книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

Уil = xi\ + xi 2 + vf aP'

„ _ v , СЯС

Уil ~ xi2 + vi

В результате решения сформулированной задачи фильтрации искомое значение высоты будет совпадать с оптимальной оценкой второй компо­

ненты вектора состояния, т.е. h. = х , .♦

Завершая подраздел, необходимо еще раз подчеркнуть сле­ дующее. При использовании инвариантной схемы обработки в ре­ зультате решения задачи фильтрации получаются оптимальные оценки ошибок используемых систем. Что касается оценок самих оцениваемых параметров X , , то они соответствуют обобщенному методу наименьших квадратов, как и в случае оценивания посто­ янного вектора, о чем речь шла в подразделе 2.6.1. При решении же задачи в рамках неинвариантного подхода в результате реше­ ния задачи фильтрации формируются оптимальные оценки непо­ средственно для вектора .

Важно также обратить внимание на тот факт, что при постанов­ ках рассматриваемых задач не предполагались известными законы распределения начального условия, порождающих и измеритель­ ных шумов, а использовалась информация только о первых двух моментах этих векторов и их взаимно корреляционных свойствах. Это означает, что соответствующие сформулированным постанов­ кам алгоритмы фильтрации и сглаживания будут оптимальными только в классе линейных алгоритмов. Оптимальность без ограни­ чений на класс алгоритмов будет обеспечиваться лишь при введе­ нии дополнительного условия о гауссовском характере случайных векторов.

3.5.2. Задачи фильтрация при коррекции показаний навигационной системы. Линеаризованный случай

Особенность измерений (3.5.1), (3.5.2) заключается в том, что с их помощью непосредственно вырабатывается информация о тех параметрах, которые подлежат определению. При обработке нави­ гационной информации более распространенным является случай, когда одна система вырабатывает именно такие измерения, а дру-

гая обеспечивает измерение некоторой функции от этих парамет­ ров, причем эта функция, как правило, нелинейная. Такая задача, получившая название задачи коррекции, уже рассматривалась в подразделе 2.1.8 применительно к оцениванию постоянного векто­ ра. Полагая теперь, что оцениванию подлежит случайная последо­ вательность и применяется инвариантная схема обработки, сфор­ мулируем соответствующую задачу фильтрации, считая допусти­ мым использование линеаризованного описания нелинейной зави­ симости. Для определенности и в целях упрощения будем считать, что уточнению подлежат трехмерные координаты подвижного объекта, вырабатываемые корректируемой навигационной систе­ мой в виде (3.5.1), с использованием дополнительных измерений, которые обычно называют корректирующими измерениями.

Итак, полагаем, что имеются измерения вида:

(3.5.11)

(3.5.12) где Х ( = (Xn,X i2,X i3)т, y j , Ayj - истинные значения координат объекта, показания навигационной системы и ее ошибки; Sj (Х,- ) - известная /и-мерная вектор-функция, определяемая видом коррек­ тирующих измерений; Ayfr- /и-мерный вектор ошибок измерения.

Как и в предыдущем подразделе, полагаем, что ошибки Ayj

Ау1/ могут быть описаны с помощью соотношений (3.5.4)-(3.5.6). Для построения инвариантной схемы обработки сформируем

разностное измерение

Как уже отмечалось, для функции s;(yj ) считается допусти­

мым использовать линеаризованное представление. Таким обра­ зом, можно записать

Подставляя (3.5.14) в (3.5.13), с учетом (3.5.12) нетрудно полу­ чить следующее выражение для разностных измерений (3.5.13):

(3.5.16)

которые представляют собой обобщенный вариант измерений та­ кого типа, рассмотренных в подразделе 2.6.1.

Обращаем внимание на тот факт, что в разностных измерениях

отсутствует слагаемое s( (Xt), зависящее от неизвестного вектора

X j, что, в сущности, и определяет в дальнейшем инвариантность

(независимость) свойств оценок относительно X , .

Принимая во внимание справедливость описания ошибок Дyf

Ayf1 с помощью соотношений (3.5.4)-(3.5.6), нетрудно сформули­

ровать задачу фильтрации вектора состояний типа (3.5.7) по раз­ ностным измерениям (3.5.13). При этом необходимые матрицы и векторы будут определены как:

Рассмотрим пример такой постановки и представим некоторые результаты моделирования задачи фильтрации, связанной с кор­ рекцией показаний навигационной системы, обеспечивающей оп­ ределение координат подвижного объекта на плоскости для слу­ чая, когда в качестве корректирующих измерений используются измерения дальностей до известных точечных ориентиров.

♦ Пример 3.5.3. Задача коррекции показаний навигационной системы с использованием измерений дальностей до точечных ори­ ентиров. Для случая неподвижного объекта методы решения задачи оп­ ределения координат на плоскости с использованием измерений дально­ стей до точечных ориентиров уже обсуждались ранее. Особенность при­ веденных постановок заключалась в том, что в целях упрощения помимо показаний навигационной системы (НС) и корректирующих данных предполагалось наличие дополнительной априорной информации о коор­ динатах объекта, которая использовалась при проведении линеаризации

функции s- (•). Это позволяло сформулировать задачу непосредственно­

го оценивания координат объекта. Реально же такая информация в осо­ бенности для подвижного объекта, как правило, отсутствует, и координа­ ты требуется уточнить при наличии лишь измерений (3.5.11) и (3.5.12), в

которых X j = ( X il, X i2) т , у ! , Д у/ ( / = Н С ) - двухмерные векторы

истинных значений координат объекта на плоскости, показаний некото­ рой навигационной системы и ее ошибок, а у\! - y f° (II = ТО ) - изме­ рения дальностей до т точечных ориентиров, для которых т -мерная вектор-функция (X i ) определяется как

sa. ( x i) = ^ - x i]f + { x i2 - x n J ,

где т - число ориентиров, используемых в каждый момент времени. Ошибки измерения дальностей в общем случае описываются с помо­

щью т -мерного вектора à y j1 (II = ТО ), задаваемого с помощью соот­ ношений (3.5.4).

В качестве навигационной системы, показания которой подлежат уточнению, может выступать система счисления, основанная на показа­ ниях измерителя скорости и курса, инерциальная система и т.д. Если за­ дача заключается в уточнении только координат объекта и не требуется проводить калибровку - уточнение ошибок отдельных измерителей, вхо­ дящих в навигационную систему, то при описании ошибок координат достаточно учесть наличие постоянной составляющей и передать при необходимости факт их изменчивости за время проведения коррекции. Это может быть сделано достаточно эффективно с использованием винеровских последовательностей, которые и будут использованы далее. При описании ошибок измерения дальностей ограничимся предположением о наличии только белошумных составляющих ошибок. В этом случае, вво-

дя вектор состояния в виде x j = x f IC = ( x n ,x j2) , где xtj, j = 1,2 -

ошибки выработки составляющих координат с помощью НС, приходим к задаче фильтрации (3.5.7), (3.5.8), в которой разностные измерения, фор­

при этом величина р принималось равной 3000 м, а г = 30 м (0,01 р). Считалось, что X Q представляет собой центрированный случайный век­ тор с матрицей ковариаций Р х =GQE2 - Уровень априорной неопреде­

ленности, задаваемый величиной а 0 , выбирался таким образом, чтобы

при использовании линеаризованного алгоритма его точность была бы близка к потенциальной. Как следует из результатов примера 3.5.4, это,

возможно при <3Q <300м . Число измерений i варьировалось от 1 до 30.

На рис. 3.5.1 представлены результаты вычисления с.к.о. определения координат при решении задачи с использованием линеаризованного ал­ горитма при разных значениях ç = 0, р 2 м и q = 5м. Расчеты прово­ дились согласно методике, описанной в подразделе 2.5.6. Число реализа­ ций, используемых для осреднения при получении диагональных элемен­ тов безусловных расчетных и действительных матриц ковариаций при­ нималось равным 500.

Рис. 3.5.1. Среднеквадратические ошибки оценок (в метрах) в задаче по точечным ориентирам для винеровской модели ошибок корректируемой

навигационной системы при разном уровне порождающих шумов q = 5 м (7), д = 2 м (2), q = 0 м (3)

При проведении моделирования вычислялась и нижняя граница точ­ ности. Расчеты показали, что для принятых исходных данных линеаризо­ ванный алгоритм калмановского типа действительно обеспечивает точ­ ность, близкую к потенциальной, поскольку соответствующее ему с.к.о. совпадает с нижней границей. Из представленных графиков видно, что при увеличении уровня порождающих шумов погрешность определения координат увеличивается, что представляется вполне естественным. ♦

Поскольку выше при комплексной обработке предполагалось использование инвариантной схемы, после получения искомых оценок вектора состояния в задаче фильтрации для выполнения собственно коррекции показаний НС следует воспользоваться со­

отношением X. = у' —Н 'х .. Заметим, что если при наличии из­

мерений вида (3.5.11), (3.5.12) имеется дополнительная информа­ ция, позволяющая ввести статистическое описание для вектора X ; , то задача фильтрации может решаться с использованием не­ инвариантной схемы. Постановка такой задачи не вызывает какихлибо затруднений, поскольку она будет формулироваться изна­ чально по отношению к искомому вектору навигационных пара­ метров Xi

3.5.3.Задачи фильтрация при коррекции показаний навигационной системы. Нелинейный случай

Обсудим особенность постановки задач фильтрации при кор­ рекции показаний НС (3.511) по измерениям типа (3.5.12) в случае, когда при решении задачи линеаризованное описание функции не может быть использовано [29]. Следует заметить, что если отка­ заться от линеаризации, то при формировании измерений в виде

>Ч=у!! - si(y!) = si(Xi)+ Ay!1 - Si(Xi+Ayi )

не удается избавиться от слагаемого •у,-(Л', ) .

