(1,:),'r--');

xlabel(’t,c'); у!аЬе1('Оценка x_0‘); figure; plot(t,Xo(2,:));

hold on; plot(t,X(2,:),,r-'); х1аЬе1(Ч,с'); у!аЬе1('Оценка x_1’); figure; plot(t,Xo(3,:));

hold on; plot(t,X(3,:),'r--'); xlabel('t,c'); у!аЬе1('Оценка x_2'); figure; plot(tlЗ*sko(1,:)l,r--,);

hold on; plot(tl-3*sko(1,:),'r-');

plot(t,x(1 )-Xo(1

xlabel('t,c'); у1аЬе1('Ошибка оценки x_0'); figure; plot(t,3*sko(2>:),,r-');

hold on; plotlt.-^sko^.iVr--'); plot(t,x(2)-Xo(2,:));

xlabel('t,c'); у1аЬе1('Ошибка оценки x_1 '); figure; plot(t,3*sko(3,:),,r—');

hold on; plot(t,-3*sko(3,:),’r--'); plot(t,x(3)-Xo(3,:));

xlabel('t,c'); у!аЬе1(’Ошибка оценки x_2');

Заклю чение к главе 3

1.Приведены основные сведения о случайных последовательно­ стях и методах их описания, в том числе и с использованием формирующего фильтра, с помощью которого не только удает­ ся описать свойства последовательностей, но, что весьма важно при рассмотрении прикладных задач, формировать реализации таких последовательностей.

2.Приведена постановка и решение задач оценивания (фильтра­ ции, сглаживания и прогноза), на основе обобщения задачи ли­ нейной регрессии с использованием уравнений Винера-Хопфа.

3.Рассмотрена задача рекуррентной фильтрации случайных по­ следовательностей, заданных с помощью линейного форми­ рующего фильтра, по линейным измерениям, в предположении, что заданы только первые два момента для начальных условий, порождающих и измерительных шумов. Приведен алгоритм фильтра Калмана, с помощью которого в этой задаче отыски­ ваются оптимальные линейные оценки.

4.Приведено обобщение решения рекуррентной задачи фильтра­ ции на случай, когда снимаются ограничения на линейный ха­ рактер алгоритмов, а также предполагается возможность ис­ пользование нелинейных измерений. Отмечено, что такая по­ становка предполагает задание информации о ф.п.р.в. для на­ чальных условий, порождающих и измерительных шумов и на­ правлена на получение оптимальных байесовских оценок. Представлен вывод соотношений для фильтра Калмана, как оп­ тимального байесовского алгоритма решения линейной задачи фильтрации при гауссовском характере начальных условий, по­ рождающих и измерительных шумов.

5.Очерчены пути построения основанных на гауссовской аппрок­ симации апостериорной плотности рекуррентных субоптималь­ ных алгоритмов оценивания случайных последовательностей, заданных с помощью линейного формирующего фильтра, с ис­ пользованием нелинейных измерений, и описана методика про­ верки их эффективности.

6.Рассмотрена задача сглаживания и алгоритм ее решения на за­ крепленном интервале.

7.Обсуждена связь оптимальных линейных алгоритмов в виде соотношений ФК с алгоритмами, получаемыми в рамках детер­ минированного подхода на основе метода наименьших квадра­ тов.

8.Рассмотрены примеры задач фильтрации и сглаживания, свя­ занных с обработкой навигационной информации, в частности, задача коррекции НС по данным дополнительных измерений, задача уточнения показаний НС по данным карты и рельефа дна, задачи комплексной обработки инерциальных и спутнико­ вых систем при слабосвязанной и сильносвязанной схемах комплексирования, задачи комплексной обработки показаний гра­ виметра, данных о высоте и вертикальной скорости.

П1.1. МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В MATLAB

П1.1. Основные матричные операции

В этом подразделе приведены основные понятия из теории матрично­ го исчисления. При его формировании использованы материалы книг

[8,20,21].

Матрицей называется содержащая в общем случае п строк и т столбцов таблица, элементами которой могут быть числа, символы, и выражения различного вида. Матрицу А можно представить как

a n \ \

Для матрицы могут быть использованы также следующие обозначе­ ния:

А = {ау }; А = {A(ÎJ)}; А = {A[i,j}}, i = 1 л , j = Un .

Вектор

а \

и строка

представляют собой частные случаи матриц размерности n х 1 и 1 х п соответственно.

Квадратная матрица. Квадратной называется матрица, у которой число строк и столбцов одинаково, т.е. матрица размерности п х п .

Диагональная матрица. Квадратная матрица А размерности п на­ зывается диагональной, если все ее элементы, кроме тех которые стоят на диагонали, равны нулю.