книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

и используя матрицы ковариаций Рх‘ , PV‘ для векторов X; и Vt , можно получить выражение для линейных оптимальных оценок в виде

где РХ' вычисляется в соответствии с правилом, полученным в задаче 3.1.6, а Ру‘ представляет собой блочно-диагональную мат­

с использованием всего набора измерений. Согласно классифика­ ции, введенной в подразделе 3.2.1, эти оценки при j < i соответст­

вуют решению задачи сглаживания, а при j =i - задаче фильтра­

ции. Таким образом, для нахождения оценок (3.4.16) могут быть использованы удобные рекуррентные алгоритмы фильтрации и сглаживания.

В подразделе 2.5.4 отмечалось, что в линейной задаче при оп­ ределенном выборе матриц, фигурирующих в критерии модифи­ цированного МНК, оценки, получаемые на основе его минимиза­ ции, совпадают с линейными оптимальными оценками. То же са­ мое будет справедливо и в рассматриваемой линейной задаче оце­ нивания Xj по измерениям (3.4.13), если в качестве матриц D ,, Q; принять матрицы, обратные матрицам ковариаций Рх <, Р^‘ , соответствующих векторов Xj =(XQ,XJ,x2 ,...xJ)T, =(v1T,vJ,...v,T)T т.е. DT1=PXi, Q"1=Р1‘ В этом случае оценки х““нк(7.) при j < i

будут совпадать с линейными оптимальными оценками х j.(Y.) в

задаче сглаживания, а при j = i - с линейными оптимальными оценками в задаче фильтрации.

Итак, полагая DT1= Рх‘ , Q~’ = PVi и принимая во внимание тот

факт, что матрица Ру‘ представляет собой блочно-диагональную матрицу с блоками Rj на диагонали, критерий (3.4.14) имеет вид

ре матриц в критерии (3.4.14), ФК можно рассматривать как ре­ куррентный алгоритм нахождения оценок, соответствующих мо­ дифицированному МНК, и в этом смысле алгоритм, представлен­ ный в подразделе (3.2.3), можно трактовать как детерминирован­ ный вариант ФК. Такая трактовка обусловлена тем, что при его получении можно не вводить предположений о случайном харак­ тере оцениваемой и измеряемой последовательностей. Обоснова­ ние самого критерия и входящих в него матриц можно провести из различного рода эвристических соображений, обсуждаемых, в ча­

и оценок, получаемых с использованием алгоритмов решения за­ дачи сглаживания на закрепленном интервале.

Можно показать (см. задачу 3.4.3), что критерий (3.4.17) экви­ валентен критерию следующего вида:

/ у ,

J=»

a задача нахождения вектора, обеспечивающего минимизацию этого критерия, эквивалентна задаче минимизации критерия [14, с. 451]

+ Z ( y j - Hj xj)TR7l(yj - Hjxj)

при наличии ограничений х,- = + r r-w#

Заметим, что критерий (3.4.19) может быть представлен как

Задача 3.4.2. Полагая в критерии (3.4.14) DT1=РХ' , Q ,1=PVi,

покажите, что векторы оптимальных оценок X.(Y.) = (x^.(Y),

(Yf) у ..x!/ .(Y())Tи оценок Â “MHK( ^ ) , соответствующих модифи­

цированному МНК, между собой совпадают.

Р е ш е н и е . Полагая векторы rt = (*,), vv1T,W2 ,...iv/)T и

Vf =(v*,v 2 y-vj )т гауссовскими и независимыми между собой, запишем показатель экспоненты для апостериорной плотности f ( X j /Y{). Принимая во внимание вид соотношения (3.4.13), име­

ем

f ( X i /Yi) =cf(Xi)f(Yi / X i),

где

f ( X , ) =N(Xl;0,PX' ) , f O ' l /X,) = N (r,;H iX „P ri),

причем

Р у‘ -

Отсюда следует, что показатель экспоненты апостериорной плотности / (Xj /Yj) может быть представлен в виде

Поскольку плотность / (А'- / Yj ) гауссовская, соответствующее ей математическое ожидание будет совпадать с максимумом /(A , / Yj) или, что то же самое, с минимумом J ,, совпадающим с критерием (3.4.17) в ММНК. Таким образом, оптимальные байе­ совские оценки, являющиеся одновременно и линейными опти­ мальными оценками, и оценки ММНК между собой совпадают, т.е. X.(Y) = Â;,M,,K(T ).

