книги / Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Ч. 1 Введение в теорию оценивания

3.4. Задача сглаживания и алгоритм ее решения

При обработке навигационной информации наиболее часто приходится иметь дело с задачами фильтрации, когда оценка ин­ тересующего параметра вырабатывается в реальном времени с ис­ пользованием накопленных к текущему моменту времени измере­ ний. Вместе с тем существует ряд задач, для которых это требова­ ние необязательно, и оценка может быть получена в режиме каме­ ральной обработки. Это имеет место при траекторных измерениях, при проведении различного рода съемок, проводимых в целях кар­ тографирования, например съемки гравитационного поля, в геоде­ зических задачах и т.д. В таких задачах при формировании оценки могут использоваться как прошлые, так и последующие измерения относительно того момента, для которого отыскивается оценка. Иными словами, может решаться задача сглаживания. В настоя­ щем разделе приводятся формулировка и классификация возмож­ ных типов задач сглаживания. Обсуждаются особенности алго­ ритма решения линейной задачи сглаживания на закрепленном интервале и выигрыш, достигаемый в точности решения задачи сглаживания по сравнению с точностью в задаче фильтрации. Анализируется связь оптимальных алгоритмов фильтрации и сглаживания с алгоритмами метода наименьших квадратов.

3.4.1. Типы задач сглаживания

Специфика задач сглаживания, как отмечалось в разделе 3.1.1, заключается в том, что момент времени j , для которого отыскива­

ется оценка, меньше текущего момента времени i , т.е. j < i Фак­ тически это означает, что при нахождении оценки доступны изме­ рения не только предшествующие моменту вычисления оценки, но и те измерения, которые поступают позже.

Выделяют три класса задач сглаживания (табл. 3.5.1) [50]: задача сглаживания на закрепленном интервале, когда за­

фиксировано общее количество измерений / и отыскиваются оценки для каждого моментов времени j = l i с использованием всего набора измерений;

задача сглаживания в фиксированной точке, когда зафикси­ рован момент получения оценки j , общее количество измерений

I увеличивается;

задача сглаживания с постоянным запаздыванием, когда зафиксировано время между текущим моментом времени i и мо­ ментом получения оценки j , т.е. разность i - j

Моменты оценивания

j= Ü

Впринципе, решение задачи сглаживания в классе линейных оценок может быть получено с помощью соотношений (3.2.5)-

(3.2.9) на основе уравнений Винера-Хопфа. Но эти соотношения в силу их нерекуррентного характера мало пригодны для практиче­ ского применения по тем же причинам, которые обсуждались для задачи фильтрации. В связи с этим рассмотрим возможность полу­ чения более удобных с практической точки зрения алгоритмов применительно к задачи сглаживания на закрепленном интервале.

3.4.2. Решение задачи сглаживания на закрепленном интервале

Задача сглаживания на закрепленном интервале случайной по­ следовательности, задаваемой с помощью линейного формирую­ щего фильтра (3.2.21), решаемая с использованием линейных из­ мерений (3.2.22), может быть конкретизирована следующим обра­ зом.

Вектор начальных условий х0 считается центрированным век­ тором с матрицей ковариаций Р0, а векторы х0, wf, v, между со­

ментов времени j - I . N , найти оценки х ,N(YN), минимизирую­ щие критерий

закрепленном интервале, обеспечивающие минимизацию средне­ квадратического критерия (3.4.6) в классе линейных оценок, и со­ ответствующие им матрицы ковариаций ошибок оценивания Pj/N

могут быть определены с помощью соотношений:

Постановка и алгоритм решения задачи сглаживания на закрепленном интервале

Коэффициент усиления

к , = W

Матрица ковариаций ошибок фильтрации

Получение сглаженных оценок для j = N —1, N — 2,..0

Оценки сглаживания

Матрица передачи сглаживающего фильтра ^./ = Л ф }+1Л+1/У Матрица ковариаций

3.4.3. Соотношение задач фильтрации и сглаживания

В приведенном выше варианте решения задачи сглаживания выделяется два этапа, один из которых соответствует решению задачи фильтрации на всем интервале. В принципе, алгоритм по­ лучения сглаженной оценки мог бы быть получен при использова­ нии другой схемы, в которой искомая оценка в текущий момент времени формируется в виде взвешиваемой сумы двух оценок [109]. Одна из них соответствует решению задачи фильтрации в прямом времени для момента времени j , а другая - задаче фильт­ рации в обратном времени от момента N к тому же моменту j

Вне зависимости от процедуры получения оценки сглаживания очевидно, что, поскольку число измерений j , для которых реша­ ется задача фильтрации, меньше или равно общему числу измере­ ний, с использованием которых решается задача сглаживания, точность оценивания при сглаживании должна быть не хуже точности оценивания при решении задачи фильтрации. Иными словами, должно быть выполнено следующее неравенство:

Опираясь на полученные в предыдущем подразделе выражения, нетрудно убедиться, что в условиях неизменности оцениваемого вектора решение задач сглаживания и фильтрации, а следователь­ но, и соответствующие им матрицы ковариаций совпадают (см. задачу 3.4.1). В общем случае, когда оценивается изменяющаяся во времени последовательность, точность решения задачи сглажи­ вания, определяемая дисперсией /у/дг, будет зависеть от того, где

по отношению к начальному и конечному времени располагается точка, для которой анализируется точность, т.е. от соотношения j

и N Из интуитивных соображений понятно, что при j -1 и j = N дисперсии будут одинаковыми, а максимальный выигрыш в точности будет иметь место для точки, расположенной в середине интервала измерения. Это можно пояснить достаточно просто на примере оценивания скалярной последовательности. Число изме­ рений при получении оценки в каждый момент времени при реше­ нии рассматриваемой задачи сглаживания на закрепленном интер­ вале одинаково. Понятно, что если пренебречь априорной инфор­

мацией, задаваемой в виде дисперсии оцениваемой последова­ тельности, то максимальная точность, которая может быть достиг­ нута при заданном количестве измерений, будет определяться ве-

личиной г IN Этот результат соответствует случаю, когда все измерения с некоррелированными ошибками проводятся в момент времени j , для которого оценивается значение последовательно­ сти. На самом деле такое измерение всего одно, а все остальные соответствуют другим, причем разным моментам времени. Чем больше разность между моментом времени, для которого оценива­ ется значение последовательности, и моментом времени, в кото­ рый проводится ее измерение, тем меньший коэффициент корре­ ляции между этими значениями, а следовательно, и меньший эф­ фект от их использования. Это объясняется тем, что крайние точки (первая и последняя) оцениваются по измерениям, отстоящим на интервалы N - j , j = 1 .N Наименьший вклад в повышение точ­ ности будут обеспечивать наиболее удаленные измерения. Для средней точки оценивание осуществляется с использованием двух групп измерений, каждое из которых отстоит на интервал N - j ,

j = 1.(N -1 ) / 2. Понятно, что точность оценивания при таком рас­

положении будет выше, чем для любой другой точки.

В задаче сглаживания так же, как и в задаче фильтрации, может существовать установившийся режим. Понятно, что установив­ шийся режим в задаче сглаживания возможен, если такой режим имеет место в задаче фильтрации.

Проиллюстрируем это на примере 3.4.1. Подставляя значения дисперсий ошибок фильтрации и прогноза для установившегося режима в уравнение для ошибки сглаживания из этого примера, можем записать

Отсюда вытекает, что дисперсия ошибки сглаживания в уста­ новившемся режиме будет определяться, как

рФр»р

Используя это выражение, можно оценить выигрыш в точности оценивания при решении задач сглаживания и фильтрации в дан-

ном примере с помощью следующего соотношения:

P Î P Î+ P ”p 2P*+ q2 '

Понятно, что выигрыш в точности при решении задач фильтра­ ции и сглаживания будет зависеть от соотношения дисперсий по­ рождающих и измерительных шумов. В частности, с учетом ре­ зультатов решения задачи 3.2.6, нетрудно убедиться в том, что

3.4.4. Решение задач фильтрации и сглаживания на основе детерминированного подхода

с использованием метода наименьших квадратов

До сих пор в настоящей главе рассматриваемые задачи оцени­ вания последовательностей решались с позиций стохастического подхода, при котором предполагается, что оцениваемые и изме­ ряемые последовательности являются случайными. Вместе с тем при рассмотрении задач оценивания постоянного вектора наряду со стохастическим подходом использовался и детерминированный подход, при котором предположение о случайном характере не вводилось. Было также показано, что в ряде задач при определен­ ных условиях алгоритмы, получаемые с использованием различ­ ных подходов, совпадают. Покажем, что то же самое справедливо и для случая оценивания последовательностей на примере реше­ ния задачи сглаживания на закрепленном интервале, полагая, что последовательности описываются с помощью соотношений (3.2.21), (3.2.22), но при этом не будем пока вводить предположе­ ний о случайном характере вектора начальных значений, порож­ дающих и измерительных шумов и задаваться какими-либо их ста­ тистическими характеристиками. Используем далее следующие

обозначения: X t = ( x l x j и У, =(у\ ,yl,...yJ)T Если ввести матрицу