В связи с этим, для того чтобы сформулировать задачу фильт­ рации, следует привлечь принцип распределения навигацион­ ной информации [41, 80 ]. Согласно этому принципу при обра­ ботке навигационных измерений часть из них может трактоваться как входные сигналы, поступающие в алгоритм обработки. В рас­ сматриваемой задаче в качестве такого входного сигнала могут быть использованы измерения (3.5.11). В этом случае измерение (3.5.12) может быть представлено в виде

При постановке задачи фильтрации вектор состояния будет та­ кой же, как и в подразделе 3.5.2. Вводя обозначение у, = у!1

запишем измерения, используемые в задаче фильтрации, как

Теперь, если говорить, например, об апостериорной плотности, то здесь речь следует вести только об этих измерениях, а значения

у! рассматривать как известные детерминированные входные по­ следовательности. Вместе с тем следует иметь в виду, что неявно правая часть (3.5.18) зависит от значений y f , поскольку они в зна­

чительной степени определяют вид функции si (Ду/ ).

Предположение о том, что у\ представляют собой известные детерминированные значения при сохранении предположения о случайном характере вектора Ду/ и справедливости выражения (3.5.11), фактически означает введение предположения о случай­ ном характере вектора Х ( . При этом его математическое ожида­

ние равно y f , а статистические свойства определяются свойства­

ми Ду/ , так как f ( X j ) = / f (yf - Ду/ ). Отсюда следует, что ал- А'У

горитм решения задачи, полученный в предположении использо­ вания таких измерений, уже не будет обладать свойствами инвари­ антности относительно вектора X,-

Заметим, что при проведении линеаризации выражения (3.5.18) мы придем ровно к той постановке задачи, которая рассматрива­ лась выше. Действительно, полагая, что значение производной не меняется в области априорной неопределенности, можно записать

У1/ =Si (yf - Ду/ ) + Ayf » Si (yf ) - Ayf + ^

Перенося вычисляемое значение st(yf ) в левую часть, получа­ ем выражение, совпадающее с (3.5.16).

♦ Пример 3.5.4. Задача коррекции навигационной системы с ис­ пользованием карты и измерений поля рельефа дна. Задача коррек­ ции показаний НС с использованием карты и данных о рельефе дна пред­ ставляет собой частный случай задач коррекции с использованием геофи­ зических полей [9, 80]. Эти задачи известны также как задачи корреляци­ онно-экстремальной навигации, простейший одномерный вариант ее уже обсуждался в подразделе 2.1.4. Как отмечалось в этом подразделе, идея

такого метода навигации заключается в уточнении координат подвижно­ го объекта на основе сопоставления реализации измеренных значений некоторого геофизического параметра, например рельефа дна, с реализа­ цией, вычисленной с использованием заранее снятой карты. Рассмотрим соответствующую постановку задачи фильтрации, считая, как и в приме­ ре 3.5.3, что требуется уточнить координаты объекта на плоскости с ис­ пользованием показаний НС (3.5.11) и скалярных измерений рельефа, которые могут быть представлены в виде

где функция ^ { Х ц у Х ^ ) описывает зависимость рельефа дна от коор-

р

динат подвижного объекта и задается с помощью карты, а Ау, - ошибки

измерения, представляющие собой сумму ошибок карты и измерителя. Трактуя (3.5.11) как входные сигналы можно записать

T (X « b Z ,-2 ) = ^ ( ^ C -*уЦС’У%С-Ay%C) =si(AyjtC,Ay%C),

Задаваясь моделями ошибок для A y iHC и A y -P , можно сформулиро­

вать задачу навигации по рельефу дна как задачу фильтрации с использо­ ванием измерений типа (3.5.20). Рассмотрим простейший случай такой

постановки. Предположим, что ошибки навигационной системы при про-

р

ведении обсервации не меняются, а ошибки Ду- содержат только бе­

лошумную составляющую. В этом случае задача сведется к фильтрации вектора:

*/1=*/-1,1 =*Ь

* /2 = * /-1 ,2 = * 2

по измерениям

y f =^i(xl ,x2) + v f

Считая, что оцениваемый вектор и ошибки измерения независимы между собой и являются гауссовскими с одинаковой дисперсией г2, для апостериорной плотности можно записать следующее выражение:

тfexp{-J(x,y„, )/(*)}</*’