Задача 3.4.3. Покажите, что критерий (3.4.17) эквивалентен критерию следующего вида:

V,-= (viT » v 2 >—vJY являются гауссовскими и независимыми между собой, и принимая во внимание, что первое слагаемое соответст­ вует f ( Xj ) , в справедливости совпадения (3.4.17) и (3.4.18) не­ трудно убедиться, если воспользоваться результатами решения задач 3.1.7,3.1.8.

Контрольные вопросы

1.Приведите общую постановку задачи сглаживания, поясните смысл задач сглаживания различного типа.

2.Какие два основных этапа можно выделить в алгоритме реше­ ния задачи сглаживания на закрепленном интервале?

3.Каково соотношение точности решения задачи сглаживания по сравнению с точностью решения задачи фильтрации?

4.Получите установившее решение в задаче сглаживания винеровской последовательности.

5.Можно ли повысить точность решения задачи сглаживания пу­ тем ее повторного решения, если в качестве начальных условий принять оценку, полученную в результате решения задачи сглаживания и соответствующую ей матрицу ковариаций оши­ бок оценивания?

6.При каких предположениях алгоритм ФК может трактоваться как алгоритм метода наименьших квадратов?

3.5.Задачи фильтрации и сглаживания случайных последовательностей при комплексной обра­ ботке навигационных измерений

Необходимость решения задач фильтрации и сглаживания при обработке навигационной информации наиболее часто появляется при комплексной обработке избыточных измерений. Различные варианты построения схем комплексной обработки применительно к случаю оценивания вектора постоянных параметров обсужда­ лись в разд. 2.6. Приведем здесь ряд постановок задач фильтрации и сглаживания случайных последовательностей, которые возни­ кают при использовании различных схем комплексной обработки.

Как правило, обработку навигационной информации требуется выполнять в реальном времени, что приводит к необходимости решения задач фильтрации [27-29, 79]. Именно эти задачи в ос­ новном и рассматриваются в настоящем разделе. Однако следует заметить, что с точки зрения конкретизации уравнений форми­ рующего фильтра для вектора состояния и уравнений для измере­ ний, о чем, собственно, и пойдет речь далее, задачи фильтрации и сглаживания совпадают.

3.5.1.Задачи фильтрации при комплексной обработке показаний систем, непосредственно измеряющих искомые параметры

Предположим, что имеются показания двух систем или датчи­ ков, представляемых в виде:

где X t = (Хп , Х п .... X im У - т -мерный вектор неизвестных па­ раметров; у /, Ду/ - т -мерные векторы показаний систем или датчиков и их ошибок; j =I,II - индекс, определяющий номер системы или датчика.

Требуется, используя накопленные к текущему моменту изме­ рения (3.5.1), (3.5.2), найти неизвестный вектор X,-. Ясно, что эта задача с точностью до обозначений представляет собой обобщение задачи, рассмотренной в подразделе 2.1.8 применительно к векто-

ру постоянных параметров.

Для начала будем полагать, что априорная статистическая ин­ формация имеется лишь об ошибках систем, а данные о векторе Xi отсутствует. В этом случае целесообразно использовать рассмот­ ренную в подразделе 2.6.1 инвариантную схему обработки, со­

гласно которой решение задачи оценивания вектора X t сводится

к уточнению ошибок одной системы на фоне ошибок другой сис­ темы с использованием разностных измерений вида

Сформулируем соответствующую задачу фильтрации. Для это­ го необходимо определить вектор состояния с соответствующим ему формирующим фильтром и получить выражения для измере­ ний (3.5.3), привлекаемых при решении задачи фильтрации. Будем полагать, что в общем случае ошибки используемых систем опи­

где е/ , - составляющие ошибок, которые могут быть описаны

с помощью формирующих фильтров типа (3.2.21) для векторов х /

В этих соотношениях wj - р 1-мерные векторы порождающих

собой дискретные, центрированные белые шумы, в отношении ко­ торых полагаем справедливыми соотношения типа (3.2.23), (3.2.24), в частности их матрицы ковариаций определяются матри­

цами Qf и Rf, а векторы vj и vj1 между собой не коррелированы.

Вводя составной вектор состояния в виде х, = ^(х/ )Т, {xf

нетрудно сформулировать задачу фильтрации случайной последо­ вательности

Кроме того, следует задать матрицу ковариаций Р0, характери­ зующую неопределенность вектора состояния в начальный момент времени: Обычно эта матрица задается диагональной с элемента­ ми, определяющими уровень априорной неопределенности в зна­ нии соответствующих компонент вектора состояния. Решив сфор­ мулированную задачу фильтрации с помощью соотношений фильтра Калмана, получим оптимальную оценку вектора

д-. =((.v/)T,(x//)TУ С использованием этой оценки, следуя инвари­

антной схеме обработки, искомую оценку вектора X t можем сформировать в виде X. = у 1. —S1. где е7 = Н'.х'.

Хотя речь здесь шла о задаче фильтрации, совершенно очевид­ но, что приведенная постановка в полной мере подходит и при решении задачи сглаживания. В случае если необходимо решить такую задачу, то для получения соответствующих оценок следует воспользоваться алгоритмом, описанным в разделе 3.4.

♦ Пример 3.5.1. Задача фильтрации при комплексировании по­ казаний спутниковой системы и баровысотомера в целях оценива­ ния высоты летательного аппарата на основе инвариантной схемы.

Простейшие варианты такой задачи комплексной обработки уже рас­ сматривалась в примере 2.6.1 применительно к случаю, когда предпола­ гался белошумным характер ошибок обоих измерителей. Очевидно, что приведенная в этом подразделе постановка открывает более широкие возможности для адекватного описания свойств ошибок измерителей. Итак, предположим, что имеются измерения типа (2.6.8), (2.6.9), которые

с учетом введенных здесь обозначений и скалярного характера измере­ ний запишем как:

вающие поведение истинных значений высоты, показаний баровысото­ мера ( / = Бар ), спутниковой системы ( II = СНС ) и их ошибок.

Будем считать, что ошибки баровысотомера содержат только систе­ матическую, а ошибки СНС - только белошумную составляющие. В этом

Таким образом, соотношения (3.5.7), (3.5.8) конкретизируются к виду:

*/ = * ы ;

Л= * / +у/.

изадача сводится к фильтрации постоянной величины на фоне белого

шума. Искомое значение высоты формируется как h. = уБар— х. .

Поскольку задача здесь сведена к оцениванию постоянной величины, то полученная в результате решения задачи фильтрации оценка совпадает с оценкой, соответствующей задаче сглаживания.

Нетрудно обобщить рассмотренную постановку задачи на случай, ко­ гда ошибки баровысотомера и СНС описываются более сложным обра­ зом, например в виде суммы белошумной и винеровской составляющих или экспоненциально - коррелированных последовательностей. В этой ситуации понятно, что решение задач фильтрации и сглаживания будут уже между собой отличаться.♦

При наличии измерений типа (3.5.1), (3.5.2) задача фильтрации, решаемая в целях оценивания искомых параметров X i9 может быть сформулирована и с использованием иеинвариантной схе­ мы обработки. Это может быть сделано, если имеется априорная статистическая информация не только об ошибках систем или дат­ чиков, но и о самом векторе искомых параметров. Для этого необ­ ходимо ввести в состав вектора состояния дополнительный под­

вектор xjIf, с помощью которого описывается последовательность

дачу не представляет особого труда по аналогии с тем, как это бы­ ло сделано ранее. Покажем это на примере уже рассматриваемой задачи комплексирования показаний о высоте, вырабатываемых баровысотомером и СНС.

♦ Пример 3.5.2. Задача фильтрации при комплексировании по­ казаний спутниковой системы и баровысотомера в целях уточнения высоты летательного аппарата на основе неинвариантной схемы. Предположим, что при использовании измерений (3.5.9), (3.5.10) обосно­ вано предположение о том, что изменение траектории движения в верти­ кальной плоскости может быть описано так, как это сделано в примере

3.1.4, т.е. в виде полинома первой степени А,- = х 0 + Vti , где XQ, V -

начальная высота и вертикальная скорость, полагаемая постоянной;

tj - (i - 1)Дt - моменты времени от начала наблюдения. В этом случае,

считая, что ошибки СНС содержат только белошумную составляющую, а ошибки баровысотомера белошумиую и систематическую составляющие

и вводя вектор состояния х,-

xj" = { h „ V f , нетрудно конкретизировать задачу фильтрации по изме­

рениям типа (3.5.1), (3.5.2), в которой входящие в (3.5.7), (3.5.8) матрицы и векторы будут определяться как:

Иными словами, для получения оценки высоты следует решить задачу фильтрации вектора состояния:

xi\ ~ xi- 1,Ь

*/2 ~ */'-1,2 + */-1,3Д';

*/3 = */-1,3

по измерениям: